نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتناول بالشرح الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة وكيفية التعامل معها. كما سندرس تعريف مصطلحي الخطين المتوازيين والمتعامدين، ثم نتطرق إلى معادلات خطوط توضحهما ونستعرض بعض المسائل. يكون المستقيمان متوازيين إذا كانا في نفس المستوى، ومهما امتدا في كلا الاتجاهين، فالمسافة التي تفصل بينهما تظل ثابتة. وثمة تعريف آخر شائع يقول إن المستقيمين المتوازيين لا يتقاطعان أبدًا. ونستنتج من التعريف أنه إذا كان لديك خطان مستقيمان وهما في الحقيقة نفس الخط؛ حيث ينطبق أحدهما على الآخر، فهما غير متوازيين لأنهما يتقاطعان في عدد لا نهائي من النقاط المختلفة. وعلى الرغم من أن المسافة التي تفصل بين المستقيمين تظل ثابتة دائمًا، وهي صفر، فلا يمكننا اعتبارهما مستقيمين متوازيين لأنهما يتقاطعان بالفعل.
والآن، إليك مثالًا لدينا فيه مستقيمان مختلفان. يقع المستقيمان على المستوى الإحداثي ﺱﺹ وهما متوازيان. وعند قياس المسافة بينهما من أي نقطة، فإننا نحصل دائمًا على نفس القيمة. يقال إن المستقيمين متعامدان إذا تكونت زاوية قائمة عند نقطة تقاطعهما، كالزاوية الموضحة هنا. إذن يقع هذان المستقيمان على المستوى الإحداثي ﺱﺹ، ويتقاطعان عند النقطة اثنين، صفر. وقياس الزاوية بينهما يساوي ٩٠ درجة. في بقية الفيديو، سنتعامل فقط مع الخطوط المستقيمة الموجودة على المستوى الإحداثي ﺱﺹ. كما سنتناول معادلات هذه الخطوط مع تحديد العناصر التي نعرف منها إذا ما كانت الخطوط متوازية أم متعامدة.
تعد معادلات الخطوط المستقيمة جزءًا مهمًا في هذا الموضوع، لذا دعونا نراجع سريعًا المعادلة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم هي: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، أو ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حسب البلد الذي تعيش فيه. تخبرنا قيمة ﻡ، أو مضاعف ﺱ، أو معامل ﺱ بميل الخط المستقيم. وتخبرنا قيمة ﺏ بالموضع الذي يقطع فيه الخط المستقيم المحور ﺹ. ويعرف ميل الخط المستقيم أو انحداره بأنه مقدار التغير في الإحداثي ﺹ عند زيادة الإحداثي ﺱ بمقدار وحدة واحدة.
حددت النقطتين ﺃ وﺏ على الخط المستقيم، وقمت بزيادة الإحداثي ﺱ وحدة واحدة للانتقال من ﺃ إلى ﺏ. إذن الفرق بين إحداثيي ﺱ للنقطتين يساوي موجب واحد. وعند القيام بذلك، يكون الفرق بين إحداثيي ﺹ من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ هو مقدار الزيادة ﻡ. لذا أيًا كانت هذه القيمة، فهذا هو مقدار القيمة التي يزيد بها الإحداثي ﺹ، ففي كل مرة نقوم بزيادة الإحداثي ﺱ وحدة واحدة، نتحرك على امتداد الخط. وبالتالي، إذا كان ذلك الخط مثلًا هو ﺹ يساوي ٠٫٥ﺱ زائد ثلاثة، فإن مضاعف ﺱ أو الميل أو قيمة ﻡ تساوي ٠٫٥. هذا يعني أنه في كل مرة نقوم بزيادة الإحداثي ﺱ بمقدار وحدة واحدة، يزيد الإحداثي ﺹ بمقدار ٠٫٥.
إذا رتبنا معادلة الخط المستقيم بالصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، فسيصبح من السهل قراءة ميل هذا الخط. انظر فقط إلى معامل ﺱ، أو مضاعف ﺱ، فهذا هو الميل. وهنا لدينا سؤال.
أي الخطوط المستقيمة التالية لها نفس الميل أو الانحدار؟ لدينا خمسة خطوط مستقيمة. (أ) ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص سبعة. (ب) ﺹ يساوي سالب نصف ﺱ زائد ثلاثة. (ج) ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد سبعة. (د) ﺹ يساوي سالب نصف ﺱ زائد خمسة. (هـ) ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد تسعة. جميع هذه المعادلات بالصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ بالفعل، وبالتالي كل ما علينا فعله هو النظر إلى معاملات ﺱ. إذا كانت المعاملات العدد نفسه بالإشارة نفسها، فسيكون للخطوط الميل أو الانحدار نفسه.
إذن الخطان في المعادلتين (ب) و(د) لهما نفس الميل أو الانحدار، وهو سالب نصف. والخطان في المعادلتين (أ) و(هـ) لهما نفس الميل، وهو ثلاثة. الخط في المعادلة (ج) له الميل سالب ثلاثة، والإشارة هنا مختلفة عن إشارة الخطين في المعادلتين (أ) و(هـ). إذن هذا ليس نفس الميل أو الانحدار. وعندما يكون الخطان المستقيمان لهما نفس الميل أو الانحدار، نطلق عليهما مستقيمين متوازيين. إذن (أ) مواز لـ (هـ)، و(ب) مواز لـ (د).
يمكننا التعرف على الخطوط المتوازية بمجرد النظر إلى معادلاتها، ما دامت بالصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. وعند التفكير في ميل الخطوط المتعامدة، نجد أنه إذا كان لدينا خطان متعامدان، فإن حاصل ضرب ميليهما أو انحداريهما يساوي سالب واحد.
ما السبب في ذلك؟ لنلق نظرة على هذا. لدينا هنا خطان؛ ﻝ واحد ومعادلته: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺃ، وﻝ اثنان ومعادلته: ﺹ يساوي ﻥﺱ زائد ﺏ. لنحدد نقطة التقاطع ثم نقطة على كل خط من الخطين؛ بحيث يكون الإحداثي ﺱ لها أكبر من الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع بمقدار وحدة واحدة. بالنسبة إلى الخط الأول، الفرق بين إحداثيي ﺹ للنقطتين، أي هذه النقطة وهذه النقطة، هو ﻡ. وبالنسبة إلى الخط الثاني، الفرق بين هذين الإحداثيين هو ﻥ. وفي الواقع، هو سالب ﻥ. إذن الخط الثاني خط منحدر، ما يعني أن له انحدارًا سالبًا.
ما يهمنا الآن هو هذه المسافة هنا. وهي مسافة موجبة. إذن علينا تجاهل إشارة السالب في هذا الانحدار السالب لمعرفة قيمة المسافة الفعلية. إذا أسمينا هذه النقاط بـ ﺃ وﺏ وﺟ، فسنجد أن المثلث ﺃﺏﺟ قائم الزاوية لأن الخطين متعامدان. إذن الزاوية ﺃﺏﺟ زاوية قائمة. وفي المثلثات قائمة الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. إذن طول الضلع ﺃﺟ تربيع يساوي طول الضلع ﺃﺏ تربيع زائد طول الضلع ﺏﺟ تربيع. نعلم أن طول الضلع ﺃﺟ يساوي ﻡ زائد سالب ﻥ. وبالتالي ﺃﺟ تربيع يساوي ﻡ زائد سالب ﻥ الكل تربيع. إذا أعدنا النظر إلى الشكل، فسنجد أن لدينا مثلثين آخرين قائمي الزاوية. لدينا مثلث هنا وآخر هنا.
يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى لإيجاد طول الوتر في المثلثين. نعلم أن المثلث بالأعلى ارتفاعه ﻡ، وعرضه واحد. والمثلث بالأسفل ارتفاعه سالب ﻥ، وعرضه واحد. إذن طول كل من الضلعين ﺃﺏ وﺏﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻡ تربيع زائد واحد تربيع، والجذر التربيعي لسالب ﻥ الكل تربيع زائد واحد تربيع. يمكننا الآن بدء تبسيط ذلك. ﻡ زائد سالب ﻥ يعني ببساطة ﻡ ناقص ﻥ. وبالتالي، يصبح الطرف الأيمن ﻡ ناقص ﻥ الكل تربيع. الجذر التربيعي لـ ﻡ تربيع زائد واحد تربيع الكل تربيع يساوي ﻡ تربيع زائد واحد. سالب ﻥ الكل تربيع يساوي ﻥ تربيع. إذن الجذر التربيعي لسالب ﻥ الكل تربيع زائد واحد تربيع الكل تربيع يساوي ﻥ تربيع زائد واحد.
ﻡ ناقص ﻥ الكل تربيع يعني ﻡ ناقص ﻥ في ﻡ ناقص ﻥ، وبترتيب الطرف الأيسر، نحصل على ﻡ تربيع زائد ﻥ تربيع زائد اثنين. بضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني في الطرف الأيمن، نحصل على ﻡ تربيع ناقص اثنين ﻡﻥ زائد ﻥ تربيع. إذن يمكننا طرح ﻡ تربيع وكذلك ﻥ تربيع من الطرفين، ما يؤدي إلى حذف ﻡ تربيع وﻥ تربيع من الطرفين. يصبح لدينا سالب اثنين ﻡﻥ يساوي اثنين. إذا قسمنا الطرفين على سالب اثنين، فسنحصل على ﻡ في ﻥ يساوي اثنين على سالب اثنين، ما يساوي سالب واحد. تذكر أن ﻡ هو ميل الخط المستقيم الأول، وﻥ هو ميل الخط المستقيم الثاني. إذن ﻡﻥ هو حاصل ضرب ميلي الخطين. لذا، عندما يكون هذان الخطان متعامدين، لا تهم قيمة الميلين الفعليين، فنحن نعلم أنه عند ضربهما معًا، نحصل على سالب واحد دائمًا.
إذا اختلط عليك الأمر أثناء الشرح، فلا داعي للقلق. هذا الجزء غير مهم. وإليك ما يجب تذكره. إذا كان الخطان متعامدين، فإن حاصل ضرب ميليهما أو انحداريهما يساوي سالب واحد. ولذا، إذا أسمينا ميل الخط الأول بـ ﻡ، وميل الخط الثاني بـ ﻥ؛ فإن ﻡ في ﻥ يساوي سالب واحد. وإذا قسمنا الطرفين على ﻥ، فإننا نحصل على ﻡ يساوي سالب واحد على ﻥ. أو إذا قسمنا الطرفين على ﻡ، فإننا نحصل على ﻥ يساوي سالب واحد على ﻡ. بعبارة أخرى، كل ميل يساوي سالب مقلوب الآخر. هذا يعني أننا إذا عرفنا أحد الميلين، فيمكننا إيجاد ميل الخط العمودي بإيجاد مقلوب العدد وتغيير إشارته.
على سبيل المثال، إذا كان ﻡ يساوي خمسة، فإن ﻥ يساوي سالب واحد على خمسة، أي إيجاد مقلوب العدد وتغيير إشارته. وإذا كان ﻡ يساوي سالب ثلاثة، وعكسنا الإشارة لجعلها موجبة وأوجدنا مقلوب العدد، فإن ثلاثة على واحد يصبح واحدًا على ثلاثة. وإذا كان ﻡ يساوي اثنين على ثلاثة، فإن ﻥ يساوي سالب ثلاثة على اثنين. معرفة هذه القاعدة تعني أننا إذا عرفنا انحدار خط ما أو ميله، فمن السهل إيجاد قيمة انحدار أو ميل خط آخر عمودي عليه.
إذن، تلخيصًا للحقائق الأساسية التي سردناها، فإن الخطين المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان لهما نفس الميل، ولكنهما يختلفان في الجزء المقطوع من المحور ﺹ. على سبيل المثال، ﺹ يساوي سبعة ﺱ ناقص خمسة، وﺹ يساوي سبعة ﺱ زائد اثنين. ميل الخطين يساوي سبعة، والجزءان المقطوعان من ﺹ مختلفان، وهما سالب خمسة وموجب اثنين، إذن فهما متوازيان. يكون الخطان متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد. على سبيل المثال، ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد، وﺹ يساوي سالب ثلث ﺱ زائد تسعة. ميل الخط الأول يساوي ثلاثة، وميل الخط الثاني يساوي سالب ثلث. إذن حاصل ضرب الميلين يساوي ثلاثة في سالب ثلث. لكن ثلاثة يساوي ثلاثة على واحد، ولإجراء هذه العملية الحسابية على كسور، نضرب ثلاثة في سالب واحد على واحد في ثلاثة. هذا يساوي سالب ثلاثة على ثلاثة، ما يعطينا سالب واحد. يستوفي ذلك الشروط، إذن الخطان متعامدان.
لدينا مثال آخر، ﺹ يساوي سالب اثنين على سبعة ﺱ زائد ثمانية، وﺹ يساوي سبعة على اثنين ﺱ زائد ثمانية. الميلان هما سالب اثنين على سبعة، وسبعة على اثنين. وكل منهما هو سالب مقلوب الآخر. إذا ضربنا الميلين معًا، فإن سالب اثنين على سبعة في سبعة على اثنين يساوي سالب ١٤ على ١٤، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن، هذان الخطان متعامدان. في الخطين المتعامدين، لا يهم أن يكون كلا الجزأين المقطوعين عند موجب ثمانية. الميلان مختلفان، ومن ثم فالخطان مختلفان. وهما متعامدان بالتأكيد. لنتناول بعض المسائل المعتادة.
المسألة الأولى: خطان مستقيمان ﺃ وﺏ، ميل كل منهما ثلاثة على أربعة، وسالب أربعة على ثلاثة؛ على الترتيب. هل هما متوازيان أم متعامدان أم لا هذا ولا ذاك؟
الميلان غير متساويين، وبالتالي هما غير متوازيين. إذا ضربنا الميلين معًا، فسنحصل على ثلاثة على أربعة في سالب أربعة على ثلاثة، ما يساوي سالب ١٢ على ١٢، وهذا يساوي سالب واحد. إذن يبدو أن هذين الخطين متعامدان.
المسألة الثانية: أي الخطوط المستقيمة التالية موازية لبعضها؟ لدينا خمس معادلات. (أ) ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص خمسة. (ب) اثنان ﺹ يساوي ثمانية ﺱ زائد ثلاثة. (ج) ثمانية ﺱ ناقص ﺹ زائد اثنين يساوي صفرًا. (د) نصف ﺹ ناقص أربعة ﺱ يساوي ١٢. (هـ) ﺹ يساوي سالب ثمن ﺱ زائد سبعة.
المعادلتان (أ) و(هـ) بالصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ بالفعل، ومن ثم يمكن معرفة الميل بسهولة. لكن بالنسبة إلى المعادلات (ب) و(ج) و(د)، علينا إعادة ترتيبها قليلًا لتكون بالصورة الصحيحة حتى نتمكن من معرفة ميلها. بالنسبة إلى المعادلة (ب)، نقسم طرفي المعادلة على اثنين. إذن في الطرف الأيمن، نصف اثنين ﺹ يساوي ﺹ. وبقسمة كل حد في الطرف الأيسر على اثنين، نجد أن نصف ثمانية ﺱ يساوي أربعة ﺱ، ثم لدينا نصف ثلاثة أو ثلاثة على اثنين. بالنسبة إلى المعادلة (ج)، يمكن إضافة ﺹ إلى الطرفين وهو ما يؤدي إلى حذف ﺹ من الطرف الأيمن، ويبقى ﺹ فقط في الطرف الأيسر. هذا يعطينا ثمانية ﺱ زائد اثنين يساوي ﺹ. سنكتب هذا بطريقة أخرى وهي: ﺹ يساوي ثمانية ﺱ زائد اثنين؛ لأن هذه هي الصورة المألوفة لنا.
تتطلب المعادلة (د) جهدًا أكبر قليلًا. لدينا الحدان ﺱ وﺹ في الطرف الأيمن، والعدد فقط في الطرف الأيسر. في البداية، نضيف أربعة ﺱ إلى الطرفين، ما يعطينا نصف ﺹ يساوي ١٢ زائد أربعة ﺱ، أو أربعة ﺱ زائد ١٢. وبعد ذلك، نضاعف طرفي المعادلة حتى يتبقى لدينا ﺹ فقط. اثنان في نصف ﺹ يساوي ﺹ، واثنان في أربعة ﺱ يساوي ثمانية ﺱ، واثنان في ١٢ يساوي ٢٤. وبذلك، أصبحت لدينا المعادلات بالصورة المناسبة. من السهل الآن إيجاد الميل، ومن ثم معرفة أي الخطوط موازية لبعضها. في المعادلة (أ)، الميل يساوي ثمانية. في المعادلة (ب)، الميل يساوي أربعة. في المعادلة (ج)، الميل يساوي ثمانية. في المعادلة (د)، الميل يساوي ثمانية أيضًا. وفي المعادلة (هـ)، الميل يساوي سالب ثمن. إذن، ميل المعادلات (أ) و(ج) و(د) يساوي ثمانية. وبذلك تكون الإجابة هي: الخطوط (أ) و(ج) و(د) متوازية.
علينا الآن كتابة معادلة خط مستقيم مواز للخط ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص أربعة.
وبما أنهما متوازيان، فهذا يعني أنه يجب أن يكون لهما نفس الميل، وهو ثمانية. نبدأ بالمعادلة ﺹ يساوي ثمانية ﺱ. يمكننا بعد ذلك إضافة أي شيء نريد؛ لأن الموضع الذي يقطع فيه الخط المحور ﺹ غير مهم مطلقًا. فسيكون موازيًا لهذا الخط. ما يجب ألا تكتبه هو ثمانية ﺱ ناقص أربعة. لا تجعله نفس الخط تمامًا؛ لأن الغالبية ترى أن الخطين غير متوازيين نظرًا لأنهما نفس الخط. يمكنك كتابة ما تريد هنا، مثل: ثمانية ﺱ زائد ١٠٠٠. لنبدأ من هنا، هذا خط مواز لـ ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص أربعة.
ومطلوب منا بعد ذلك كتابة معادلة الخط العمودي على ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين.
الميل يساوي ثلاثة، وبالتالي ميل هذا الخط العمودي يساوي سالب المقلوب، أي سالب واحد على ثلاثة. تبدأ المعادلة بـ ﺹ يساوي سالب واحد على ثلاثة ﺱ. ويمكننا إضافة أي شيء نريده. يمكننا تركها سالب واحد على ثلاثة ﺱ كما هي، أو إضافة أي عدد نريده لتكوين معادلة خط عمودي.
علينا الآن كتابة معادلة الخط المستقيم الموازي لـ ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد خمسة، والمار بالنقطة ستة، ١٠. نعلم أن ميل الخط ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد خمسة هو نصف. وبالتالي، إذا كان الخط موازيًا لهذا الخط، فيجب أن يكون ميله نصفًا أيضًا. ولكن، يمكن بالطبع أن يقطع هذا الخط المحور ﺹ عند أي نقطة، لذا يمكننا تحريك الخط لأعلى أو لأسفل. تخبرنا المسألة أن الخط يمر بالنقطة ستة، ١٠. وهذا يعني أنه إذا كانت قيمة ﺱ هي ستة، فإن قيمة ﺹ يجب أن تساوي ١٠.
إذا استخدمنا الصيغة العامة للمعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، فسنعلم أن الميل ﻡ يساوي نصفًا. علينا الآن إيجاد قيمة ﺏ. نعلم زوجًا إحداثيًا يقع على الخط؛ حيث قيمة ﺱ تساوي ستة، وقيمة ﺹ تساوي ١٠. إذن بالتعويض عن ﺱ وﺹ بستة و١٠، نحصل على ١٠ يساوي نصفًا في ستة زائد ﺏ. وبالتالي، ١٠ يساوي ثلاثة زائد ﺏ. بطرح ثلاثة من الطرفين، نحصل على سبعة يساوي ﺏ. والآن بعد أن عرفنا قيمة ﺏ، يمكننا إكمال المعادلة. ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد سبعة.
المسألة الثالثة: اكتب معادلة الخط المستقيم العمودي على ﺹ يساوي ثلاثة على أربعة ﺱ ناقص أربعة ويمر بالنقطة أربعة، ١١.
نريد إيجاد انحدار أو ميل الخط العمودي على الخط الذي ميله ثلاثة على أربعة. إذن ميل الخط العمودي هو سالب أربعة على ثلاثة، أي سالب المقلوب، تذكر ذلك. ثلاثة على أربعة في سالب أربعة على ثلاثة يساوي سالب واحد. هذا يعني أنه خط عمودي. بذلك، نكون حصلنا على ميل الخط ونعرف أيضًا أنه يمر بالنقطة أربعة، ١١. لذا، عندما تكون قيمة ﺱ هي أربعة، فقيمة ﺹ هي ١١. وباستخدام صيغة المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، نعلم أن ﻡ يساوي سالب أربعة على ثلاثة. كما نعلم أن ﺱ يساوي أربعة، وﺹ يساوي ١١. إذن، يمكننا الآن استخدام هذه المعطيات لإيجاد قيمة ﺏ.
١١ يساوي سالب أربعة على ثلاثة في أربعة زائد ﺏ. أربعة تساوي أربعة على واحد. بذلك، أصبحت لدينا عملية حسابية على كسور، سالب أربعة على ثلاثة في أربعة على واحد. إذن ١١ يساوي سالب ١٦ على ثلاثة زائد ﺏ. إذا أضفنا ١٦ على ثلاثة إلى الطرفين، فإننا نحصل على ١١ زائد ١٦ على ثلاثة يساوي ﺏ. وهذا يساوي ٤٩ على ثلاثة. يمكننا التعويض بذلك في المعادلة الأصلية والحصول على الإجابة؛ حيث ﺹ يساوي سالب أربعة على ثلاثة ﺱ زائد ٤٩ على ثلاثة.
