نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المماس للمنحنى أربعة ﺱ تربيع ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا عند النقطة سالب واحد، واحد.
لإيجاد معادلة المماس لمنحنى ما، علينا أن نعرف كلًّا من ميل المماس وإحداثيات نقطة تقع عليه. لدينا إحداثيات النقطة سالب واحد، واحد. ولإيجاد ميل المماس، علينا أولًا تحديد دالة الميل للمنحنى، وهو ما يمكننا فعله باستخدام الاشتقاق. وبما أن معادلة المنحنى معطاة في الصورة الضمنية، فعلينا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد دالة الميل.
الاشتقاق الضمني هو أحد تطبيقات قاعدة السلسلة. نتذكر أنه لإيجاد مشتقة دالة في المتغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، فإننا نوجد مشتقة تلك الدالة بالنسبة إلى ﺹ ونضربها في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبما أن الحد الأول في معادلة المنحنى هو حاصل ضرب ﺱ تربيع في ﺹ تربيع، فعلينا أيضًا تذكر قاعدة الضرب التي تنص على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ. في الأساس، نضرب كل حد في حاصل الضرب في مشتقة الحد الآخر ونجمعهما معًا.
سنبدأ بإيجاد مشتقة الحد الأول وهو أربعة ﺱ تربيع ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. بموجب قاعدة الضرب، هذا يساوي أربعة ﺱ تربيع مضروبًا في مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ زائد ﺹ تربيع مضروبًا في مشتقة أربعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. اشتقاق ﺹ تربيع ضمنيًّا بالنسبة إلى ﺱ يعطينا اثنين ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ، واشتقاق أربعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يعطينا ثمانية ﺱ. ومن ثم، تبسط المشتقة الكاملة للحد الأول إلى ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد ثمانية ﺱﺹ تربيع.
وباشتقاق الحد التالي في المعادلة بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على سالب أربعة، واشتقاق سالب سبعة ﺹ ضمنيًّا بالنسبة إلى ﺱ يعطينا سالب سبعة ﺩﺹ على ﺩﺱ. وأخيرًا: اشتقاق الثابتين سالب واحد وصفر بالنسبة إلى ﺱ يعطينا صفرًا، ومن ثم نحصل على المعادلة ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد ثمانية ﺱﺹ تربيع ناقص أربعة ناقص سبعة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا.
علينا أن نجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع لهذه المعادلة. لذا، سنبدأ بتجميع كل الحدود التي لا تتضمن ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص سبعة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص ثمانية ﺱﺹ تربيع. ثم نحلل الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ناقص سبعة مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وأخيرًا: بقسمة طرفي المعادلة على ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ناقص سبعة، نحصل على دالة ميل المنحنى بدلالة كل من ﺱ وﺹ. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص ثمانية ﺱﺹ تربيع على ثمانية ﺱ تربيع ﺹ ناقص سبعة.
بعد ذلك، علينا إيجاد دالة الميل عند النقطة سالب واحد، واحد. بالتعويض عن ﺱ بسالب واحد، وعن ﺹ بموجب واحد، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص ثمانية مضروبًا في سالب واحد مضروبًا في واحد تربيع على ثمانية مضروبًا في سالب واحد تربيع مضروبًا في واحد ناقص سبعة. يبسط ذلك إلى أربعة زائد ثمانية على ثمانية ناقص سبعة، وهو ما يساوي ١٢ على واحد أو ١٢. نعلم الآن أن ميل المماس يساوي ١٢، ويمر بالنقطة التي إحداثياتها سالب واحد، واحد.
من ثم، يمكننا إيجاد معادلة المماس باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة خط مستقيم. إذن، ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد. وبالتعويض عن الميل ﻡبـ ١٢ وبالتعويض عن ﺱ واحد وﺹ واحد بسالب واحد وواحد، نحصل على ﺹ ناقص واحد يساوي ١٢ مضروبًا في ﺱ ناقص سالب واحد. بتوزيع ١٢ على ما بداخل القوسين في الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على ﺹ ناقص واحد يساوي ١٢ﺱ زائد ١٢. وبتجميع كل الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة، وذلك بطرح ١٢ﺱ و١٢ من كلا الطرفين، نحصل على ﺹ ناقص ١٢ﺱ ناقص ١٣ يساوي صفرًا.
إذن، باستخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد دالة الميل لهذا المنحنى، ثم إيجاد دالة الميل عند النقطة المعطاة، وجدنا أن معادلة المماس للمنحنى أربعة ﺱ تربيع ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا عند النقطة سالب واحد، واحد يساوي ﺹ ناقص ١٢ﺱ ناقص ١٣ يساوي صفرًا.
