فيديو السؤال: إيجاد مساحة قطعة دائرية كبرى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

القطعة المستقيمة ﺃﺏ وتر طوله ١٧ سنتيمترًا ويقابل زاوية مركزية قياسها ١٥٥ درجة. أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى لأقرب سنتيمتر مربع.

لنبدأ برسم ذلك. نعلم من المعطيات أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ هي وتر في دائرة طوله ١٧ سنتيمترًا. إذا أضفنا مركز الدائرة ﻭ، فوفقًا للمعطيات سنجد أن قياس الزاوية المركزية يساوي ١٥٥ درجة كما هو موضح. يمكننا أن نستنتج أن القطعتين المستقيمتين ﻭﺃ وﻭﺏ هما نصفا قطري الدائرة. هذا يعني أن القطعة المستقيمة ﻭﺃ يجب أن تكون متساوية في الطول مع القطعة المستقيمة ﻭﺏ. هيا نرمز لطول كل منهما بـ ﺱ سنتيمتر.

يطلب منا السؤال إيجاد مساحة القطعة الدائرية الكبرى. القطعة الدائرية الصغرى مظللة باللون البرتقالي. ومن ثم، فإن القطعة الدائرية الكبرى هي كل الجزء المتبقي من الدائرة. أي إننا نحاول إيجاد مساحة هذا الشكل. والآن، إذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أنه مكون من شكلين مركبين. لدينا المثلث ﺃﻭﺏ ولدينا قطاع من دائرة حوله. يمكننا إيجاد قياس زاوية هذا القطاع بطرح ١٥٥ درجة من ٣٦٠ درجة؛ لأن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. وهذا يخبرنا بأن قياس زاوية القطاع لدينا يساوي ٢٠٥ درجات. ومن ثم إذا استطعنا إيجاد مساحة المثلث ومساحة هذا القطاع، فالمساحة المجمعة ستعطينا مساحة القطعة الدائرية الكبرى.

والآن سنستخدم الصيغة المثلثية لمساحة المثلث. وهي تساوي نصف ﺃ شرطةﺏ شرطة جا ﺟ شرطة. ونعرف أيضًا أن قطاع الدائرة الذي نصف قطره نق وزاويته 𝜃، مساحته تساوي 𝜃 على ٣٦٠ في 𝜋نق تربيع. وبالأساس، هو جزء من مساحة الدائرة بأكملها. الآن لدينا مشكلة صغيرة. فنحن لا نعرف طول نصف قطر الدائرة. لذا أشرنا إليه بالرمز ﺱ. لكن يمكننا حسابه باستخدام ما لدينا من معطيات عن المثلث ﺃﻭﺏ. إنه مثلث غير قائم الزاوية؛ لذا يمكننا استخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد الطول ﺱ. تنص قاعدة جيب التمام على أن ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة جتا ﺃ.

والآن نحتاج إلى إعادة تحديد هذا؛ لأن الزاوية لدينا ليست ﺃ أو ﺏ، إنها رأس. لنسمها ﺟ بدلًا من ﻭ. إذن، ﺟ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺃ شرطةﺏ شر طة جتا ﺟ. سنعوض بكل ما نعرفه عن المثلث في هذه الصيغة. لنحصل على ١٧ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تربيع جتا١٥٥ درجة. ‏١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. وسنبسط قليلًا بجمع ﺱ تربيع وﺱ تربيع. ثم نلاحظ أنه يمكننا تحليل الطرف الأيسر بأخذ العامل المشترك اثنين ﺱ تربيع.

بعد ذلك نقسم كلا الطرفين على واحد ناقص جتا١٥٥ درجة، ثم نقسم كلا الطرفين على اثنين، وأخيرًا نوجد الجذر التربيعي لـ ٢٨٩ على اثنين في واحد ناقص جتا١٥٥ درجة. وهذا يعطينا القيمة ٨٫٧٠٦ وهكذا مع توالي الأرقام. هكذا أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لحساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى. وبالطبع توخيًّا للدقة، سنستخدم هذه القيمة ٨٫٧٠٦. وقد نعود إلى ﺱ تربيع يساوي ٢٨٩ على اثنين في واحد ناقص جتا١٥٥ لتسهيل الأمر.

نبدأ بإيجاد مساحة المثلث. سنستخدم الصيغة نصف ﺃ شرطةﺏ شرطة جا ﺟ. وبذلك، نحصل على نصف في ٨٫٧٠٦ في ٨٫٧٠٦،أو ٨٫٧٠٦ تربيع في جا١٥٥. ما يساوي ١٦٫٠١٧ وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، مساحة القطاع تساوي ٢٠٥ على ٣٦٠ في 𝜋 في ٨٫٧٠ تربيع، وهو ما يساوي ١٣٥٫٦٠٥ وهكذا مع توالي الأرقام. ومساحة القطعة الدائرية الكبرى هي مجموع هاتين القيمتين. أي ١٦٫٠١٧ زائد ١٣٥٫٦٠٥. وهذا يعطينا ١٥١٫٦٢ أو ١٥٢ لأقرب قيمة صحيحة. بذلك نجد أن مساحة القطعة الدائرية الكبرى بمعلومية القطاع لدينا تساوي ١٥٢ سنتيمترًا مربعًا.