فيديو الدرس: اتزان الجسم الجاسئ الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن اتزان الأجسام الجاسئة في بعدين، حيث مجموع القوى ومجموع العزوم يساويان صفرًا. سنعرف أنه لأي جسم جاسئ، مثل الأجزاء المختلفة من هذا الجسر المعلق، عندما تكون محصلة القوى ومحصلة عزوم القوى المؤثرة على الجسم تساويان صفرًا، يقال إن هذا الجسم في حالة اتزان. وهذان شرطان سنستخدمهما في تحليل أمثلة مختلفة. حسنًا، ماذا نعني إذن بالجسم الجاسئ؟

الجسم الجاسئ هو جسم لا ينثني أو يتقوس أو يتغير شكله بأي طريقة بسبب تأثير قوة أو عدد من القوى. ويكون الجسم الجاسئ في حالة اتزان إذا كان مجموع القوى ومجموع عزوم القوى المؤثرة على الجسم يساويان صفرًا. هذا يعني أن هذا الجسم لا يتعرض لأي حركة انتقالية أو حركة دورانية. لنفترض مثلًا أن هناك قضيبًا منتظمًا في حالة سكون يرتكز على مستوى أفقي أملس. ويؤثر القضيب بقوة وزن رأسيًّا لأسفل على الطاولة. وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، تؤثر الطاولة بقوة رد الفعل العمودي ﺭ على القضيب. وبما أن هاتين القوتين متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه، ولا توجد أي قوة أخرى تؤثر على الجسم، فإن ﺭ يساوي ﻭ؛ ما يعني أن المجموع الكلي للقوتين يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن عجلة الجسم تساوي صفرًا، وأن الجسم في حالة اتزان انتقالي.

لكن ماذا عن الاتزان الدوراني؟ حسنًا، إذا كانت القوتان تؤثران في نفس خط العمل خلال الجسم، فإن هذا يعني أننا إذا فكرنا في إمكانية دوران القضيب تحت تأثير أي من هاتين القوتين لينتج عزمًا لا يساوي صفرًا، فسنجد أنه بغض النظر عن النقطة التي نختارها لتكون مركز الدوران — ما دامت هذه النقطة على محور القضيب — فإن عزم القوة الذي تنتجه أي قوة من القوتين حول هذه النقطة سيعاكسه العزم الذي تنتجه القوة الأخرى. عندما تكون محصلة العزوم على الجسم تساوي صفرًا، فإننا نقول إن الجسم في حالة اتزان دوراني. وعندما يتحقق هذان الشرطان معًا، نقول إن الجسم في حالة اتزان.

حسنًا، دعونا نصغ ذلك. إن الجسم الذي تؤثر عليه مجموعة من القوى المستوية يكون في حالة اتزان إستاتيكي إذا انعدمت القوة المحصلة — أي إن مجموع متجهات القوى يساوي المتجه الصفري — وإذا انعدمت أيضًا محصلة العزوم حول أي نقطة عشوائية، لنسمها ﻡ، أي إن مجموع متجهات العزوم يساوي المتجه الصفري. هذان الشرطان كافيان ولازمان لاتزان القوى. دعونا الآن نكتب القوة المحصلة على الصورة ﺱﺱ زائد ﺹﺹ، حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان وفي نفس المستوى.

يترتب على ذلك أنه إذا كان ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا، فإن مجموع القوتين يساوي صفرًا. بالإضافة إلى ذلك، إذا انعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ما على المستوى، فإن الجسم يكون في حالة اتزان. وهذا مفيد للغاية لأنه يعني أنه يمكننا توسيع نطاق مفهوم التعامل مع جسم في حالة اتزان باستخدام ترميز المتجه ليتيح لنا التعامل مع الكميات القياسية. دعونا نوضح ما يعنيه هذا عمليًّا لحل مسائل عن الأجسام الجاسئة في حالة اتزان.

في الشكل التالي، أوجد مقدار القوة ﻕ الذي يجعل القضيب في حالة اتزان، علمًا بأن مقدار القوة المعطاة سبعة نيوتن وجتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس.

حسنًا، لدينا قضيب رأسي، وعلمنا أنه في حالة اتزان. وتوجد قوتان معلومتان تؤثران على القضيب، ولكنهما ليستا القوتين الوحيدتين المؤثرتين عليه. نفترض أن النقطة التي يلتقي عندها القضيب بالسطح الذي يرتكز عليه هي النقطة ﺃ. وهناك قوة وزن تؤثر لأسفل عند هذه النقطة. لكن وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، توجد أيضًا قوة رد فعل مضادة في الاتجاه سنسميها ﺭ. وبالإضافة إلى هذه القوى، هناك أيضًا قوة أخرى تؤثر على القضيب. إذا فكرنا في دوران القضيب حول أي نقطة تؤثر عندها القوتان الأفقيتان، فسنجد أن هذا صحيحًا.

بالتفكير في القوى التي رسمناها حتى الآن، نجد أن القضيب ليس في حالة اتزان دوراني، ما يعني أن العزم لا يساوي صفرًا. يمكن حل هذه المشكلة إذا افترضنا أن هناك قوة احتكاك، سنسميها ﺣﺱ، تؤثر على القضيب إلى اليسار عند النقطة ﺃ. والآن، أصبح لدينا مخطط جسم حر يوضح جميع القوى المؤثرة على القضيب.

نحن نعلم أنه لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون مجموع القوى يساوي صفرًا، ومجموع العزوم حول نقطة ما، سنسميها ﻡ، يساوي صفرًا أيضًا. حسنًا، لقد كتبنا ذلك باستخدام ترميز المتجه. لكننا نعلم بالطبع أنه يمكننا ببساطة تحليل القوى إلى مركبات أفقية ورأسية والحصول على النتيجة نفسها. ونظرًا لوجود العديد من القوى المجهولة هنا، سنركز على مجموع العزوم. وسنكون معادلة تتضمن ذلك، مع حساب مجموع العزوم حول النقطة ﺃ.

بما أن العزم يساوي القوة في طول العمود المرسوم من النقطة ﺃ إلى خط عمل القوة، فإن عزم القوة التي مقدارها سبعة نيوتن يساوي سبعة جتا ٣٠ في ٤٫٧ زائد ٢٫١. وهذا يساوي ٤٧٫٦ جتا ٣٠. وبالمثل، عزم القوة المجهولة ﻕ يساوي ﻕ جتا 𝜃 في ٢٫١. بعد ذلك، سنحسب مجموع العزوم، علمًا بأن الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة يكون موجبًا. وبما أننا نعلم أن المجموع يساوي صفرًا، يصبح لدينا ٤٧٫٦ جتا ٣٠‎ ناقص ٢٫١ﻕ جتا 𝜃 يساوي صفرًا.

في الواقع، نحن لم نستخدم حتى الآن المعلومة التي تخبرنا أن جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس. إذن، سنعوض بذلك في المعادلة لدينا، وسنتمكن من الحل لإيجاد قيمة ﻕ. عندما نفعل ذلك، يصبح الجزء الثاني من التعبير هو سالب ٢٫١ ﻕ في أربعة أخماس، وهو ما يساوي ١٫٦٨ ﻕ. بإعادة الترتيب لنحصل على قيمة ﻕ، نجد أنها تساوي ٤٧٫٦ جتا ٣٠ مقسومًا على ١٫٦٨ . هذا يعطينا ٨٥ على ثلاثة في جذر ثلاثة على اثنين، وهو ما يبسط إلى ٨٥ جذر ثلاثة على ستة نيوتن. وبذلك، نكون قد حصلنا على مقدار القوة ﻕ الذي يجعل القضيب في حالة اتزان. وهو يساوي ٨٥ جذر ثلاثة على ستة نيوتن.

في هذا المثال، تمكنا من حل مسألة تتضمن إيجاد مقدار قوة مجهولة بالتفكير في العزوم. في المثال التالي، سنتناول مسألة تتضمن سلمًا. ففي هذا المثال، يستند سلم على حائط أملس وطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة.

يستند سلم منتظم على مستوى رأسي طرفه العلوي في مواجهة حائط رأسي أملس، وطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة؛ حيث معامل الاحتكاك بين السلم والأرض ثلثان. يميل السلم على المستوى الأفقي بزاوية قياسها ٤٨ درجة. إذا كان وزن السلم ٢٩٥ نيوتن وطوله ﻝ، فأوجد بدلالة ﻝ أقصى مسافة يمكن لرجل وزنه ٦١٠ نيوتن أن يصعدها على السلم دون أن ينزلق، مع تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا، لدينا هنا الكثير من المعلومات، لذا سنبدأ برسم مخطط جسم حر. هذا هو السلم المنتظم الذي يستند على حائط رأسي أملس ويميل على المستوى الأفقي بزاوية قياسها ٤٨ درجة. بما أن السلم منتظم، سنفترض أن وزنه يؤثر رأسيًّا لأسفل عند نقطة تقع في منتصف السلم بالضبط. ومن ثم، توجد قوة رد فعل الأرض على السلم، وقوة رد فعل الحائط على السلم، وسنسميهما ﺭﺃ وﺭﺏ على الترتيب. يتوقف السلم عن الانزلاق بواسطة قوة الاحتكاك. وسنسميها ﺣﺱ. وهي تساوي ﻡﺱ في ﺭﺃ، حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك وﺭﺃ هو قوة رد فعل الأرض على السلم.

وأخيرًا، علمنا أن الرجل يمكنه أن يصعد السلم لمسافة معينة دون أن ينزلق. وزن الرجل ٦١٠ نيوتن، إذن سنمثل هذا باعتباره قد تجاوز نقطة المنتصف بقليل. وفي الواقع، إذا اعتبرنا أن وزن السلم يساوي نصف ﻝ من الطرف السفلي للسلم، فيمكننا إذن القول إن الرجل يبعد مسافة ﺱﻝ عن الطرف السفلي للسلم، حيث ﺱ هو قوة الاحتكاك. نلاحظ هنا أننا نحاول إيجاد قيمة ﺱ. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونبدأ في حل هذه المسألة.

في نفس اللحظة قبل أن ينزلق السلم، يكون السلم على وشك الانزلاق، لذا فإنه يكون في حالة اتزان. ولكي يتحقق ذلك، نحن نعلم أن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم لا بد أن تساوي صفرًا، كما أن محصلة العزوم لا بد أن تساوي صفرًا أيضًا. وبدلًا من استخدام الصورة المتجهة، سنحلل المركبات المنفردة للقوة. دعونا نحدد الاتجاه لأسفل على أنه موجب ونوجد محصلة القوى المؤثرة على السلم.

هناك ثلاث قوى تؤثر في هذا الاتجاه الرأسي. وهي قوة وزن السلم، وقوة وزن الرجل، وقوة رد فعل الأرض على السلم عند ﺃ‏. محصلة هذه القوى تساوي ٦١٠ زائد ٢٩٥ ناقص ﺭﺃ. وبما أن السلم في حالة اتزان، فإن هذا يساوي صفرًا. إذن، يمكننا القول إن ٩٠٥ ناقص ﺭﺃ يساوي صفرًا. وﺭﺃ، أي قوة رد فعل الأرض على السلم، تساوي ٩٠٥ نيوتن. دعونا الآن نحلل القوى إلى مركبات أفقية، ونجعل الاتجاه إلى اليمين موجبًا.

مجموع القوى في هذا الاتجاه هو ﺭﺏ ناقص قوة الاحتكاك. ونحن نطرح قوة الاحتكاك لأنها تؤثر في اتجاه اليسار. وبالطبع، مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. هذا يعني أن قوة رد الفعل عند ﺏ يجب أن تساوي قوة الاحتكاك. لكن تذكر أننا قلنا إن قوة الاحتكاك تساوي معامل الاحتكاك في قوة رد الفعل العمودي عند تلك النقطة؛ أي ﻡﺱ في ﺭﺃ.

لقد أوجدنا أن قوة رد الفعل عند ﺃ تساوي ٩٠٥. وعلمنا من السؤال أن ﻡﺱ، أي معامل الاحتكاك، يساوي ثلثين. ثلثان في ٩٠٥ يساوي ١٨١٠ على ثلاثة. ومن ثم، يصبح لدينا قوة رد الفعل عند ﺏ. وهي قوة رد فعل الحائط على السلم. وبوضع هذا في الاعتبار، يمكننا الآن حساب العزوم حول نقطة. يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة، ولكن من المنطقي أن نحسبها حول نقطة طرف السلم؛ لأن هناك أكثر من قوة تؤثر عليها، كما أنها ستساعدنا في تبسيط الأمور. دعونا إذن نحسب العزوم حول النقطة ﺃ.

نحن نعلم أننا نريد أن يكون مجموع العزوم حول النقطة ﺃ يساوي صفرًا، وأن يكون الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا. تجدر الإشارة هنا إلى أن القوة التي مقدارها ٦١٠ نيوتن والقوة التي مقدارها ٢٩٥ نيوتن لا تؤثران في اتجاه عمودي على السلم. إذن، سنحلل مركبات هاتين القوتين. باستخدام حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، نلاحظ أن مركبتي هاتين القوتين العموديتين على السلم هما ‎٦١٠ جتا ٤٨، و٢٩٥ جتا ٤٨.

عزم وزن الرجل حول هذه النقطة يساوي حاصل ضرب مركبة القوة والمسافة من النقطة ﺃ. إذن، هذا يساوي ‎٦١٠ جتا ٤٨ في ﺱﻝ. وبالمثل، عزم وزن السلم يساوي ٢٩٥ جتا ٤٨ في نصف ﻝ. في الاتجاه المضاد، لدينا عزم قوة رد فعل الحائط على السلم. إذن، نطرح ١٨١٠ على ثلاثة جا ٤٨ في ﻝ. وبما أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا، فإننا نساوي المجموع بصفر. نلاحظ هنا أنه يمكننا القسمة على ﻝ. ونفعل ذلك لأننا نعلم أن طول السلم لا يمكن أن يساوي صفرًا.

بعد ذلك، نجعل ﺱ المتغير التابع. لذا، نطرح ٢٩٥ على اثنين جتا ٤٨ من الطرفين ثم نضيف ١٨١٠ على ثلاثة جا ٤٨. وأخيرًا، نقسم على ‎٦١٠ جتا ٤٨ درجة، وبحساب هذا، نحصل على قيمة ﺱ. هذا يعطينا ٠٫٨٥٦٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام. إذن بدلالة ﻝ، فإن المسافة التي يمكن أن يصعدها الرجل على السلم قبل أن ينزلق تساوي ٠٫٨٦ ﻝ أو ٠٫٨٦ ﻝ وحدة.

دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، عرفنا أن الجسم الجاسئ هو جسم لا ينثني أو يتقوس أو يتغير شكله بأي طريقة بسبب تأثير قوة. إن الجسم الذي تؤثر عليه مجموعة من القوى المستوية يكون في حالة اتزان إستاتيكي إذا انعدمت القوة المحصلة — أي إن مجموع القوى يساوي صفرًا — وإذا انعدمت أيضًا محصلة العزوم حول أي نقطة عشوائية ﻡ. هذان الشرطان كافيان ولازمان لاتزان القوى. تذكر أننا علمنا أنه يمكن توسيع نطاق مفهوم «الجسم في حالة اتزان» باستخدام ترميز المتجه ليتيح لنا التعامل مع الكميات القياسية، ويمكن أن يكون هذا أكثر فاعلية في الحسابات التي نجريها.