فيديو السؤال: تحديد التمثيل البياني للدالة التي مجالها ومداها متساويان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل دالة يكون فيها المجال مساويًا للمدى؟

في هذا السؤال، لدينا تمثيلات بيانية لخمس دوال مختلفة. وعلينا تحديد أي من هذه الدوال يكون فيها المجال مساويًا للمدى. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. أولًا، مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة للدالة. ثانيًا، نتذكر أن مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة للدالة بمعلومية مجالها. علينا تحديد أي من هذه الدوال يكون فيها المجال مساويًا للمدى.

وبما أن لدينا التمثيل البياني لكل دالة، فدعونا نسترجع كيفية إيجاد مجال دالة ومداها من تمثيلها البياني. سنفعل ذلك بتذكر أن الإحداثي ﺱ لأي نقطة على التمثيل البياني يخبرنا بالقيمة المدخلة لـ ﺱ. والإحداثي ﺹ يخبرنا بالقيمة المخرجة المناظرة لهذه القيمة المدخلة لـ ﺱ. وعليه، فإن مجال الدالة هو مجموعة كل الإحداثيات ﺱ للنقاط التي تقع على تمثيلها البياني. ومدى الدالة هو مجموعة كل الإحداثيات ﺹ للنقاط التي تقع على تمثيلها البياني. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نوجد مجال ومدى كل خيار من الخيارات الخمسة.

لنبدأ بالخيار (أ)، وسنبدأ بمجاله. أولًا، نلاحظ أن أقل قيمة لـ ﺱ؛ أي قيمة مدخلة صحيحة، هي عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا لأن النقطة التي إحداثياتها واحد، صفر هي النقطة ذات أقل قيمة للإحداثي ﺱ تقع على هذا المنحنى. ولأي قيمة أكبر من الواحد، نلاحظ وجود نقطة تقع على المنحنى بهذه القيمة على صورة إحداثي لـ ﺱ. على سبيل المثال، المستقيم الرأسي ﺱ يساوي خمسة يقطع المنحنى. وبذلك، يكون مجال هذه الدالة هو كل القيم الأكبر من أو تساوي واحدًا.

ويمكننا إيجاد مدى هذه الدالة بالطريقة نفسها. نبدأ بإيجاد أقل قيمة للإحداثي ﺹ لنقطة تقع على المنحنى. وفي هذه الحالة، هذه القيمة تساوي صفرًا. يمكننا التوقف هنا؛ لأن الصفر ليس أحد عناصر مجال هذه الدالة. إذن، المجال والمدى غير متساويين. هذا يعني أن الإجابة ليست الخيار (أ). لكن يمكننا أيضًا إيجاد تعبير دال على مدى هذه الدالة. نلاحظ أنه لأي قيمة أكبر من أو تساوي صفرًا، توجد نقطة تقع على المنحنى يمثلها إحداثي لـ ﺹ. على سبيل المثال، المستقيم الأفقي ﺹ يساوي ستة يقطع المنحنى. وبذلك، يكون مدى هذه الدالة هو كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها في كل الخيارات الأخرى. في الخيار (ب)، نلاحظ أن أقل قيمة للإحداثي ﺱ تقع على المنحنى هي صفر. وكل قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا تقع ضمن مجال هذه الدالة. إذن، مجال هذه الدالة هو كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا. يمكننا فقط إدخال قيم غير سالبة لـ ﺱ. لكن إذا أوجدنا مدى هذه الدالة، فسيصبح لدينا المشكلة نفسها مرة أخرى. سالب واحد قيمة مخرجة للدالة؛ لأنه الإحداثي ﺹ لنقطة تقع على المنحنى. وتحديدًا، عند إيجاد قيمة هذه الدالة عند صفر نجد أنها تساوي سالب واحد. وسالب واحد ليس أحد عناصر المجال. إذن، مجال هذه الدالة ومداها غير متساويين. ويمكننا إيجاد مدى هذه الدالة من تمثيلها البياني إذا أردنا ذلك. فهو كل القيم الأكبر من أو تساوي سالب واحد.

سنطبق طريقة مشابهة تمامًا في الخيار (ج). لنبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة. أولًا، نلاحظ أن هناك نقطة طرفية لهذا التمثيل البياني. ونرى أن هذه النقطة ذات أعلى قيمة للإحداثي ﺱ تقع على التمثيل البياني. وهذا يخبرنا بأعلى قيمة مدخلة ممكنة للدالة. أعلى قيمة مدخلة هي صفر. ومرة أخرى، نرى أن التمثيل البياني يستمر إلى ما لا نهاية إلى اليسار، وهو ما يعني أن كل قيم ﺱ الأقل من أو تساوي صفرًا تمثل قيمًا مدخلة ممكنة للدالة. وعليه، يكون مجال هذه الدالة هو كل القيم الأقل من أو تساوي صفرًا.

بعد ذلك، علينا التأكد مما إذا كان مجال هذه الدالة ومداها متساويين. ومرة أخرى، سنستخدم حقيقة أن مدى هذه الدالة هو مجموعة كل الإحداثيات ﺹ للنقاط الواقعة على تمثيلها البياني. وأقل قيمة للإحداثي ﺹ لنقطة تقع على تمثيلها البياني هي النقطة صفر، سالب واحد. هذا يعني أن أقل قيمة مخرجة لهذه الدالة هي سالب واحد. ومن ثم، مجال هذه الدالة ومداها لا يمكن أن يكونا متساويين. إذن، الخيار (ج) غير صحيح.

لكن يمكننا إيجاد مدى هذه الدالة مباشرة من تمثيلها البياني. كل القيم الأكبر من أو تساوي سالب واحد هي مخرجات ممكنة للدالة. ولذا، يكون المدى هو مجموعة القيم الأكبر من أو تساوي سالب واحد. سنطبق الطريقة نفسها في الخيار (د). نبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة. نلاحظ أن أقل قيمة للإحداثي ﺱ لنقطة تقع على الخط هي النقطة صفر، واحد والإحداثي ﺱ لها هو صفر. وبما أن التمثيل البياني لهذه الدالة يستمر إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه، فإنه يمكننا ملاحظة أن أي قيمة ممكنة أكبر من أو تساوي صفرًا هي قيمة مدخلة ممكنة لهذه الدالة. إذن مجال هذه الدالة هو كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا.

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد مدى الدالة. نلاحظ أن أقل قيمة للإحداثي ﺹ لنقطة تقع على المنحنى هي واحد، وهو ما يعني أيضًا أن أقل قيمة مخرجة للدالة هي واحد. لكن مجال هذه الدالة يتضمن صفرًا. وعليه، فإن الصفر ليس أحد عناصر مدى هذه الدالة. إذن المجال والمدى غير متساويين. وهذا يكفي لاستبعاد هذا الخيار. ولكن، يمكننا أيضًا إيجاد مدى هذه الدالة من خلال التمثيل البياني. في التمثيل البياني، نلاحظ أنه عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تقترب الدالة أيضًا من ما لا نهاية. ومن خلال التمثيل البياني، نلاحظ أن أي قيمة ممكنة لـ ﺹ أكبر من أو تساوي صفرًا، تمثل الإحداثي ﺹ على المنحنى. ويكون مدى الدالة هو كل القيم الأكبر من أو تساوي واحدًا.

وأخيرًا، دعونا نحدد المجال والمدى في الخيار (هـ). أولًا، المدى هو مجموعة كل الإحداثيات ﺱ للنقاط التي تقع على المنحنى. نلاحظ أن أقل قيمة للإحداثي ﺱ لنقطة تقع على المنحنى هي النقطة صفر، صفر. وبما أن التمثيل البياني للدالة يستمر إلى ما لا نهاية إلى اليمين، فهناك نقطة على المنحنى لكل إحداثي ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن كل مستقيم رأسي على الصورة ﺱ يساوي ﺟ؛ حيث ﺟ أكبر من أو يساوي صفرًا، يقطع المنحنى. والمستقيمات الرأسية على يسار المحور الرأسي لا تقطع المنحنى. ومن ثم، يكون المجال هو كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا.

ويمكننا ملاحظة أن الأمر نفسه ينطبق على المدى. تذكر أن مدى الدالة هو مجموعة كل الإحداثيات ﺹ للنقاط التي تقع على منحناها. ومن التمثيل البياني، نلاحظ أن أقل قيمة للإحداثي ﺹ لأي نقطة تقع على المنحنى هي النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر. ومن التمثيل البياني، نلاحظ السلوك الطرفي للمنحنى. كلما اقترب ﺱ من ما لا نهاية، يكون ﺹ غير محدود. يقترب ﺹ من موجب ما لا نهاية. ومن ثم، نلاحظ من التمثيل البياني أن أي قيمة ممكنة لـ ﺹ أكبر من أو تساوي صفر هي الإحداثي ﺹ لنقطة تقع على المنحنى. ومن ثم، فإن مدى هذه الدالة يكون كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه من بين الخيارات الخمسة المعطاة، التمثيل البياني الموضح في الخيار (هـ) فقط هو الذي يمثل دالة فيها المجال مساو للمدى.