فيديو السؤال: إيجاد قياسات الزاوية والقوسين الأكبر والأصغر المحصورين بين مماسين الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في الشكل التالي، أوجد قيمة كل من ﺱ، ﺹ.

لنلق نظرة على الشكل المعطى. لدينا دائرة مركزها ﻡ، ومماسان لهذه الدائرة: الخطان ﺃﺏ وﺃﺟ. يتقاطع هذان المماسان عند نقطة خارج الدائرة، وهي النقطة ﺃ. وعلمنا من المعطيات أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المماسين هو ﺱ درجة.

ولدينا أيضًا تعبيران لقياسي القوسين اللذين يحصرهما هذان المماسان. قياس القوس الذي يمكننا افتراض أنه القوس الأصغر، ﺏﺟ، يساوي اثنين ﺱ درجة. وقياس القوس الأكبر ﺏﺟ يساوي ﺹ درجة. لإيجاد قيمتي المجهولين ﺱ وﺹ، علينا أن نتذكر العلاقة بين الزاوية المحصورة بين مماسين وقياسي القوسين المحصورين بينهما.

نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان خارج الدائرة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين. يمكننا إذن كتابة معادلة. قياس الزاوية المحصورة بين المماسين هو ﺱ درجة. وقياس القوس الأكبر المحصور يساوي ﺹ درجة، وقياس القوس الأصغر يساوي اثنين ﺱ درجة. وبذلك، نحصل على المعادلة ﺱ درجة يساوي نصف ﺹ درجة ناقص اثنين ﺱ درجة.

بما أن جميع حدود المعادلة مقيسة بالدرجات، يمكننا حذف وحدة القياس. ويصبح لدينا ﺱ يساوي نصفًا مضروبًا في ﺹ ناقص اثنين ﺱ. لا يمكننا حل هذه المعادلة لأن لدينا مجهولين ومعادلة واحدة فقط، لكن يمكننا إجراء بعض العمليات الحسابية عليها.

سنبدأ بضرب الطرفين في اثنين لنحصل على اثنين ﺱ يساوي ﺹ ناقص اثنين ﺱ. ثم نضيف اثنين ﺱ إلى كلا الطرفين لنحصل على أربعة ﺱ يساوي ﺹ. والآن كما ذكرنا سابقًا، لا يمكننا حل هذه المعادلة لأن لدينا مجهولين ومعادلة واحدة فقط. لكننا حددنا على الأقل العلاقة بين ﺹ وﺱ بشكل صريح. ومع ذلك، لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ نحتاج إلى معادلة ثانية.

حسنًا، نعلم أيضًا أن المحيط الكامل للدائرة يساوي ٣٦٠ درجة. بجمع قياسي القوسين الأكبر والأصغر معًا، يمكننا كتابة معادلة ثانية، ﺹ زائد اثنين ﺱ يساوي ٣٦٠. لدينا الآن معادلتان خطيتان ومجهولان. ومن ثم، يمكننا حلهما آنيًّا. المعادلة الأولى ﺹ يساوي أربعة ﺱ تعطينا مقدارًا يعبر عن ﺹ بدلالة ﺱ. إذن، يمكننا التعويض بهذا المقدار عن ﺹ في المعادلة الثانية، لنحصل على أربعة ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي ٣٦٠.

يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على ستة ﺱ يساوي ٣٦٠، وأخيرًا نقسم طرفي المعادلة على ستة لنحصل على ﺱ يساوي ٦٠. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة أحد المجهولين. لإيجاد قيمة المجهول الآخر، علينا التعويض بقيمة ﺱ هذه في المعادلة الأخرى. وبذلك يصبح لدينا ﺹ يساوي أربعة مضروبًا في ٦٠، وهو ما يساوي ٢٤٠. وبإجراء تحقق سريع، نتأكد أن قيمة ﺹ زائد ضعف قيمة ﺱ يساوي ٣٦٠.

إذن، بتذكر نظرية الزوايا المحصورة بين مماسات متقاطعة، تمكنا من حل المسألة وأوجدنا قيمتي المجهولين. ‏ﺱ يساوي ٦٠، وﺹ يساوي ٢٤٠.