نسخة الفيديو النصية
بافتراض أن ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ وﺩﻕ يساوي جتا ﺱ ﺩﺱ، احسب تكامل ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام التكامل بالتجزيء.
لدينا تكامل علينا حسابه، ونلاحظ أن الدالة التي سيتم تكاملها هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين. وهي ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ. ونعرف بعض الطرق المختلفة لحساب تكامل حاصل ضرب دالتين. في هذا السؤال، مطلوب منا استخدام التكامل بالتجزيء. لنبدأ بتذكر ما نعنيه بالتكامل بالتجزيء. يخبرنا هذا بأن تكامل ﻉ مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻉ مضروبًا في ﻕ ناقص تكامل ﻕ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
بعبارة أخرى، يعطينا هذا طريقة لحساب تكامل حاصل ضرب الدالتين ﻉ وﺩﻕ على ﺩﺱ. وفي الحقيقة، يمكننا أن نلاحظ أن معطيات السؤال أخبرتنا بما تساويه الدالتان ﻉ وﺩﻕ. عرفنا أن ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ. وقول إن ﺩﻕ يساوي جتا ﺱ ﺩﺱ هو رمز التفاضل لقول إن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ. إذن، سنجعل ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ.
والآن، لكي نستخدم التكامل بالتجزيء، نحتاج إلى تعبيرين عن ﻕ وﺩﻉ على ﺩﺱ. لنبدأ بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ. هذه هي مشتقة الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لكننا نعلم أن مشتقة هذه الدالة الأسية بالنسبة إلى ﺱ هي الدالة الأسية نفسها. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. والآن، لنوجد تعبيرًا عن ﻕ. ستكون ﻕ مشتقة عكسية لـ جتا ﺱ. وتتمثل إحدى طرق إيجاد ذلك في حساب تكامل جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نعلم أن هذا سيعطينا جا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. لكننا نحتاج فقط لأي مشتقة عكسية؛ لذا سنستخدم جا ﺱ.
أصبحنا جاهزين لحساب تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام التكامل بالتجزيء. بالتعويض بتعبيرات ﻉ وﻕ وﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ ناقص تكامل جا ﺱ مضروبًا في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولكننا نلاحظ مشكلة في هذه المرحلة. إننا لا نعرف كيف نحسب تكامل جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لأنه يحتوي على نفس مشكلات التكامل الأصلي.
ما سنكامله هو حاصل ضرب دالتين. لكن في هذه المرة، يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. إذا طبقنا عملية التكامل بالتجزيء هذه مرة أخرى، فسنوجد تكامل جا ﺱ، وهو ما يعطينا سالب جتا ﺱ. إذن، في صيغة التكامل بالتجزيء، بما أننا عندما نشتق هذه الدالة الأسية، نحصل على الدالة الأسية نفسها، فسيصبح لدينا تكامل سالب جتا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن هذا بالتحديد هو التكامل التي نحاول حسابه. إذن، يمكننا إعادة الترتيب وإيجاد قيمة هذا التكامل.
لذا، لنجرب تطبيق التكامل بالتجزيء مرة أخرى. هذه المرة سنستخدمه لإيجاد تكامل جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. سنفترض أن ﻉ هي الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي جا ﺱ. باشتقاق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. وبحساب تكامل جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، نجد أن ﻕ يساوي سالب جتا ﺱ. بالتعويض في التعبيرات عن ﻉ وﻕ وﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على ﻫ أس ﺱ في سالب جتا ﺱ ناقص تكامل سالب جتا ﺱ مضروبًا في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
ويمكننا تبسيط هذا التعبير. أولًا، يمكننا كتابة ﻫ أس ﺱ مضروبًا في سالب جتا ﺱ على أنه سالب ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ. وبالمثل، يمكننا تبسيط التكامل. لدينا العامل سالب واحد داخل الدالة التي سيتم تكاملها. يمكننا أخذ هذا العامل خارج التكامل؛ ومن ثم لن يكون علينا إلا جمع التكامل. بعد ذلك، يمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيتم تكاملها على الصورة ﻫ أسﺱ مضروبًا في جتا ﺱ. بهذا نكون قد أوضحنا أن تكامل جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ زائد تكامل ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بهذا التعبير لتكامل جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ في صيغة التكامل الأصلي. بالتعويض بهذا التعبير، نحصل على ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ ناقص سالب ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ زائد تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكننا البدء في تبسيط هذا التعبير. سنبدأ بتوزيع سالب واحد على القوسين. وهذا يعطينا ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ ناقص تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
وتذكر أن هذا يساوي تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونلاحظ أن هذا التعبير يظهر في كلا طرفي المعادلة. لذا يمكننا إيجاد قيمة ذلك من خلال إضافة تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ إلى كلا طرفي هذه المعادلة. وبإضافة هذا إلى طرفي المعادلة، يصبح لدينا في الطرف الأيمن اثنان في تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وفي الطرف الأيسر من هذه المعادلة، يحذف الحد الثالث. وهذا يعطينا ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ.
والآن سنقسم طرفي المعادلة على اثنين. وتذكر أنه نظرًا لأننا نحسب تكاملًا غير محدد، فنحتاج إلى إضافة ثابت تكامل. سنطلق عليه ﺙ. الأمر الأخير الذي سنفعله هو إعادة ترتيب هذا التعبير وإخراج العامل المشترك ﻫ أس ﺱ. وهذا يعطينا نصف ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جا ﺱ زائد جتا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
ومن ثم، باستخدام التكامل بالتجزيء مرتين، تمكنا من توضيح أن تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي نصف ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جا ﺱ زائد جتا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
