فيديو السؤال: إيجاد نقطة التماثل باستخدام التمثيل البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ادرس التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ﺱ زائد اثنين الكل تكعيب ناقص اثنين. اكتب إحداثيات نقطة التماثل للتمثيل البياني، إن وجدت.

في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني لدالة، ويمكننا ملاحظة أن الدالة هي دالة تكعيبية كثيرة الحدود. يطلب منا السؤال كتابة نقطة التماثل للتمثيل البياني، إن وجدت. أهم ما يجب ملاحظته هو أن السؤال يطلب إيجاد نقطة التماثل. ولم يطلب منا إيجاد خط التماثل، على سبيل المثال. فالدوال التكعيبية الكثيرة الحدود ليس لها خطوط تماثل أبدًا؛ لأن السلوك الطرفي لمنحنياتها يكون متعاكسًا دائمًا، والانعكاس عبر خط التماثل سيغير السلوك الطرفي.

إذن، بدلًا من ذلك، سنبحث عن نقطة التماثل. سيكون التماثل دورانيًّا لأننا ندور حول نقطة. وثمة بعض الطرق المختلفة التي يمكننا اتباعها لفعل ذلك. أسهل طريقة هي ملاحظة أن الدالة المعطاة هي في الواقع انتقال لمنحنى الدالة التكعيبية الكثيرة الحدود المعروفة. وبما أننا نضيف اثنين إلى قيم ﺱ المدخلة، فإننا ننقل المنحنى بمقدار وحدتين إلى اليسار ثم نطرح اثنين من القيم المخرجة. هذا ينقل المنحنى بمقدار وحدتين لأسفل. وهذا هو منحنى الدالة التكعيبية القياسية ﺹ تساوي ﺱ تكعيب عند انتقاله بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدتين لأسفل. ويمكننا ملاحظة ذلك في التمثيل البياني.

يمكننا بعد ذلك تذكر أن المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب له تماثل دوراني حول نقطة الأصل، أي النقطة صفر، صفر. تجدر الإشارة إلى أن السبب في ذلك هو أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب دالة فردية، ما يعني أن ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا لإثبات وجود تماثل دوراني. على وجه التحديد، إذا كانت النقطة التي إحداثياتها ﺱ، ﺹ تقع على هذا المنحنى، فإن النقطة التي إحداثياتها سالب ﺱ، سالب ﺹ ستقع أيضًا على المنحنى.

لعلنا نتذكر أن الانتقال لا يؤثر على شكل المنحنى. وعليه، فقد نقلنا نقطة التماثل للتو. ونقلناها بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدتين إلى أسفل. حدث هذا الانتقال من نقطة الأصل إلى النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، سالب اثنين. بذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ﺱ زائد اثنين الكل تكعيب ناقص اثنين له نقطة تماثل دوراني عند النقطة سالب اثنين، سالب اثنين.