نسخة الفيديو النصية
ابحث اتصال الدالة ﺩ ﺱ يساوي أربعة.
في هذا السؤال، لدينا دالة ﺩ ﺱ، ومطلوب منا بحث اتصال هذه الدالة. ولفعل ذلك، علينا أولًا معرفة ما يعنيه السؤال تحديدًا ببحث اتصال دالة. عندما يطلب منا السؤال بحث اتصال دالة، فإن المطلوب منا فعليًّا هو إيجاد جميع قيم ﺱ حيث تكون الدالة ﺩ ﺱ متصلة. وعادة ما نكتب الإجابة على صورة مجموعة، مجموعة قيم ﺱ حيث تكون الدالة ﺩ ﺱ متصلة. وفي الواقع، ثمة بعض الطرق المختلفة لإجابة هذا السؤال. وأسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال هي تذكر بعض الحقائق عن الدوال المتصلة.
علينا فقط أن نتذكر أمرين. أولًا، نعلم أن جميع الدوال كثيرات الحدود متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. بعد ذلك، نعلم أيضًا أن الدالة ﺩ ﺱ يساوي أربعة كثيرة حدود. ولكن، يمكننا أيضًا استخدام أمر أبسط. الدوال الثابتة جميعها متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية، والدالة ﺩ ﺱ يساوي أربعة دالة ثابتة. وكلا الأمرين يعطينا إجابة السؤال نفسها. الدالة ﺩ ﺱ دالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية لأنها دالة ثابتة أو، بدلًا من ذلك، لأنها كثيرة حدود. وعلى الرغم من أن هذا الاستنتاج يجيب عن السؤال، فهو لا يساعدنا في أن نعرف تحديدًا لماذا تكون الدالة ﺩ ﺱ متصلة. ومن ثم، بدلًا من ذلك، دعونا نكتشف ذلك مباشرة من تعريف الاتصال.
لعلنا نتذكر قولنا إن الدالة ﺩ ﺱ متصلة عند قيمة ﺱ يساوي ﺃ إذا تحققت الشروط الثلاثة الآتية. أولًا، يجب أن تكون قيمة ﺩ عند ﺃ موجودة. وثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن ﺃ تنتمي إلى مجال الدالة ﺩ. بعد ذلك، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ موجودة. وأخيرًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ، مساوية لقيمة ﺩ عند ﺃ. وفي بعض الأحيان، يظهر هذا التعريف مكتوبًا فقط بالخطوة الثالثة؛ لأن الخطوتين الأوليين أحيانًا ما تتضمنهما الخطوة الثالثة. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة ﺩ عند ﺃ غير موجودة، فسيكون من الصعب أن نقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ تساوي قيمة ما غير موجودة. ولكننا سنكتب الدالة كاملة ونتحقق من هذه الشروط الثلاثة.
علينا إثبات أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺃ. لذا، دعونا نبدأ بافتراض أن ﺃ عدد حقيقي. وعلينا إثبات أن جميع هذه الشروط الثلاثة تنطبق على ﺩ ﺱ. أولًا، علينا إيجاد قيمة ﺩ عند ﺃ. ولإيجاد قيمة ﺩ عند ﺃ، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي ﺃ في تعريف الدالة ﺩ ﺱ. بالطبع، ﺩ ﺱ هي الدالة الثابتة أربعة، وعليه، فهي تساوي أربعة دائمًا. إذن، ينطبق الشرط الأول. ﺩ ﺃ يساوي أربعة دائمًا. ثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن مجال الدالة ﺩ ﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية.
والآن، دعونا ننتقل الآن إلى الشرط الثاني. علينا إثبات أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ موجودة، وثمة العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لإثبات ذلك. وجميعها سيعطينا الإجابة نفسها. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي تناول تعريف النهاية. لعلنا نتذكر أنه يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ تساوي قيمة منتهية لـ ﻝ إذا كانت قيم ﺩ ﺱ تقترب من ﻝ عندما تقترب قيم ﺱ من ﺃ من الجهتين. وفي هذه الحالة، يمكننا بالفعل إيجاد قيمة هذه النهاية لأي من قيم ﺃ.
أولًا، لعلك تتذكر أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي الثابت أربعة. وإذا كانت الدالة ﺩ ﺱ تساوي الثابت أربعة، فإن مخرجات الدالة ﺩ ﺱ تساوي أربعة دائمًا. وعليه، فإن مخرجات الدالة ثابتة؛ أي إنها لا تتغير بصرف النظر عن القيمة المدخلة لـ ﺱ. إذن، قيم ﺱ غير مهمة؛ حيث ستعطي دائمًا قيمة مخرجة تساوي أربعة. ومن ثم، ستقترب هذه النهاية دائمًا من القيمة أربعة بصرف النظر عن قيمة ﺃ. وعليه، أثبتنا أنه لأي قيمة حقيقية لـ ﺃ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ موجودة بالفعل. في الواقع، هذه النهاية تساوي أربعة. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه كان يمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن النهاية لثابت ما تساوي قيمة الثابت نفسه. وكلتا الطريقتين تصلح، وسنحصل منهما على الإجابة نفسها.
الأمر الأخير الذي علينا التأكد منه هو التعريف الثالث والأخير للاتصال. ولكننا أثبتنا بالفعل أنه صحيح. عندما أثبتنا الجزء الأول من الاتصال، أوضحنا أن قيمة ﺩ عند ﺃ تساوي أربعة، وعندما أثبتنا الجزء الثاني من الاتصال، أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ تساوي أيضًا أربعة. إذن، كلا الجزأين يساوي أربعة. إذن، تنطبق شروط الاتصال الثلاثة على ﺩ ﺱ لأي من قيم ﺃ. وعليه، نكون قد أوضحنا مباشرة من تعريف الاتصال أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة على جميع القيم الحقيقية لـ ﺱ.
في هذا السؤال، استطعنا توضيح طريقتين مختلفتين لإثبات اتصال الدالة ﺩ ﺱ. واستطعنا توضيح أن ﺩ ﺱ دالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأنها دالة ثابتة.
