فيديو الدرس: النهايات عند اللانهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على النهايات عند ما لا نهاية والنهايات غير المحدودة. فيما سبق تعرفنا على معنى نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من عدد حقيقي ﺃ. إذا كانت قيمة هذه النهاية تساوي ﻝ، فإن هذا يعني أننا إذا جعلنا قيمة ﺱ أقرب ما يكون إلى ﺃ، فيمكننا جعل قيمة الدالة ﺩﺱ أقرب ما يكون إلى ﻝ كما نريد. إذن، يمكننا الحصول على قيمة للدالة ﺩﺱ تكون أقرب ما يكون من ﻝ. في هذا الفيديو، سنشرح النهايات التي تكون بالصورة: نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. ماذا يعني أن تساوي هذه النهايات القيمة ﻝ؟

كل ما علينا فعله استبدال ﺃ في التعريف السابق بما لا نهاية. وبذلك، يمكن تفسير هذا التعريف بأننا إذا جعلنا قيمة ﺱ أقرب ما يكون إلى ما لا نهاية، فيمكننا جعل قيمة الدالة ﺩﺱ أقرب ما يكون إلى ﻝ كما نريد. لكن، ماذا يعني أن يكون ﺱ أقرب ما يكون إلى ما لا نهاية في حين أن ما لا نهاية تبعد بشكل لا نهائي عن أي قيمة قد نعرفها للمتغير ﺱ؟ يتضح أنه بدلًا من أن نقول إن قيمة ﺱ أقرب ما يكون إلى ما لا نهاية، من الأفضل أن نقول إن قيمة ﺱ كبيرة جدًا. لذا، فإن المقصود بأن «قيمة نهاية الدالة ﺩﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي ﻝ» أننا إذا جعلنا قيمة ﺱ كبيرة جدًا، فيمكن جعل قيمة الدالة ﺩﺱ أقرب ما يكون إلى ﻝ كما نريد.

إذا نظرنا إلى التمثيل البياني لدالة المقلوب، فيمكننا ملاحظة أنه إذا جعلنا قيمة ﺱ كبيرة جدًا، فيمكننا جعل قيمة دالة المقلوب، واحد على ﺱ، أقرب ما تكون إلى الصفر كما نريد. وبهذا، يمكن أن نقول إن نهاية واحد على ﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي صفرًا. قيمة هذه النهاية، التي تساوي صفرًا، هي القيمة التي تقترب منها الدالة واحد على ﺱ أكثر فأكثر عند زيادة قيمة ﺱ بلا حدود.

يمكننا أيضًا التفكير في نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية. كون قيمة هذه النهاية تساوي ﻝ يعني أننا إذا جعلنا قيمة ﺱ سالبة وكبيرة جدًا، أو بعبارة أخرى قيمة ﺱ سالبة لكنها كبيرة جدًا، فيمكننا جعل قيمة الدالة ﺩﺱ أقرب ما تكون إلى ﻝ كما نريد. كما تعاملنا مع النهاية عند اقتراب قيمة ﺱ من موجب ما لا نهاية، يمكننا التفكير في القيمة ﻝ هذه بطريقة مختلفة. قيمة ﻝ هذه هي القيمة التي تقترب منها الدالة ﺩ في المتغير ﺱ أكثر فأكثر عند تناقص قيمة ﺱ بلا حدود.

إذن، ما قيمة نهاية واحد على ﺱ عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية؟ حسنًا، عندما تتناقص قيمة ﺱ بلا حدود، تقترب قيمة واحد على ﺱ أكثر فأكثر من الصفر. وعليه، فإن قيمة هذه النهاية أيضًا تساوي صفرًا. من المفيد جدًا معرفة هاتين النهايتين. ويتضح أن قوانين النهايات التي درسناها للنهايات المحدودة ستكون مناسبة أيضًا للنهايات غير المحدودة عندما تتضح لك جيدًا. فباستخدام قوانين النهايات هذه جنبًا إلى جنب مع نهايات دالة المقلوب عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية وسالب ما لا نهاية التي أوجدنا قيمتها الآن، يمكننا إيجاد قيم العديد من النهايات الأخرى. دعونا نر هذا المثال.

أوجد نهاية سالب أربعة على ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ زائد ثمانية عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

في هذه المسألة، لدينا نهاية عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، ومع هذا يمكننا تطبيق كل قوانين النهايات العادية. على سبيل المثال، نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتيهما. وعليه، يمكننا تقسيم النهاية التي نريد إيجاد قيمتها إلى ثلاث نهايات. فهي تساوي نهاية سالب أربعة على ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية زائد نهاية خمسة على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية زائد نهاية ثمانية عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

ما الذي يمكننا قوله عن هذه النهاية؟ حسنًا، نحن نعلم أن قيمة نهاية الثابت ﻙ، عند اقتراب ﺱ من عدد ما ﺃ، تساوي ﻙ. ويظل قانون النهايات السابق صحيحًا هنا أيضًا حتى وإن كان ﺃ ليس عددًا حقيقيًا وإنما موجب ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية. ومن ثم، فإن قيمة هذه النهاية الأخيرة تساوي ثمانية.

ماذا عن النهايتين الأخريين؟ يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية حاصل ضرب ثابت في دالة تساوي حاصل ضرب هذا الثابت في نهاية الدالة. ومن ثم، فإن النهاية الأولى تساوي سالب أربعة في نهاية واحد على ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. والنهاية الثانية تساوي خمسة في نهاية واحد على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. وأخيرًا، نضيف الثمانية.

والآن، لا بد أننا نعلم أن قيمة نهاية دالة المقلوب، واحد على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. تساوي صفرًا. لكن، ماذا عن نهاية واحد على ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية؟ يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية دالة مرفوعة لقوة تساوي نهاية الدالة الكل مرفوعًا لهذه القوة. هذه النهاية تساوي نهاية دالة المقلوب واحد على ﺱ الكل تربيع؛ لأن واحدًا على ﺱ تربيع يساوي واحدًا على ﺱ الكل تربيع. ووفقًا لقانون النهايات الذي ذكرناه، فإن هذه النهاية تساوي نهاية واحد على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية الكل تربيع. من المعروف أن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا. إذن، فإن النهاية التي نريد إيجادها، نهاية واحد على ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، قيمتها تساوي صفرًا أيضًا.

يمكننا تعميم قانون نهايات آخر حصلنا عليه، وهو أن نهاية واحد على ﺱ أس ﻥ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي صفرًا، وذلك فقط إذا كانت قيمة ﻥ أكبر من صفر. ومن ثم، فإن قيمة النهاية المذكورة في المثال تساوي سالب أربعة في صفر زائد خمسة في صفر زائد ثمانية، وهو ما يساوي ثمانية بالطبع.

دعونا نستعرض مثالًا آخر.

أوجد نهاية سالب اثنين ﺱ أس سالب أربعة زائد ثمانية ﺱ أس سالب ثلاثة ناقص ﺱ أس سالب اثنين زائد تسعة ﺱ أس سالب واحد ناقص أربعة، الكل مقسومًا على اثنين ﺱ أس سالب أربعة ناقص ستة ﺱ أس سالب ثلاثة زائد سبعة ﺱ أس سالب اثنين زائد ستة ﺱ أس سالب واحد زائد ثلاثة، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

هذا مثال على نهاية خارج قسمة دالتين. ونحن نعلم أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتيهما. إذن، يمكننا إيجاد نهايتي البسط والمقام كلًا على حدة، إن وجدا. وبما أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتيهما، فإنه من الممكن إيجاد نهاية كل حد على حدة.

الآن، لدينا الكثير من النهايات المطلوب إيجاد قيمها، لكنها جميعها نهايات لحدود بسيطة. ويمكننا تبسيطها أكثر من خلال أخذ الثوابت خارج النهايات. وذلك لأن نهاية ثابت مضروبًا في دالة تساوي هذا الثابت مضروبًا في نهاية الدالة. والآن، فإن الغالبية العظمى من النهايات لدينا صورتها: نهاية ﺱ أس عدد سالب، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

ما قيم هذه النهايات؟ حسنًا، يمكننا أن نكتب ﺱ أس سالب ﻥ في صورة واحد على ﺱ أس ﻥ. وعندما يكون الأس ﻥ أكبر من صفر، فإن قيمة النهاية تساوي صفرًا. إذن، فإن قيم هذه النهايات جميعها تساوي صفرًا. ولذا، كل ما يعنينا هو نهايتان فقط، وهما نهايتا الثابتين أربعة وثلاثة. نهاية الدالة الثابتة تساوي هذا الثابت. إذن، مع التأكد من وضع إشارة السالب، فإن الناتج هو سالب أربعة على ثلاثة.

لقد تمكنا من حل هذه المسألة بطريقة مباشرة؛ لأنه لم يكن لدينا سوى ثوابت وقوى سالبة في البسط والمقام. ونحن نعلم أن قيمة نهاية قوة سالبة للمتغير ﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي صفرًا.

دعونا الآن نستعرض مثالًا لا يتضمن قوى سالبة فحسب.

أوجد نهاية ﺱ تربيع زائد ثلاثة الكل مقسومًا على ثمانية ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ زائد واحد، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

ربما نفكر أولًا في استخدام حقيقة أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتيهما. هكذا نحصل على نهاية ﺱ تربيع زائد ثلاثة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية على نهاية ثمانية ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ زائد واحد عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. لكننا سنواجه مشكلات؛ لأن النهايتين غير موجودتين. في البسط، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، فإن قيمة ﺱ تربيع زائد ثلاثة لا تقترب من أي قيمة حقيقية؛ فكل ما يحدث هو أنها تزداد أكثر فأكثر بلا حدود. والأمر نفسه يحدث في المقام. مع زيادة قيمة ﺱ بلا حدود، تزداد قيمة ثمانية ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ زائد واحد أيضًا بلا حدود.

ربما تعتقد أن كلتا النهايتين تساوي ما لا نهاية. وعليه، فإن النهاية في الطرف الأيمن تساوي ما لا نهاية على ما لا نهاية. لكن هذه الصيغة صيغة غير معينة، تمامًا مثل صفر على صفر. كما أنها لا توضح لنا قيمة النهاية التي لدينا. علينا إذن استخدام طريقة مختلفة.

الخدعة في هذه المسألة تتمثل في إيجاد أعلى قوة للمتغير ﺱ موجودة في البسط أو المقام. وهي ﺱ تكعيب في هذه المسألة. بعد إيجاد أعلى قوة، نقسم كلًا من البسط والمقام عليها. ما الناتج الذي سنحصل عليه؟ ‏‏ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ تكعيب يساوي ﺱ أس سالب واحد. وثلاثة مقسومًا على ﺱ تكعيب يساوي ثلاثة ﺱ أس سالب ثلاثة. وفي المقام، ثمانية ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ تكعيب يساوي ثمانية. وتسعة ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ تكعيب يساوي تسعة أس سالب اثنين. وواحد مقسومًا على ﺱ تكعيب يساوي ﺱ أس سالب ثلاثة.

الآن أصبح لدينا قوى سالبة للمتغير ﺱ وثابت في كل من البسط والمقام. ونتيجة لذلك، عند تطبيق قانون النهايات هذا، سنجد أن النهايتين في البسط والمقام أصبحتا موجودتين. دعونا نوجد قيمتيهما. يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتيهما. هذا سيمكننا من إيجاد نهاية كل حد على حدة. يمكننا أيضًا أخذ المعامل خارج النهايات.

والآن، باستثناء نهاية واحدة، وهي نهاية الدالة الثابتة التي يجب أن تكون قيمتها ثمانية، ستكون جميع النهايات الأخرى بالصورة: نهاية ﺱ أس سالب ﻥ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. حيث تكون قيمة ﻥ أكبر من الصفر بالطبع. وكما نعلم أن قيمة هذه النهايات تساوي صفرًا دائمًا. لذا، فإن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا.

وهذه تساوي صفرًا، وهذه تساوي صفرًا، وهذه تساوي صفرًا. وبالتبسيط، يصبح الناتج صفرًا على ثمانية، وهو بالطبع ما يساوي صفرًا.

عندما فشلت المحاولة الأولى في حل هذه المسألة، كنا قد ذكرنا أن كلتا النهايتين في البسط والمقام غير موجودتين، أو قيمتهما لا نهائية. فماذا يعني قولنا إن قيمة هاتين النهايتين يمكن أن تكون لا نهائية؟ لنكتشف ذلك.

إذا كانت نهاية الدالة ﺩﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي ما لا نهاية، فإن هذا يعني أنه يمكننا جعل قيمة الدالة ﺩﺱ كبيرة جدًا من خلال اختيار قيمة كبيرة جدًا لـ ﺱ. افترض أنك تريد أن تكون الدالة ﺩﺱ أكبر من مليار. يمكن الحصول على قيمة كهذه إذا جعلنا ﺱ أكبر من هذه القيمة، تكون قيمة الدالة ﺩﺱ أكبر من مليار كما هو مطلوب. ثمة طريقة أخرى للتفكير في هذا الأمر وهي أنه عند تجاوز نقطة معينة، عند زيادة قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ ستزداد أيضًا بلا حدود.

وبالمثل، فإن كون نهاية الدالة ﺩﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي سالب ما لا نهاية، يعني أنه عند زيادة قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تتناقص بلا حدود. واستكمالًا للمعلومة، سنكتب دلالة ذلك عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية أيضًا. لنر مثالًا.

أوجد نهاية ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

توجد طرق متنوعة لإيجاد هذه النهاية. إحدى هذه الطرق هي النظر إلى التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة. يتضح أنه عند زيادة قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة تزداد بلا حدود أيضًا. نتيجة لذلك، يمكننا القول بأن هذه النهاية تساوي ما لا نهاية. لكن، قد لا تكون مقتنعًا بذلك. ربما لم يحدث التمثيل البياني تغييرًا كبيرًا بامتداد المحور ﺱ.

يمكننا أيضًا إجراء القسمة المطولة لكثيرة الحدود لإيجاد ما يساويه ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة يساوي ستة ﺱ زائد ٣٦ زائد ٢١٦ على ﺱ ناقص ستة. ثم يمكننا إيجاد نهاية الطرف الأيسر مباشرة. ويمكننا إجراء ذلك بإيجاد كل حد على حدة. لا بد أن نهاية ستة ﺱ، عند اقتراب قيمة ﺱ من ما لا نهاية، تساوي ما لا نهاية. عند زيادة قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة ستة ﺱ تزداد بلا حدود أيضًا. نهاية ٣٦، عند اقتراب قيمة ﺱ من ما لا نهاية، تساوي ٣٦. هذه هي نهاية الدالة الثابتة.

وقد يكون إيجاد قيمة النهاية الأخيرة أصعب بعض الشيء. نقسم البسط والمقام على أعلى قوة موجودة للمتغير ﺱ، وهي ﺱ. نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتيهما. قيمة النهاية في البسط تساوي صفرًا، وفي المقام تساوي واحدًا. إذن، قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا. وعليه، فإن قيمة النهاية لدينا تساوي ما لا نهاية زائد ٣٦. وعند التعامل مع النهايات، فمن الأفضل أن نقول إن ما لا نهاية زائد ٣٦ تساوي ما لا نهاية، وهو ما يعطي مسارًا آخر للإجابة.

حسنًا، دعونا نر المسألة الأخيرة.

أوجد نهاية تسعة ناقص ثمانية ﺱ زائد ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تكعيب، عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية.

أول ما يمكننا فعله هو كتابة أن نهاية مجموع عدة دوال تساوي مجموع نهايتها. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة كل نهاية على حدة. نهاية الدالة الثابتة تسعة تساوي تسعة. ماذا عن نهاية ثمانية ﺱ عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية؟ إذا وضعنا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثمانية ﺱ في الحسبان، فيمكننا ملاحظة أنه عند تناقص قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة ﺹ تتناقص بلا حدود كذلك. لذا، فإن نهاية ﺱ، عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية، هي سالب ما لا نهاية.

ماذا عن نهاية ستة ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية؟ مرة أخرى، مع وضع التمثيل البياني في الحسبان، نلاحظ أنه عند تناقص قيمة ﺱ بلا حدود، فإن قيمة ﺹ تزداد بلا حدود. إذن، فإن هذا الحد يساوي ما لا نهاية. وأخيرًا، نهاية اثنين ﺱ تكعيب عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية، نحن نعلم شكل المنحنى التكعيبي. ونلاحظ أنه عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية، فإن قيمة ﺹ تقترب أيضًا من سالب ما لا نهاية. هذه النهاية تساوي سالب ما لا نهاية.

وبذلك، فإن النهاية لدينا تساوي تسعة ناقص سالب ما لا نهاية زائد ما لا نهاية ناقص سالب ما لا نهاية. وإذا عاملنا ما لا نهاية معاملة الأعداد، فيمكننا أن نكتب ناقص سالب ما لا نهاية في صورة موجب ما لا نهاية، ونحصل على تسعة زائد ما لا نهاية زائد ما لا نهاية زائد ما لا نهاية. إذن، المجموع يساوي ما لا نهاية. علينا توخي الحذر عند التعامل مع ما لا نهاية بهذه الطريقة. لكن يتضح أن كل هذه الخطوات لا بأس بها في هذا الموقف. ولحسن الحظ، لم تتبق أي إشارات سالبة في النهاية؛ لأن ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية يساوي صيغة غير معينة.

لعدة أسباب، قد يكون من الجدير بنا معرفة كيفية حل هذه المسألة بطريقة أخرى. يمكننا بدلًا من ذلك أخذ أعلى قوة للمتغير ﺱ، وهي ﺱ تكعيب، عاملًا مشتركًا من داخل النهاية. هذا يعطينا نهاية ﺱ تكعيب في تسعة ﺱ أس سالب ثلاثة ناقص ثمانية ﺱ أس سالب اثنين زائد ستة ﺱ أس سالب واحد ناقص اثنين، عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية. نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات.

ما هي نهاية ﺱ تكعيب عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية؟ حسنًا، يمكننا تعديل التمثيل البياني لدينا قليلًا وتسميته التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب بدلًا من ذلك. وسنرى أن هذه النهاية تساوي سالب ما لا نهاية. ماذا عن هذه النهاية؟ هذه الحدود التي تتضمن قوة سالبة للمتغير ﺱ لن تؤثر في المسألة، ولن يتبقى لدينا سوى نهاية سالب اثنين عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية. وهو ما يساوي بالطبع سالب اثنين. الجزء الوحيد الذي نحتاج فيه إلى التعامل مع ما لا نهاية هو ضرب سالب ما لا نهاية في سالب اثنين. إشارتا السالب تلغي كل منهما الأخرى. ويصبح الناتج ما لا نهاية.

بدلًا من ذلك، كان من الممكن أخذ الحد سالب اثنين ﺱ تكعيب بأكمله كعامل مشترك خارج النهاية. بعد ذلك، ستكون قيمة النهاية الثانية في حاصل الضرب لدينا تساوي واحدًا. يمكننا أن نوضح بسهولة أن النهاية الأولى الموجودة في حاصل الضرب تساوي ما لا نهاية. قد تكون أكثر ميلًا للاعتقاد بأن ما لا نهاية في واحد يساوي ما لا نهاية من الاعتقاد بأن سالب ما لا نهاية في سالب اثنين يساوي ما لا نهاية.

باستخدام هذه الطريقة، يمكننا أن نوضح أن نهاية كثيرة الحدود، عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية، تساوي نهاية الحد الأعلى درجة في كثيرة الحدود هذه عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو تخيل التمثيل البياني للدالة وحيدة الحد أو النظر إليه.

والآن، لنستعرض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا إيجاد قيم النهايات التي صورتها: نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية. ويمكن تطبيق قوانين النهايات في هذه الحالات. نهاية دالة المقلوب واحد على ﺱ، عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية، تساوي صفرًا. ومن ثم، فإنه عند الجمع ما بين هذا القانون وأحد قوانين النهايات، يمكننا معرفة أن نهاية واحد على ﺱ أس ﻥ، عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية، تساوي صفرًا أيضًا إذا كانت قيمة ﻥ أكبر من صفر.

ويمكننا إيجاد نهايات الدوال الكسرية بقسمة البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير ﺱ واستخدام النتيجة أعلاه. وبطريقة مشابهة، يمكننا توضيح أن نهاية كثيرة الحدود، عند اقتراب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية، تساوي نهاية الحد الأعلى درجة. علينا توخي الحذر عند التعامل مع ما لا نهاية. لكن في بعض الحالات مثل الصيغ غير المعينة ما لا نهاية على ما لا نهاية وما لا نهاية ناقص ما لا نهاية، يمكن التعامل مع ما لا نهاية باعتبارها عددًا حقيقيًا في سياق النهايات.