فيديو الدرس: التحويل بين المعادلات البارامترية والمعادلات الديكارتية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية التحويل بين المعادلات البارامترية والمعادلات الديكارتية أو الكارتيزية. سوف نتعلم كيف تساعدنا هذه العملية على رسم المنحنى المعرف بزوج من المعادلات البارامترية، وكيف نعبر بارامتريًّا عن دوائر مراكزها تقع عند نقطة الأصل، وعن قطع مستقيمة تقع بين نقطتين.

لنبدأ بتذكر أن المعادلة الكارتيزية أو المعادلة الديكارتية معادلة معطاة بدلالة متغيرات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. هي تعطى عادة في صورة ‪𝑦‬‏ يساوي دالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، لكن هذا لا ينطبق دائمًا. يعطى زوج من المعادلات البارامترية بدلالة متغير ثالث، يكون عادة ‪𝑡‬‏؛ حيث يساوي ‪𝑥‬‏ دالة ما في المتغير ‪𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي دالة أخرى في المتغير ‪𝑡‬‏. لدينا طريقة للتحويل من الصورة البارامترية إلى الصورة الديكارتية؛ هي إعادة الترتيب لاستبعاد المتغير ‪𝑡‬‏.

دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

حول المعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ ناقص واحد إلى الصورة الديكارتية.

لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية. لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي دالة ما لـ ‪𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي دالة أخرى لـ ‪𝑡‬‏. لتحويل المعادلات البارامترية إلى الصورة الديكارتية، علينا إيجاد طريقة لاستبعاد المتغير ‪𝑡‬‏. عند النظر إلى هاتين المعادلتين، قد نلاحظ أنه يمكننا إعادة ترتيب معادلة ‪𝑦‬‏ لكي نجعل ‪𝑡‬‏ المتغير التابع. نبدأ بإضافة واحد إلى كلا الطرفين. بعد ذلك نقسم على ثلاثة. وبذلك نرى أن ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ زائد واحد الكل على ثلاثة.

نعود الآن إلى معادلة ‪𝑥‬‏. نعوض عن ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑦‬‏ زائد واحد على ثلاثة. ونجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ زائد واحد على ثلاثة الكل تربيع زائد اثنين. ثمة حالات معينة سيطلب منا فيها فك الأقواس ثم التبسيط. لكن في هذه الحالة، هذا ليس ضروريًّا. وبذلك نكون انتهينا. لقد حولنا المعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ ناقص واحد إلى الصورة الديكارتية أو الكارتيزية. ونجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ زائد واحد على ثلاثة الكل تربيع زائد اثنين.

في مثالنا الآتي، سننظر كيف يمكن أن تساعدنا المتطابقات المثلثية في استبعاد المتغير ‪𝑡‬‏.

أوجد المعادلة الكارتيزية للمنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين زائد ‪cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏.

تذكر أن المعادلة الكارتيزية معادلة تحتوي على المتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ فقط. إذن علينا إيجاد طريقة لاستبعاد المتغير الثالث ‪𝑡‬‏ من هاتين المعادلتين البارامتريتين. وللوهلة الأولى، لا يبدو إجراء ذلك طريقة جيدة. لكن يمكننا البدء بتذكر بعض المتطابقات المثلثية. لدينا ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ في المعادلة البارامترية الثانية. ونعلم أن ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ يساوي اثنين في ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ ناقص واحد. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة معادلة ‪𝑦‬‏ بالصورة أربعة في اثنين ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ ناقص واحد.

بعد ذلك، سننظر في إعادة ترتيب معادلة ‪𝑥‬‏ لكي نجعل ‪cos 𝑡‬‏ المتغير التابع. بمجرد إجراء ذلك، سنتمكن من إيجاد مقدار لـ ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏. يمكننا طرح اثنين من كلا الطرفين. ونلاحظ أن ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين يساوي ‪cos 𝑡‬‏. بتربيع طرفي المعادلة بعد ذلك، نجد أن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع. وبذلك يمكننا الآن التعويض عن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين تربيع. يصبح لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة في اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع ناقص واحد.

نفك هذا الزوج الأول من الأقواس. ونجد أن ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة. ونوزع مرة أخرى بضرب كل حد من تلك الحدود في اثنين ثم نبسط المقدار، حيث ثمانية ناقص واحد يساوي سبعة. حسنًا، وأخيرًا: نوزع الأقواس مرة أخرى بضرب كل حد من المقدار اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد سبعة في أربعة. ومن ذلك نجد أن المعادلة الكارتيزية للمنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين زائد ‪cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ هي ‪𝑦‬‏ يساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص 32𝑥 زائد 28.

يمكننا أن نلاحظ أن هذه العملية قد تكون مفيدة بالفعل في مساعدتنا على رسم المنحنيات المعطاة بالصورة البارامترية. على سبيل المثال، في هذه الحالة كان لدينا زوج من المعادلات البارامترية. وقد يتضح الآن كيف يبدو المنحنى المعرف بهاتين المعادلتين البارامتريتين. لكن بكتابته في الصورة الكارتيزية، يمكننا ملاحظة أن لدينا منحنى تربيعيًّا بمعامل رئيسي موجب لـ ‪𝑥‬‏. ومن ذلك نعلم أننا سنحصل على شكل القطع المكافئ المعتاد هذا. ويمكننا استخدام الأساليب المعتادة في رسم المنحنيات التربيعية لرسم المنحنى المعرف بهاتين المعادلتين البارامتريتين.

دعونا نر كيف قد تبدو العملية بالكامل.

حول المعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪sin 𝑡‬‏ إلى الصورة الديكارتية.

تذكر أن الصورة الديكارتية لأي معادلة هي الصورة التي تحتوي على المتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ فقط. إذن علينا إيجاد طريقة لاستبعاد المتغير الثالث ‪𝑡‬‏ من هاتين المعادلتين البارامتريتين. للوهلة الأولى، لا يبدو إجراء ذلك طريقة جيدة. لكن لنتذكر بعض المتطابقات المثلثية. نعرف أن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا. إذن لنبدأ ببساطة بتربيع معادلتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏.

في معادلة ‪𝑥‬‏ نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏ الكل تربيع، وهو ما يساوي تسعة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. بذلك يمكننا القول إن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ سيساوي ‪𝑥‬‏ تربيع على تسعة. وبالمثل يمكننا القول إن ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ثلاثة ‪sin 𝑡‬‏ الكل تربيع. نفك القوسين ونجد أن ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة في ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. وبعد ذلك نقسم على تسعة. ونرى أن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ تربيع على تسعة.

إذا عوضنا عن ‪𝜃‬‏ بـ ‪𝑡‬‏ في هذه المتطابقة، فتذكر أن هذا لا يغير المتطابقة. نرى أنه يمكننا التعويض عن ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑥‬‏ تربيع على تسعة. ويمكننا التعويض عن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑦‬‏ تربيع على تسعة. كل هذا يساوي واحدًا. نضرب بعد ذلك في تسعة. ونجد أن الصورة الديكارتية للمعادلة تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة.

من هنا نرسم المنحنى المحدد بهذا الزوج من المعادلات البارامترية.

وجدنا الآن أن هذا الزوج من المعادلات البارامترية، ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪sin 𝑡‬‏، هو ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة بالصورة الديكارتية. ومن ذلك نتذكر أن معادلة الدائرة التي مركزها يقع عند ‪𝑎 ‏‬‏و‪𝑏‬‏ ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ هي: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. نقارن هذا بمعادلتنا: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة. وبإجراء ذلك، نلاحظ أن ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ يجب أن يساويا ببساطة صفرًا. ونجد أيضًا أن ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي تسعة. حسنًا، إذا أخذنا الجذر التربيعي لهذا، نجد أن ‪𝑟‬‏ يساوي ثلاثة. إذن نلاحظ أن المعادلتين البارامتريتين: ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪sin 𝑡‬‏؛ تعبران عن دائرة مركزها صفر، صفر، أي نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي ثلاثة. قد يبدو الشكل هكذا تقريبًا.

لكن علينا تحديد الاتجاه المرسوم به المنحنى. لنوجد قيمة الإحداثيين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ عندما ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا. عندما ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة في ‪cos‬‏ صفر، وهو ما يساوي ببساطة ثلاثة. وعندما ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪sin‬‏ صفر، وهو ما يساوي صفرًا. بناء على ذلك، سنبدأ بتحديد النقطة التي إحداثياتها الكارتيزية تساوي ثلاثة، صفرًا. دعونا نختر بعد ذلك ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين.

يمكننا بالطبع اختيار ‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا. لكن بما أننا نتعامل مع مقادير مثلثية، فيبدو ‪𝜋‬‏ على اثنين أكثر منطقية نوعًا ما. عندما ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين، ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝜋‬‏ على ‪𝑡‬‏، وهو ما يساوي صفرًا و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في ‪sin 𝜋‬‏ على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن النقطة الثانية التي نحددها إحداثياتها الكارتيزية تساوي صفرًا، ثلاثة. يمكننا بذلك ملاحظة أننا نتحرك باتجاه عكس دوران عقارب الساعة عند رسم الدائرة.

بعد ذلك، سننظر في التحويل من الصورة الديكارتية إلى الصورة البارامترية.

حول المعادلة الديكارتية ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي 25 إلى الصورة البارامترية.

لنبدأ بتذكر ما نعرفه بالفعل حول هذه المعادلة. نعرف أن الدائرة التي مركزها يقع عند نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ يمكن تعريفها بالمعادلة الكارتيزية ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. بكتابة معادلتنا الديكارتية في الصورة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي خمسة تربيع، نلاحظ أن لدينا دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي خمس وحدات. لذلك رسمناها على المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، كما هو موضح.

سننظر في تحويل هذه المعادلة إلى الصورة البارامترية. نعرف أن زوجًا من المعادلات البارامترية يصف الإحداثيين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ بدلالة متغير ثالث، وهو ‪𝑡‬‏. إذن لنختر نقطة عامة في صورة ‪𝑥‬‏،‪‏ 𝑦‬‏. سأختار هذه النقطة في الربع الأول. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية، حيث ارتفاعه يساوي ‪𝑦‬‏ من الوحدات وعرضه يساوي ‪𝑥‬‏ من الوحدات. ثم يمكننا تسمية الزاوية المحصورة ‪𝑡‬‏. وبما أن نصف قطر الدائرة يساوي خمس وحدات، نعرف من ذلك أن وتر هذا المثلث يساوي خمسة. وباستخدام التحويلات القياسية، نسمي أضلاع هذا المثلث. لدينا الضلع المجاور، وهو ‪𝑥‬‏. ولدينا الضلع المقابل، وهو ‪𝑦‬‏. ولدينا الوتر، وهو يساوي خمسة.

نعرف أيضًا أن في حساب المثلثات الديكارتية، ‪sin 𝜃‬‏ يساوي الضلع المقابل مقسومًا على الوتر و‪cos 𝜃‬‏ يساوي الضلع المجاور على الوتر. إذن يمكننا القول إن ‪sin 𝑡‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ على خمسة و‪cos 𝑡‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على خمسة. يمكننا الضرب في خمسة في كلتا المعادلتين. ونجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪sin 𝑡‬‏ و‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪cos 𝑡‬‏. إذن لأي نقطة في الدائرة، الإحداثي ‪𝑦‬‏ معرف بخمسة ‪sin 𝑡‬‏ والإحداثي ‪𝑥‬‏ معرف بخمسة ‪cos 𝑡‬‏. والآن من خلال الانتقال باتجاه عكس دوران عقارب الساعة من المحور الأفقي الموجب، نلاحظ أنه كلما ازدادت قيمة ‪𝑡‬‏ من الصفر، تتكون بالمقابل الإحداثيات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. إذن المعادلتان هما: ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪cos 𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪sin 𝑡‬‏.

في هذين المثالين السابقين، لاحظنا أن معادلة الدائرة التي مركزها يقع عند نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ معرفة بالمعادلة: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. ولكننا رأينا أيضًا أنه يمكننا تحويلها إلى صورة بارامترية. في هذه الحالة كان لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪sin 𝑡‬‏ و‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪cos 𝑡‬‏، حيث خمسة هي نصف قطر الدائرة.

بشكل عام، يمكننا الإشارة إلى ذلك بوصفه نتيجة. يمكننا تعريف الدائرة باعتبارها المحل الهندسي للنقاط التي تحقق المعادلتين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑟 cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑟 sin 𝑡‬‏، حيث ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ هما إحداثيا أي نقطة تقع على الدائرة، و‪𝑟‬‏ هو نصف قطر الدائرة، و‪𝑡‬‏ هو البارامتر الذي يمثل الزاوية المقابلة للنقطة التي تقع عند مركز الدائرة.

يمكننا أيضًا استخدام معرفتنا بالهندسة المستوية البسيطة للتعبير بارامتريًّا عن قطعة مستقيمة. دعونا نر كيف قد يبدو ذلك.

افترض أن النقطة ‪𝐴‬‏ تساوي سالب واحد، واحدًا، والنقطة ‪𝐵‬‏ تساوي أربعة، اثنين. أوجد المعادلتين البارامتريتين للقطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏، حيث ‪𝑡‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي واحدًا.

لنبدأ برسم المخطط لتوضيح النقطتين والقطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. يبدو الشكل هكذا تقريبًا. والآن نعرف أننا سننتقل من اليسار إلى اليمين بشكل عام. وعليه سنجعل ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا عند النقطة الأولى سالب واحد، واحد. يعني هذا أن علينا أن نجعل ‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا عند النهاية الأخرى من هذه الفترة، أي عند النقطة أربعة، اثنين. الآن نستخدم الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. وهي ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑡‬‏ في ‪𝑎𝑏‬‏.

بما أن هذه معادلة خط مستقيم ذي بعدين، يمكننا تمديد هذه العملية لتشمل التعامل مع خط مستقيم ذي ثلاثة أبعاد. يمكننا القول بعد ذلك إن المتجه ‪𝑟‬‏ على الصورة ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. نجمع بعد ذلك المتجهات في الطرف الأيمن لتكون ‪𝑥‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑎‬‏، ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑏‬‏. نلاحظ أن الحالة الوحيدة التي يكون فيها المتجه على الطرف الأيسر مساويًا للمتجه على الطرف الأيمن هي عندما تكون مركبات كل الأجزاء متساوية. وذلك إذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑎‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑏‬‏. في الحقيقة هذا الزوج من المعادلات يسمى الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم. الآن يمكننا استخدامهما إلى جانب المعطى الموجود في السؤال لإيجاد المعادلتين البارامتريتين للقطعة المستقيمة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏.

لنعد إلى ما ذكرناه سابقًا. ذكرنا أن ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا عند النقطة سالب واحد، واحد. عندما ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا سيعطينا هذا قيم ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر. إذن ‪𝑥‬‏ صفر يجب أن يساوي سالب واحد، و‪𝑦‬‏ صفر يجب أن يساوي واحدًا. من ذلك نلاحظ أن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد زائد ‪𝑡𝑎‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي واحدًا زائد ‪𝑡𝑏‬‏. سنستخدم الآن الحقيقة التي تخبرنا أن عندما ‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا، ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة و‪𝑦‬‏ يساوي اثنين. إذن تصبح المعادلة الأولى: أربعة يساوي سالب واحد زائد واحد ‪𝑎‬‏. والمعادلة الثانية تصبح: اثنان يساوي واحدًا زائد واحد ‪𝑏‬‏. بإضافة واحد إلى كلا طرفي المعادلة الأولى، نجد أن ‪𝑎‬‏ يساوي خمسة. وبطرح واحد من كلا طرفي المعادلة الثانية، نجد أن ‪𝑏‬‏ يساوي واحدًا. وبذلك أصبح لدينا المعادلتان البارامتريتان لوصف القطعة المستقيمة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ لقيم ‪𝑡‬‏ بين صفر وواحد. وهما: ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪𝑡‬‏ ناقص واحد، و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ زائد واحد.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه إذا أردنا التحويل من معادلة بارامترية إلى معادلة ديكارتية، فعلينا إيجاد طريقة لاستبعاد ‪𝑡‬‏. وعرفنا أيضًا، بشكل عام، أن أي دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ تكون معرفة بالمعادلتين البارامتريتين: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑟 cos 𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑟 sin 𝑡‬‏. وأخيرًا: رأينا أن المعادلة البارامترية لخط مستقيم هي: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑎‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑡𝑏‬‏.