فيديو الدرس: خواص التكامل المحدد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص التكامل المحدد، مثل ترتيب حدود التكامل وحدود التكامل التي لها القيمة نفسها والمجموع والفرق. وسوف نتعلم أيضًا كيف يمكن لهذه الخصائص مساعدتنا في تبسيط المسائل التي تتضمن التكامل المحدد.

عند تعريف التكامل المحدد، أي التكامل بين ﺃ وﺏ في الدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، افترضنا ضمنيًّا أن ﺃ كان أقل من ﺏ. ولكن بالتفكير في تعريف التكامل المحدد كنهاية مجاميع ريمان، فإننا نرى أن هذا ما زال ينطبق إذا كان ﺃ أكبر من ﺏ. لاحظ أيضًا أنه إذا عكسنا ﺃ وﺏ، فإن 𝛥ﺱ يتغير إلى ﺃ ناقص ﺏ على ﻥ. بذلك، نجد أن التكامل المحدد بين ﺏ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وإذا كان ﺃ يساوي ﺏ، فإن 𝛥ﺱ يصبح صفرًا. إذن، التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو نفسه يساوي صفرًا. سنلقي نظرة الآن على بعض خصائص التكامل المهمة الأخرى التي يمكننا تذكرها.

الاستنتاج الكامل لهذه الخصائص خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. ولكننا سنتناول فكرة بسيطة عن كيفية نشأتها. لنفترض أن لدينا دالتين متصلتين؛ ﺩ وﺭ. الخاصية الثانية التي نهتم بها هي أن التكامل المحدد بين ﺃ وﺟ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل المحدد بين ﺏ وﺟ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهندسيًّا، هذا أمر متوقع حقًّا. فنحن نفكر في التكامل المحدد على أنه المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ. وبذلك، نجد أن إجمالي المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ، والمحصورة بين الخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺟ، لا بد أن تساوي المساحة المحصورة بين الخطين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ والمساحة المحصورة بين الخطين ﺱ يساوي ﺏ وﺱ يساوي ﺟ.

عندما تكون قيمة ﺟ ثابتة، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺟ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺟ في ﺏ ناقص ﺃ. بمعنى آخر، تكامل الدالة الثابتة ﺟ يساوي هذا الثابت مضروبًا في طول التكامل. باستخدام ﺟ أكبر من صفر وأقل من ﺏ، نجد أن هذا متوقعًا. لأن ﺟ في ﺏ ناقص ﺃ هي مساحة المستطيل الموضح. الخاصية التالية هي أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكاملي هاتين الدالتين. لذلك في الدوال الموجبة، المساحة أسفل ﺩ زائد ﺭ تساوي المساحة أسفل ﺩ زائد المساحة أسفل ﺭ.

بالمثل، تكامل ثابت مضروبًا في دالة يساوي هذا الثابت مضروبًا في تكامل الدالة. إذن، بدمج الخاصيتين السابقتين، نجد أن تكامل الفرق بين الدالتين يساوي تكامل ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد سالب واحد في تكامل ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. ولكن، بالطبع، يجب أن يساوي هذا الفرق بين تكاملي هاتين الدالتين. لنلق نظرة على مثال على بعض هذه الخصائص.

الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى أربعة وتحقق التكامل المحدد بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي تسعة. حدد التكامل المحدد بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ ناقص ستة بالنسبة إلى ﺱ.

لحل هذا السؤال، سنبدأ بتذكر بعض الخصائص الأساسية للتكامل المحدد. أولًا، نحن نعلم أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكامل كل دالة منهما. بالمثل، تكامل الفرق بين دالتين يساوي الفرق بين تكاملي هاتين الدالتين. هذا يعني أن بإمكاننا البدء بإعادة كتابة التكامل على صورة الفرق بين التكامل بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ والتكامل بين صفر وأربعة لستة بالنسبة إلى ﺱ. ونتذكر أيضًا أنه فيما يتعلق بالدالة الثابتة ﺟ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺟ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺟ في ﺏ ناقص ﺃ.

حسنًا، ﺟ يساوي ستة، وﺃ يساوي صفرًا وﺏ يساوي أربعة. لذلك فإن التكامل المحدد بين صفر وأربعة لستة بالنسبة إلى ﺱ هو ببساطة ستة في أربعة ناقص صفر، وهو ما يساوي ٢٤. ووفقًا لما ورد في السؤال، سنعوض الآن عن التكامل بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بتسعة. ونجد أن تكامل ﺩﺱ ناقص ستة بين الحدين صفر وأربعة بالنسبة إلى ﺱ هو تسعة ناقص ٢٤. هذا يساوي سالب ١٥. لذلك، وعلى الرغم من عدم معرفة الدالة ﺩ، فإننا نرى أن التكامل المحدد بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ ناقص ستة بالنسبة إلى ﺱ هو سالب ١٥.

لنلق الآن نظرة على مثال آخر يتضمن خصائص بسيطة للتكامل المحدد.

إذا كان التكامل المحدد بين سالب سبعة وثمانية لـ ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٠، فأوجد قيمة التكامل المحدد بين ثمانية وسالب سبعة لسبعة ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ.

لحل هذا السؤال، سنحتاج إلى تذكر خاصيتين معينتين للتكامل المحدد. الأولى هي أن التكامل المحدد بين ﺏ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة نفسها بالنسبة إلى ﺱ. ونحن نعلم أيضًا أن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لأي ثابت ﺟ في ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺟ في التكامل المحدد لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه الخاصية الثانية رائعة لأنها تعني أننا يمكننا ببساطة نقل الثابت خارج التكامل والتركيز على تكامل الدالة نفسها.

لنبدأ بأخذ هذا العامل الثابت سبعة خارج التكامل. عندما نقوم بذلك، يمكننا ملاحظة أن التكامل المحدد الذي نريد إيجاد قيمته يساوي سبعة في التكامل المحدد بين ثمانية وسالب سبعة لـ ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. الآن، في السؤال، علمنا أن التكامل المحدد بين سالب سبعة وثمانية للدالة يساوي ١٠. لذلك نستخدم الخاصية الأولى التي نذكرها لإعادة كتابة التكامل المحدد بين ثمانية وسالب سبعة لـ ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ في صورة سالب التكامل المحدد بين سالب سبعة وثمانية لـ ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ.

يمكن بالطبع تبسيط هذا. ويمكننا القول إن التكامل يساوي سالب سبعة في التكامل المحدد بين سالب سبعة وثمانية لـ ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. ولكن بالطبع نحن نعلم أن ذلك التكامل المحدد يساوي ١٠. لذلك فالتكامل المحدد يساوي سالب سبعة في ١٠، والذي يساوي ببساطة سالب ٧٠.

حسنًا، الأمر الرائع حقًّا فيما يتعلق بالخصائص التي تناولناها حتى الآن، هي أنها تنطبق على قيم ﺃ الأقل من ﺏ، وقيم ﺃ الأكبر من ﺏ، وقيم ﺃ التي تساوي ﺏ. الآن، هناك بعض الخصائص التي يمكننا تناولها فقط في حالة كان ﺃ أقل من أو يساوي ﺏ. ونطلق على هذه الخصائص مسمى «خصائص مقارنة التكامل». وهذا لأن هذه الخصائص تتيح لنا مقارنة القيم العامة للتكاملات المحددة.

تنص الخاصية الأولى على أنه إذا كانت ﺩﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا، حيث ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ سيكون أيضًا أكبر من صفر. وبالطبع هذا منطقي إذا فكرنا في التكامل المحدد على أنه المساحة بين منحنى ﺩ والمحور ﺱ. التفسير الهندسي هو ببساطة أن المساحة هنا موجبة. فالمساحة تقع أعلى المحور ﺱ. وتنص الخاصية الثانية ببساطة على أن الدالة الأكبر قيمة تكاملها أكبر. هذا أيضًا منطقي هندسيًّا، ولكن يمكن استنتاجه من الخاصية الأولى؛ لأن ﺩ ناقص ﺭ لا بد أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا.

الخاصية الثالثة تحتاج إلى مزيد من التفكير. إذا كانت ﺩ متصلة، يمكننا اعتبار أن ﻡ وﻥ هما القيمة الصغرى المطلقة والقيمة العظمى المطلقة لـ ﺩ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، على الترتيب. تفيد هذه الخاصية بأن المساحة أسفل منحنى ﺩ أكبر من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻡ ولكن أقل من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻥ.

لنلق نظرة الآن على مسألة تتضمن بعض هذه الخصائص.

افترض أنه في الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى خمسة، تقع قيم ﺩ في الفترة المغلقة من ﻡ إلى ﻥ. بين أي حدين يقع التكامل المحدد بين سالب اثنين وخمسة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ؟

إننا نتذكر إحدى خصائص مقارنة التكاملات. وتفترض الخاصية أن ﺩﺱ أكبر من أو يساوي ﻡ وأقل من أو يساوي ﻥ لقيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ﺃ والأقل من أو تساوي ﺏ. وفي هذه الحالة، فإن ﻥ في ﺏ ناقص ﺃ يكون أقل من أو يساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، والذي يكون بدوره أقل من أو يساوي ﻥ في ﺏ ناقص ﺃ. بمعنى آخر، إذا كانت ﻡ هي القيمة الصغرى المطلقة لـ ﺩ وﻥ هي القيمة العظمى المطلقة لـ ﺩ، فستكون المساحة أسفل منحنى ﺩ أكبر من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻡ. ولكنها تكون أقل من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻥ.

في هذا المثال، سنجعل ﺃ يساوي سالب اثنين وﺏ يساوي خمسة. بعد ذلك، نلاحظ أن ﻡ في خمسة ناقص سالب اثنين أقل من أو يساوي التكامل المحدد بين سالب اثنين وخمسة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، والذي يكون بدوره أقل من أو يساوي ﻥ في خمسة ناقص سالب اثنين. خمسة ناقص سالب اثنين يساوي سبعة. وبذلك، نرى أن التكامل المحدد يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سبعة ﻡ وأقل من أو يساوي سبعة ﻥ.

الخاصية الأخيرة التي نهتم بها تتضمن تكامل الدوال الفردية والزوجية. إننا نتذكر أنه إذا كانت الدالة فردية، فإن ﺩ سالب ﺱ يساوي سالب ﺩ(ﺱ). وتكون الدالة زوجية إذا كان ﺩ سالب ﺱ يساوي ﺩ(ﺱ). هندسيًّا، يكون للدالة الفردية تماثل دوراني حول نقطة الأصل. على سبيل المثال، ﺹ يساوي جا ﺱ. أما الدالة الزوجية فيكون لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ، ومنحنى الدالة ﺹ يساوي جتا ﺱ، على سبيل المثال. بالنسبة إلى الفترة المغلقة من سالب ﺃ إلى ﺃ، عندما تكون الدالة فردية، نقول إن التكامل المحدد بين سالب ﺃ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي صفرًا. وعندما تكون زوجية، نجد أنها تساوي اثنين في التكامل المحدد بين صفر وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

مرة أخرى، هندسيًّا، هذا منطقي للغاية. لقد لاحظنا أن الدالة الزوجية لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. لذلك التكامل بين سالب ﺃ وﺃ سيعطينا مساحة ضعف قياس المساحة بين صفر وﺃ. في الدالة الفردية، ستكون المساحتان متساويتين في القياس ولكن على جانبي المحور ﺱ، تلغي إحداهما الأخرى.

لنلق نظرة على مثالين عن ذلك.

الدالة ﺩ فردية ومتصلة على الفترة المغلقة من سالب واحد إلى سبعة، وتحقق التكامل المحدد بين واحد وسبعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ١٧. أوجد التكامل المحدد بين سالب واحد وسبعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لقد علمنا في البداية أن الدالة ﺩ فردية. إذن، نحن نتذكر الخاصية التالية لتكامل الدوال الفردية. التكامل المحدد بين سالب ﺃ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي صفرًا. وعلمنا أيضًا أن التكامل المحدد بين واحد وسبعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ١٧. لذلك نقسم التكامل. ونلاحظ أن التكامل الذي نريده بين سالب واحد وسبعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي التكامل المحدد بين سالب واحد وواحد لـ ﺩﺱ زائد التكامل المحدد بين واحد وسبعة لـ ﺩ(ﺱ).

حسنًا، الدالة ﺩ فردية. لذلك باستخدام الخاصية الأولى، نلاحظ أن التكامل المحدد بين سالب واحد وواحد لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ لا بد أن يساوي صفرًا. بعد ذلك، نعوض بقيمة التكامل المحدد بين واحد وسبعة لـ ﺩﺱ من السؤال. إنه سالب ١٧. هذا يعني أن التكامل المحدد الذي نريده يساوي صفرًا زائد سالب ١٧؛ أي سالب ١٧.

سنلقي الآن نظرة على مثال يتضمن دالة زوجية.

الدالة ﺩ زوجية ومتصلة على الفترة المغلقة من سالب ثمانية إلى ثمانية، وتحقق التكامل المحدد بين سالب ثمانية وثمانية لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٩ والتكامل المحدد بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٣. أوجد التكامل المحدد بين سالب ثمانية وسالب أربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لنبدأ بتذكر خاصية التكامل لدالة زوجية، أي إن التكامل المحدد بين سالب ﺃ وﺃ لهذه الدالة الزوجية يساوي اثنين في التكامل المحدد بين صفر وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نحن نريد إيجاد التكامل المحدد بين سالب ثمانية وسالب أربعة للدالة الزوجية. لذلك سنقوم بفعل ذلك على جزأين. أولًا، سنقسمه ونقول إن التكامل المحدد لا بد أن يساوي التكامل بين سالب ثمانية وصفر ناقص التكامل بين سالب أربعة وصفر. الآن، فعليًّا، سنكون معادلة بالاستعانة بالجزء الأول من هذا التكامل وحقيقة أن هذه الدالة زوجية.

التكامل المحدد بين سالب ثمانية وثمانية لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ لا بد أن يكون اثنين في التكامل المحدد بين صفر وثمانية لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبالتالي، لا بد أن يساوي اثنين في التكامل المحدد بين سالب ثمانية وصفر لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. بالطبع، في السؤال، علمنا أن التكامل المحدد بين سالب ثمانية وثمانية لـ ﺩﺱ يساوي ١٩. لذلك نجعل ١٩ يساوي اثنين في التكامل المحدد الذي نريده. وبعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على اثنين. ونجد أن هذا يساوي ١٩ على اثنين. التكامل الذي نريده يساوي ١٩ على اثنين ناقص التكامل المحدد بين سالب أربعة وصفر لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

مرة أخرى، الدالة زوجية. لذلك هذا بدوره لا بد أن يساوي ١٩ على اثنين ناقص التكامل المحدد بين صفر وأربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. تذكر أن سبب ذلك هو أن الدوال الزوجية لها انعكاس أو تماثل حول المحور ﺹ. حسنًا، علمنا من السؤال أن التكامل المحدد يساوي ١٣. إذن، لإيجاد قيمة ١٩ على اثنين ناقص ١٣، نكتب ١٣ في صورة ٢٦ على اثنين. لذلك نريد إيجاد ناتج ١٩ على اثنين، ناقص ٢٦ على اثنين، وهو سالب سبعة على اثنين. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة التكامل المحدد بين سالب ثمانية وسالب أربعة لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهي سالب سبعة على اثنين.

في هذا الفيديو، طورنا بعض الخصائص الأساسية للتكامل والتي تساعدنا على إيجاد قيمة التكامل بأسلوب بسيط. في حالة وجود دالة متصلة ﺩ، فإن التكامل المحدد بين ﺏ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لاحظنا أن تكامل دالة ثابتة ﺟ يساوي الثابت مضروبًا في طول الفترة. وأن تكامل مجموع دالتين متصلتين أو الفرق بينهما يساوي مجموع تكاملي كل منهما أو الفرق بين تكامليهما. ولاحظنا أنه يمكننا أخذ عوامل ثابتة إلى خارج التكامل والتركيز على تكامل الدالة نفسها.

تعلمنا أيضًا أن خصائص مقارنة التكامل يمكن استخدامها عندما يكون ﺏ أكبر من أو يساوي ﺃ. تنص الخاصية الأولى منها على أنه إذا كانت ﺩﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يكون أيضًا أكبر من صفر أو يساوي صفرًا. الدالة الأكبر يكون لها تكامل أكبر. وإذا كانت ﻡ وﻥ هما القيمة الصغرى المطلقة والقيمة العظمى المطلقة لـ ﺩ في فترة مغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن المساحة أسفل منحنى ﺩ لا بد أن تكون أكبر من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻡ وأقل من مساحة مستطيل ارتفاعه ﻥ.

في النهاية، تعلمنا أنه إذا كانت الدالة زوجية أو فردية في فترة مغلقة من سالب ﺃ إلى ﺃ، يمكننا تطبيق القواعد التالية. إذا كانت فردية، فإن التكامل المحدد بين سالب ﺃ وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي صفرًا. وإذا كانت زوجية، فإنها تساوي اثنين في التكامل المحدد بين صفر وﺃ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.