فيديو السؤال: إيجاد التعبيرات المتكافئة لدالتي الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من التالي يساوي جا 𝜃؟ أ: جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ب: جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ج: جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. د: جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

نبدأ برسم زاوية معينة قياسها 𝜃 في الوضع القياسي على المستوى الإحداثي ﺱﺹ. بعد ذلك، نرسم دائرة وحدة مركزها عند نقطة الأصل.

لعلنا نتذكر أن الضلع النهائي لزاوية قياسها 𝜃 في الوضع القياسي يتقاطع مع دائرة الوحدة عند نقطة الإحداثي ﺱ لها هو جتا 𝜃 والإحداثي ﺹ لها هو جا 𝜃. نرسم بعد ذلك المثلث المرجعي للزاوية 𝜃 على طول الاتجاه الموجب من المحور ﺱ. نحن نعلم أن وتر المثلث المرجعي يساوي نصف قطر دائرة الوحدة، ومن ثم فإن طوله يساوي واحدًا. كما نلاحظ أيضًا أن ضلع المثلث المرجعي، الذي يمتد على طول الجزء الموجب من المحور ﺱ، يناظر جتا 𝜃.

في الربعين الأول والرابع، يكون الإحداثي ﺱ موجبًا دائمًا. ولكن في الربع الثاني أو الثالث، تكون قيمة ﺱ سالبة. ضلع المثلث المرجعي المقابل للزاوية 𝜃 يناظر الإحداثي ﺹ أو جا 𝜃. والإحداثي ﺹ يكون موجبًا في الربعين الأول والثاني، لكنه يكون سالبًا في الربعين الثالث والرابع.

والآن بعد أن استعرضنا موضع الجيب بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 ومثلثها المرجعي، سنرسم مثلثين متطابقين للزاويتين الأخريين المذكورتين في هذا السؤال، وهما ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، و‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

لتحديد موضع الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، نحدد موضع الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين وندور الزاوية 𝜃 في الاتجاه الموجب. تقع الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين في الجزء السالب من المحور ﺹ. وعند هذا الموضع، ندور عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 𝜃. يتقاطع الضلع النهائي لهذه الزاوية مع دائرة الوحدة عند النقطة التي إحداثياتها جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

بعد ذلك، نحدد موضع ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 عن طريق دوران 𝜃 بعد الجزء الموجب من المحور ﺹ عكس اتجاه عقارب الساعة. يتقاطع الضلع النهائي لهذه الزاوية مع دائرة الوحدة عند النقطة التي إحداثياتها جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. باستخدام الزاوية ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية يطابق المثلث المرجعي الأصلي. ولكن هذا المثلث سيقع على طول المحور ﺹ.

يمكننا إيجاد الموقع المحدد لهذا المثلث القائم الزاوية الجديد عن طريق دوران المثلث المرجعي الأصلي بزاوية قياسها ٩٠ درجة أو ‏𝜋‏ على اثنين راديان. ومن ثم نجد أن له نفس أبعاد المثلث المرجعي الأصلي، الذي طول ضلعه الأطول جتا 𝜃، وطول ضلعه الأقصر جا 𝜃. بما أن الزاوية ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 تقع في الربع الثاني، فإن الإحداثي ﺱ سيكون سالبًا. وبما أن الضلع الأقصر في المثلث الجديد يمثل الآن قيمة ﺱ، فإن طوله يساوي سالب جا 𝜃. والضلع الآخر من المثلث يمثل قيمة ﺹ، وهي موجب جتا 𝜃. إذن، يمكن كتابة إحداثيات النقطة بدلالة 𝜃 على صورة سالب جا 𝜃، جتا 𝜃.

لقد أوضحنا أن جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، وأن جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيارين ج، د؛ لأن كلًّا من التعبيرين لا يساوي جا 𝜃.

دعونا نعد الآن إلى الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. سنرسم هنا مثلثًا آخر مطابقًا للمثلث المرجعي. وهذا المثلث الجديد يقع على طول الجزء السالب من المحور ﺹ. في الربع الرابع، يكون الإحداثي ﺹ سالبًا، ولكن مرة أخرى يكون الإحداثي ﺱ موجبًا، كما هو الحال في الربع الأول. سنجد أن إحداثيات النقطة بدلالة 𝜃 هي جا 𝜃، سالب جتا 𝜃. وهذا يعني أن جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي جا 𝜃، وأن جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃.

في الختام، لقد أوضحنا أن الخيار ب هو التعبير الذي يساوي جا 𝜃. وهذا لأنه في دائرة الوحدة، الإحداثي ﺱ للنقطة المعطاة بدلالة الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 هو نفسه الإحداثي ﺹ المعطى بدلالة الزاوية 𝜃.