فيديو السؤال: إيجاد العامل المشترك الأكبر لحدين جبريين

نسخة الفيديو النصية

أوجد ع.م.أ. لـ ٥٦ﺃﺏ و٤٦ﺏ، علمًا بأن ﺃ وﺏ عددان صحيحان موجبان.

ع.م.أ. هو اختصار لمصطلح «العامل المشترك الأكبر». ما علينا فعله هو تحليل ٥٦ﺃﺏ و٤٦ﺏ إلى عواملهما الأولية. لنبدأ بـ ٥٦ﺃﺏ. ‏‏٥٦ هو حاصل ضرب ثمانية في سبعة. سبعة عدد أولي. ولذا، يمكننا تركه كما هو. ولكن، ما معنى أن يكون العدد عددًا أوليًا؟

العدد الأولي هو عدد مكون من عاملين فقط، وهما العدد واحد والعدد نفسه. تحليل العدد سبعة هو واحد في سبعة فقط، أي العدد واحد والعدد نفسه. لكن ثمانية هو حاصل ضرب أربعة في اثنين؛ حيث اثنان عدد أولي. ومن ثم، يمكننا تركه كما هو. أما أربعة، فهو حاصل ضرب اثنين في اثنين. وبذلك، نكون قد حللنا ٥٦ إلى عوامله الأولية. ‏‏ﺃ ببساطة هو ﺃ، وﺏ هو ﺏ.

أما لو كان في صورة ﺃ تربيع ﺏ، فإن ﺃ تربيع يمكن تحليله إلى ﺃ في ﺃ. لكن هذا ليس الوضع هنا. لذلك، يمكن كتابة ٥٦ﺃﺏ في الصورة اثنين في اثنين في اثنين في سبعة في ﺃ في ﺏ. ولو أردنا، فيمكننا إعادة كتابة اثنين في اثنين في اثنين بالصورة اثنين تكعيب.

دعونا الآن ننتقل إلى ٤٦ﺏ. ‏‏٤٦ هو حاصل ضرب اثنين في ٢٣؛ حيث اثنان عدد أولي و٢٣ عدد أولي. أما ﺏ، فنتركه كما هو. إذن، يمكننا إعادة كتابة ٤٦ﺏ بالصورة اثنين في ٢٣ في ﺏ. المطلوب هو إيجاد العامل المشترك الأكبر. فما هو العامل الأكبر المشترك بينهما؟ بمقارنة هذين العددين، يحتوي كل منهما على اثنين وﺏ. ولذا، فإن العامل المشترك الأكبر بين هذين العددين هو اثنان ﺏ.

لكن، مثلًا، إذا كان لدينا المسألة نفسها ولكن مع عامل إضافي يساوي اثنين، فسيكون هذان الاثنان عاملين مشتركين بين المقدارين، وهذان الاثنان عاملين مشتركين بينهما أيضًا. وبالتالي، ستأخذ العامل المشترك اثنين وتضربه في العامل المشترك اثنين الآخر، لتحصل على أربعة. وبما أن كلا المقدارين يحتوي على ﺏ. إذن، العامل المشترك الأكبر سيكون أربعة ﺏ‎.

لكن، في المسألة هنا، ستكون إجابتنا النهائية هي اثنان ﺏ.