نسخة الفيديو النصية
إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لستة د ﺱ زائد أربعة على سالب ﺱ زائد واحد تساوي أربعة، فأوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لـ د ﺱ.
للإجابة عن هذا السؤال، سنحتاج إلى تذكر بعض القوانين المهمة للنهايات. ينص القانون الأول الذي يعنينا على أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتي هاتين الدالتين، بشرط أن تكون النهاية للمقام لا تساوي صفرًا.
وبما أننا نعلم أن سالب سالب ستة زائد واحد لا يساوي صفرًا، فيمكننا كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لستة في د ﺱ زائد أربعة الكل على النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لسالب ﺱ زائد واحد. ويمكننا بعد ذلك استخدام التعويض المباشر لإيجاد النهاية للمقام.
وتساوي سالب سالب ستة زائد واحد، وهو ما يساوي بالطبع سبعة. وبذلك، يمكننا الآن إعادة كتابة النهاية بأكملها. وتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لستة في د ﺱ زائد أربعة الكل على سبعة. والآن، بالرجوع إلى السؤال الأصلي، نعلم أن هذا يساوي أربعة. سنبسط ذلك قليلًا بضرب طرفي هذه المعادلة في سبعة. وبناء عليه، سنجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لستة في د ﺱ زائد أربعة تساوي ٢٨.
هيا نسترجع قانون النهايات الثاني. وهو الذي ينص على أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع النهايتين. ومن ثم يمكننا القول إن نهاية ستة في د ﺱ زائد نهاية أربعة تساوي ٢٨. لكن الحد أربعة نفسه يخلو من ﺱ. وبذلك يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة—أو أي عدد في الواقع—لأربعة تساوي أربعة. وبالمثل، في النهاية الأولى، ستة مستقل عن ﺱ.
وبوجه عام، نقول إن نهاية ثابت مضروبًا في دالة تساوي الثابت في نهاية هذه الدالة. لذلك، يمكننا كتابة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لستة في د ﺱ على صورة ستة في نهاية د ﺱ. وبالطبع، مجموع هذين التعبيرين يساوي ٢٨. من ثم، نطرح أربعة من طرفي المعادلة. ونجد أن ستة مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لـ د ﺱ يساوي ٢٤.
خطوتنا الأخيرة لإيجاد النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب ستة لـ د ﺱ هي قسمة طرفي معادلة هذه النهاية على ستة. وبناء على ذلك، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة لـ د ﺱ تساوي أربعة.
