فيديو الدرس: الأحداث المتنافية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية ونوجد احتمالاتها. قبل أن نناقش الأحداث المتنافية، دعونا نسترجع الأحداث المركبة وقاعدة الجمع للاحتمالات.

نتذكر أن تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ هو مجموع كل النواتج التي تمثل عناصر كلا المجموعتين ﺃ وﺏ. وهذا يكافئ وقوع الحدثين معًا. اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ هو مجموع كل النواتج التي تمثل عناصر أي من المجموعتين ﺃ وﺏ أو كليهما. وهذا يكافئ وقوع أي من الحدثين.

نتذكر أيضًا أنه عند عدم وقوع الحدث ﺃ في فضاء العينة ﻑ، فإن احتماله يساوي صفرًا. هذا يعني أنه لا يوجد عناصر في ﺃ. ونطلق على المجموعة التي لا تحتوي على عناصر تسمية المجموعة الخالية. وأخيرًا، نتذكر أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

لنتناول الآن ما يحدث عندما يكون احتمال هذا التقاطع يساوي صفرًا. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي صفرًا، فإن قاعدة الجمع للاحتمالات تبسط إلى احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. وهذا يقودنا إلى تعريف غير منهجي للأحداث المتنافية. يعتبر الحدثان ﺃ وﺏ حدثين متنافيين، عندما يكون احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي صفرًا. وذلك لأن كلا الحدثين لا يمكن أن يقعا في الوقت نفسه.

يمكننا كتابة ذلك، بصياغة أكثر منهجية، كما يلي. يكون ﺃ وﺏ حدثين متنافيين إذا كان ﺃ تقاطع ﺏ يساوي المجموعة الخالية. وهذا يكافئ قولنا إن الحدثين لا يمكن أن يقعا في الوقت نفسه؛ لأن احتمال تقاطع ﺃ وﺏ يساوي احتمال المجموعة الخالية، الذي نعلم أنه يساوي صفرًا.

نقول إن مجموعة من الأحداث ﺃ واحد، وﺃ اثنين، وهكذا حتى ﺃﻥ، متنافية إذا كان كل حدثين منها متنافيين. إذن، تقاطع ﺃﺱ وﺃﺹ يساوي المجموعة الخالية لأي من ﺱ وﺹ الموجودين في مجموعة الأعداد واحد، اثنين، وهكذا حتى ﻥ. لنلخص الأمر، إذا كان ﺃ وﺏ حدثين متنافيين، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. يمكن تمثيل هذا على شكل فن كما هو موضح، حيث لا تتقاطع الدائرتان اللتان تمثلان الحدثين ﺃ وﺏ.

سنتناول الآن بعض الأمثلة المحددة. وفي المثال الأول، سنحدد إذا ما كانت أزواج الأحداث المعطاة متنافية.

لبنى لديها ٥٢ ورقة من أوراق اللعب. اختارت بشكل عشوائي ورقة واحدة وافترضت وقوع الأحداث التالية: الحدث ﺃ: أنها اختارت ورقة كوبة، الحدث ﺏ: أنها اختارت ورقة باللون الأسود، الحدث ﺟ: أنها اختارت ورقة ليست من أوراق البستوني. هل الحدثان ﺃ وﺏ متنافيان؟ هل الحدثان ﺃ وﺟ متنافيان؟ هل الحدثان ﺏ وﺟ متنافيان؟

في الأجزاء الثلاثة من هذا السؤال، سنحتاج إلى تحديد ما إذا كان الحدثان متنافيين. نتذكر أن الحدثين ﺱ وﺹ متنافيان إذا كان لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه، أي إن احتمال ﺱ تقاطع ﺹ يساوي صفرًا.

في هذا السؤال، نعرف أن لبنى لديها مجموعة أوراق لعب عددها ٥٢ ورقة. ونعلم أنها مقسمة إلى أربعة مجموعات، وهي الديناري، والكوبة، والسباتي، والبستوني؛ حيث تكون أول مجموعتين باللون الأحمر، والمجموعتين الأخريين باللون الأسود. كل مجموعة تحتوي على ١٣ ورقة وهي: الآس، والأعداد من اثنين إلى ١٠، والولد، والملكة، والملك.

توجد ثلاثة أحداث يجب على لبنى التفكير بها: أولًا، الحدث ﺃ، وهو اختيار ورقة كوبة. وهذا سيتضمن اختيار أي من الأوراق، التي عددها ١٣، في الصف الثاني. الحدث ﺏ وهو اختيار ورقة باللون الأسود. وهذا يتضمن اختيار ورقة من أوراق السباتي أو البستوني، وهذا يعني أي ورقة من الأوراق التي عددها ٢٦ ورقة والموجودة في الصفين السفليين. وأخيرًا، لدينا الحدث ﺟ، وهو اختيار ورقة ليست من أوراق البستوني. وهذه يمكن أن تكون إما ورقة ديناري، أو كوبة، أو سباتي، بمعنى أي من الأوراق التي عددها ٣٩ ورقة والموجودة في أول ثلاثة صفوف.

لتحديد ما إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، نحتاج إلى معرفة ما إذا كان يوجد ناتج يقع في كلا الحدثين. هل من الممكن أن تختار ورقة كوبة وتكون في الوقت نفسه باللون الأسود؟ نعلم أن جميع الكوبة حمراء؛ لذا لا توجد أوراق سوداء وفي نفس الوقت من أوراق الكوبة. وعليه، نستنتج أنه عند اختيار لبنى ورقة واحدة، فلا يمكن أن يقع هذان الحدثان معًا. وبذلك، يكون الحدثان متنافيين.

بعد ذلك، علينا التفكير فيما إذا كان الحدثان ﺃ وﺟ متنافيين. هذه المرة، لدينا حدثا اختيار ورقة كوبة واختيار ورقة ليست من أوراق البستوني. النقطة الأساسية هنا هي أن جميع أوراق الكوبة ليست من أوراق البستوني. هذا يعني أن اختيار أي ورقة كوبة سيحقق الحدثين. وبما أن كلا الحدثين يمكن أن يقعا في الوقت نفسه، يمكننا استنتاج أنهما غير متنافيين. يوجد تداخل بين اختيار ورقة كوبة واختيار ورقة ليست من أوراق البستوني.

وأخيرًا، علينا التفكير فيما إذا كان الحدثان ﺏ وﺟ متنافيين. هذه المرة، لدينا حدثان: اختيار ورقة سوداء واختيار ورقة ليست من أوراق البستوني. الحقيقة الأساسية هذه المرة هي أن جميع أوراق السباتي سوداء. وهي أيضًا ليست من أوراق البستوني. ما يعني أن اختيار أي من أوراق السباتي يحقق الحدثين. وبذلك، يمكننا استنتاج أن الحدثين ﺏ وﺟ غير متنافيين. الحدثان ﺃ وﺏ متنافيان، بينما الأحداث ﺃ وﺟ، وﺏ وﺟ غير متنافية.

في المثال التالي، سنستخدم تنافي حدثين واحتمالاتهما لتحديد احتمال وقوع أي منهما.

‏ﺃ وﺏ حدثان متنافيان لهما احتمالان. احتمال ﺃ يساوي عشرًا، واحتمال ﺏ يساوي خمسًا. أوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

نبدأ بتذكر أن الحدثين ﺃ وﺏ يكونان متنافيين إذا كان لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه. وهذا يعني أنه لا توجد عناصر مشتركة في كلا الحدثين ﺃ وﺏ، وأن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي صفرًا. تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أنه عندما يكون ﺃ وﺏ حدثين متنافيين، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. يمكن تمثيل الأحداث المتنافية على شكل فن أيضًا كما هو موضح، حيث لا يوجد تداخل بين الدائرتين اللتين تمثلان الحدثين ﺃ وﺏ.

نعرف من المعطيات أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي عشرًا، واحتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي خمسًا. وعليه، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي عشرًا زائد خمس، وهو ما يمكن إعادة كتابته على صورة عشر زائد عشرين، وهو ما يساوي ثلاثة أعشار. إذن احتمال وقوع ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أعشار.

في المثال التالي، سنستخدم تنافي ثلاثة أحداث وخصائص الاحتمال لتحديد احتمال وقوع حدث مركب.

تحتوي حقيبة على كرات حمراء وكرات زرقاء وكرات خضراء، ويجب اختيار واحدة من بينها دون النظر داخل الحقيبة. احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء. احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء. أوجد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء.

سنبدأ بتسمية أحداث اختيار كرة حمراء وكرة زرقاء وكرة خضراء ﺣ، وﺯ، وﺧ على الترتيب. وبما أن الكرة المختارة لا يمكن إلا أن تكون لونًا واحدًا من هذه الألوان الثلاثة، يمكننا استنتاج أن الأحداث متنافية. وهدفنا في هذا السؤال هو تحديد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء. هذا هو احتمال اتحاد الحدثين. ونتذكر أنه لأي حدثين متنافيين ﺱ وﺹ، فإن احتمال ﺱ اتحاد ﺹ يساوي احتمال ﺱ زائد احتمال ﺹ. هذا يعني أن علينا إيجاد مجموع احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء زائد احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء.

نعلم من المعطيات أن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء. يمكن كتابة هذا كما هو موضح. ويخبرنا السؤال أيضًا أن احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء هو نفسه احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء.

وأخيرًا، بما أنه توجد كرات حمراء وزرقاء وخضراء فقط في الحقيبة، وهي أحداث متنافية، فإن احتمال اختيار الكرة الحمراء زائد احتمال اختيار الكرة الزرقاء زائد احتمال اختيار الكرة الخضراء يساوي واحدًا. بالتعويض عن احتمال اختيار الكرة الحمراء واحتمال اختيار الكرة الخضراء باستخدام المعادلتين واحد واثنين، نحصل على المعادلة التالية. سبعة مضروبًا في احتمال اختيار كرة زرقاء زائد احتمال اختيار كرة زرقاء زائد احتمال اختيار كرة زرقاء يساوي واحدًا. هذا يبسط إلى تسعة مضروبًا في احتمال اختيار الكرة الزرقاء يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي تسعًا.

وهذا يعني أن احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء يساوي تسعًا أيضًا. واحتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء هو سبعة أتساع. بعد إخلاء بعض المساحة، يمكننا الآن حساب احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء. وهذا يساوي سبعة على تسعة زائد تسع، وهو ما يساوي ثمانية أتساع. إذن، عند اختيار كرة من الحقيبة دون النظر داخلها، فإن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء هو ثمانية على تسعة.

في المثال الأخير، سنتناول حدثين غير متنافيين.

احتمال أن يجتاز طالب اختبار مادة الفيزياء هو ٠٫٧١. واحتمال اجتيازه لاختبار مادة الرياضيات هو ٠٫٨١. واحتمال اجتيازه للاختبارين معًا هو ٠٫٦٨. ما احتمال أن يجتاز الطالب اختبار مادة الرياضيات فقط؟

سنبدأ بتسمية حدثي اجتياز امتحاني الفيزياء والرياضيات ﻑ وﺭ على التوالي. نعلم من المعطيات أن احتمال اجتياز طالب لاختبار الفيزياء هو ٠٫٧١. واحتمال اجتيازه اختبار الرياضيات هو ٠٫٨١. وبما أنه من الممكن اجتياز الاختبارين، فإن الحدثين غير متنافيين. ونعرف من معطيات السؤال أن احتمال اجتياز كلا الاختبارين هو ٠٫٦٨.

يمكن تمثيل هذه المعلومة على شكل فن، حيث يمثل تداخل أو تقاطع الدائرتين احتمال أن يجتاز الطالب الاختبارين. وكما ذكرنا من قبل، هذا الاحتمال يساوي ٠٫٦٨. ويطلب منا السؤال حساب احتمال أن يجتاز الطالب اختبار الرياضيات فقط. وهذا يساوي احتمال أن يجتاز اختبار الرياضيات ناقص احتمال اجتياز الاختبارين. نطرح ٠٫٦٨ من ٠٫٨١. وهذا يساوي ٠٫١٣. إذن، احتمال أن يجتاز الطالب اختبار الرياضيات فقط، أو بعبارة أخرى، أن يجتاز اختبار الرياضيات وليس الفيزياء، هو ٠٫١٣.

يمكننا إضافة ذلك إلى شكل فن كما هو موضح. ويمكننا تكرار هذه العملية لإيجاد احتمال اجتياز الطالب لاختبار الفيزياء فقط. بطرح ٠٫٦٨ من ٠٫٧١، نحصل على ٠٫٠٣. يوجد خيار واحد متبق لإكمال شكل فن وهو: احتمال ألا يجتاز الطالب اختباري الفيزياء أو الرياضيات، أو بعبارة أخرى، أن يرسب في الاختبارين. ‏٠٫٠٣ زائد ٠٫٦٨ زائد ٠٫١٣ يساوي ٠٫٨٤. وبما أن مجموع الاحتمالات لا بد أن يساوي واحدًا، وواحدًا ناقص هذا الناتج يساوي ٠٫١٦، فإن احتمال رسوب الطالب في الفيزياء والرياضيات هو ٠٫١٦.

لدينا الآن مخطط فن المكتمل، والذي يوضح أن احتمال اجتياز الطالب لاختبار الرياضيات فقط هو ٠٫١٣.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يكون الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين إذا كان تقاطع ﺃ وﺏ يساوي المجموعة الخالية. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يقع حدثان متنافيان في الوقت نفسه لأن احتمال تقاطع ﺃ وﺏ يساوي احتمال المجموعة الخالية، وهو ما يساوي صفرًا. تكون مجموعة من الأحداث متنافية، إذا كان كل حدثين منها متنافيين. وأخيرًا، إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ.