فيديو الدرس: اشتقاق الدوال المثلثية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية اشتقاق الدوال المثلثية وهي الجيب وجيب التمام والظل. سنبدأ بالتفكير في كيفية إيجاد مشتقة دوال الجيب وجيب التمام باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات قبل استخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتقة دالة الظل. وبعدها، سنستعرض بعض الأمثلة على تطبيقات هذه المشتقات والأنماط التي تكونها.

في هذه المرحلة، ينبغي أن تكون على دراية تامة بكيفية اشتقاق الدوال الكثيرات الحدود وتطبيق التعريف الأساسي للمشتقات من النهايات. تذكر أن هذا معناه أن نتمكن من إيجاد مشتقة دالة ما ﺩ باستخدام الصيغة التالية. وهي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة ﺩ في المتغير ﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ، الكل على ﻫ. وهذا عند النقاط التي تكون النهاية موجودة عندها.

سنبدأ باستخدام هذا التعريف ليساعدنا على إيجاد مشتقة دالة الجيب لـ ﺱ. سنحتاج أيضًا لمعرفة بعض النهايات القياسية. ولكن، بما أننا نعلم كيفية اشتقاق هذه النهايات بالفعل، ولأغراض تتعلق بهذا الفيديو، فسنكتفي بتذكرها فقط. وأثناء ذلك، علينا التأكيد على ضرورة أن تكون الزوايا مقيسة بالراديان لضمان صحة تلك النهايات. تنص هذه الصيغ على أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جا ﻫ على ﻫ تساوي واحدًا. والنهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر للدالة جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي صفرًا. بعد أن تذكرنا المعلومات المطلوبة لهذه العملية، هيا نطبقها عمليًّا.

أوجد مشتقة الدالة ﺩﺱ يساوي جا ﺱ باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

للاشتقاق باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، نستخدم الصيغة ﺩ شرطة ﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ، الكل على ﻫ. ونعلم بالفعل أن ﺩﺱ يساوي جا ﺱ. وهذا يعني أن ﺩﺱ زائد ﻫ، وهي الطريقة التي نكتب بها هذه الصيغة، تساوي جا ﺱ زائد ﻫ. ويمكننا الآن كتابة مشتقة الدالة ﺩﺱ هكذا: النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﺱ زائد ﻫ ناقص جا ﺱ، الكل على ﻫ‎.

لاحظ أنه عند هذه النقطة، لا يمكننا إيجاد قيمة أي شيء. إذن سنبسط المقدار جا ﺱ زائد ﻫ ناقص جا ﺱ على ﻫ. وذلك بتذكر صيغة الجيب لمجموع زاويتين. تنص هذه الصيغة على أن جا ﺃ زائد ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جتا ﺃ في جا ﺏ. إذن يمكننا أن نقول إن جا ﺱ زائد ﻫ يساوي جا ﺱ جتا ﻫ ناقص جتا ﺱ جا ﻫ. ويعني هذا أننا سنوجد قيمة جا ﺱ جتا ﻫ ناقص جتا ﺱ جا ﻫ ناقص جا ﺱ على ﻫ عندما يقترب ﻫ من صفر.

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة هذا أيضًا. لذا، سنجري بعض التعديلات على المقدار. لنفعل هذا، سنحلل جا ﺱ. فنحصل على جا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد ناقص جتا ﺱ جا ﻫ على ﻫ. لدينا الآن هذان الناتجان القياسيان. النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جا ﻫ على ﻫ تساوي واحدًا. وعندما يقترب ﻫ من صفر في المقدار جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ، سنحصل على صفر. تذكر أن هذه ليست قيم الزوايا بالراديان. والآن، نقسم المقدار. سنحصل بذلك على جا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ ناقص جتا ﺱ في جا ﻫ على ﻫ. وبالتأكيد جا ﺱ وجتا ﺱ مستقلان عن ﻫ. وهذا يعني أن جا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ عندما يقترب ﻫ من صفر، يقترب من جا ﺱ في صفر. وعندما يقترب ﻫ من صفر، فإن جتا ﺱ في جا ﻫ على ﻫ يقترب من جتا ﺱ في واحد.

إذن نجد أن مشتقة جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي جا ﺱ في صفر زائد جتا ﺱ في واحد. وهذا ببساطة يساوي جتا ﺱ. وبذلك، نعرف أن ﺩ شرطة ﺱ، أو مشتقة جا ﺱ، تساوي جتا ﺱ.

ويجب حفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب. لكن، من المهم أيضًا أن تتمكن من اتباع خطوات هذه العملية لاشتقاق جا ﺱ من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. سنكرر خطوات هذه العملية مع جتا ﺱ.

إذا كان ﺹ يساوي جتا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

إذا كانت صيغة الاشتقاق من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات متضمنة صيغة تعريف الدالة، فسنبدأ بجعل الدالة ﺩﺱ تساوي جتا ﺱ. وهذا يعني أن ﺩﺱ زائد ﻫ يساوي جتا ﺱ زائد ﻫ. وسنستخدم هذا التعريف للمشتقة ونعوض بهذه القيم في الدالة. وتكون المشتقة التي نحصل عليها هي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جتا ﺱ زائد ﻫ ناقص جتا ﺱ على ﻫ. لكن لا يمكننا حساب قيمة هذه المشتقة حتى الآن.

إذن سنستخدم المتطابقة جتا ﺃ زائد ﺏ تساوي جتا ﺃ جتا ﺏ ناقص جا ﺃ جا ﺏ. وهذا يعني أنه يمكننا كتابة جتا ﺱ زائد ﻫ بالصورة جتا ﺱ جتا ﻫ ناقص جا ﺱ جا ﻫ. ونجد أن مشتقة الدالة هي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جتا ﺱ جتا ﻫ ناقص جا ﺱ جا ﻫ ناقص جتا ﺱ على ﻫ. ونلاحظ وجود عامل متكرر. وهو جتا ﺱ، ويمكننا أخذ عامل مشترك. وبهذا نحصل على جتا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد ناقص جا ﺱ جا ﻫ، الكل على ﻫ.

ثم نتذكر حقيقة أنه عندما تكون قيم الزوايا بالراديان، فإن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﻫ على ﻫ تساوي واحدًا. وأن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي صفرًا. وهذا يدفعنا إلى تقسيم المقدار بعض الشيء. سنكتبه بالصورة جتا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ ناقص جا ﺱ في جا ﻫ على ﻫ. وتذكر أن جا ﺱ وجتا ﺱ لا يعتمدان على ﻫ. وبهذا، نجد أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جتا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي جتا ﺱ في صفر. وأن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﺱ في جا ﻫ على ﻫ تقترب من جا ﺱ في واحد. إذن ﺩ شرطة لـ ﺱ يساوي جتا ﺱ في صفر ناقص جا ﺱ في واحد، وإذا عدنا إلى صيغة تعريف النهايات نجد أن هذا يوضح لنا أن المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سالب جا ﺱ لقيم ﺱ بالراديان.

يوضح المثالان السابقان أنه لعدد حقيقي ﺱ معطاة قيمته بالراديان، فإن مشتقة جا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي جتا ﺱ. ومشتقة جتا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. ونجد أن هذه النتائج تشكل نمطًا ثابتًا تكون فيه مشتقة جا ﺱ تساوي جتا ﺱ. ومشتقة جتا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. فعند اشتقاق سالب جا ﺱ، نحصل على سالب جتا ﺱ. وعند اشتقاق سالب جتا ﺱ، نعود إلى جا ﺱ.

بما أن التكامل عكس الاشتقاق، يمكننا عكس هذا النمط عند حساب التكامل. وبتعميم هذه القاعدة على المشتقات ذات الرتب العليا، نجد أن الصيغ العامة لـ جا ﺱ يمكن تطبيقها على القيم الصحيحة لـ ﻙ. ولدينا صيغ مشابهة لمشتقة جتا ﺱ. ويمكننا تعميمها. ربما نشرح طريقة تطبيق هذه الصيغ باستخدام قاعدة السلسلة في وقت لاحق. ولكن لأغراض تتعلق بهذا الفيديو، سنكتفي هنا بسردها فقط. مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. ومشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ.

ولكن ماذا عن مشتقة دالة الظل؟ حسنًا، تعتمد مشتقة دالة الظل على معلومتين. الأولى هي أن المتطابقة ظا 𝜃 تساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. والمعلومة الثانية هي قاعدة خارج القسمة للاشتقاق. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق، ﻉ وﻕ، فإن مشتقة خارج قسمة ﻉ على ﻕ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، الكل على ﻕ تربيع. ولنطبق هاتين المعلومتين في مثال.

احسب معدل تغير الدالة ﺩﺱ تساوي ظا خمسة ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋.

تذكر عند حساب معدل تغير دالة أن ما يعنينا هو إيجاد مشتقتها. إذن، علينا اشتقاق ظا خمسة ﺱ بالنسبة لـ ﺱ ثم إيجاد قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي 𝜋. نبدأ بإعادة كتابة ظا خمسة ﺱ، باستخدام المتطابقة ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. وهذا يعني أن ظا خمسة ﺱ يساوي جا خمسة ﺱ على جتا خمسة ﺱ. هيا نستخدم قاعدة خارج القسمة لإيجاد قيمة المشتقة. بما أن بسط الكسر هو جا خمسة ﺱ، سنجعل ﻉ يساوي جا خمسة ﺱ. ونجعل ﻕ يساوي جتا خمسة ﺱ. هذا يعني أن مشتقة ﻉ، أي مشتقة جا خمسة ﺱ، بالنسبة لـ ﺱ تساوي خمسة في جتا خمسة ﺱ. وبما أن مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ، إذن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سالب خمسة في جا خمسة ﺱ.

هيا نعوض بهذه القيم في الصيغة. ‏ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي جتا خمسة ﺱ في خمسة في جتا خمسة ﺱ. وﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي جا خمسة ﺱ في سالب خمسة في جا خمسة ﺱ. وبالطبع، كل هذا مقسوم على ﻕ تربيع، وهذا يساوي جتا تربيع خمسة ﺱ. بتبسيط البسط، يصبح لدينا خمسة جتا تربيع خمسة ﺱ زائد خمسة جا تربيع خمسة ﺱ. ثم نأخذ خمسة عاملًا مشتركًا في البسط لنحصل بذلك على خمسة في جتا تربيع خمسة ﺱ زائد جا تربيع خمسة ﺱ. ونفعل ذلك لأننا نعرف أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. إذن ﺩ شرطة ﺱ يساوي خمسة على جتا تربيع خمسة ﺱ.

ولكن توجد متطابقة أخرى يمكننا استخدامها. وهي واحد على [جتا 𝜃] يساوي [قا 𝜃]، ومعنى ذلك أن خمسة على جتا تربيع خمسة ﺱ سيساوي خمسة قا تربيع خمسة ﺱ. تذكر أن المطلوب هو إيجاد معدل التغير عند ﺱ يساوي 𝜋. نعوض إذن بـ 𝜋 في الصيغة ﺩ شرطة ﺱ. ونحصل بذلك على ﺩ شرطة 𝜋 يساوي خمسة قا تربيع في خمسة 𝜋، وهو يساوي خمسة. في الواقع، الصورة العامة الناتجة للمشتقة ظا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ هي قا تربيع ﺱ. ومشتقة ظا ﺃﺱ هي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. كما هو الحال مع مشتقات الجيب وجيب التمام، من المهم أن نحفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب ولكن مع قدرتنا على تطبيق عملية الاشتقاق عند الحاجة.

سنشرح عددًا من الأمثلة لتطبيق هذه المشتقات.

إذا كان ﺹ يساوي ﺱ أس خمسة جا خمسة ﺱ، فأوجد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لدينا هنا دالة هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. إذن يمكننا الاستعانة بقاعدة حاصل الضرب لتساعدنا على حساب ﺩﺹ على ﺩﺱ. وتنص هذه القاعدة على أنه، بالنسبة للدالة ﺹ تساوي ﻉ في ﻕ، تكون مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنجعل ﻉ يساوي ﺱ أس خمسة، ونجعل ﻕ يساوي جا خمسة ﺱ. ونبدأ بإيجاد قيمة مشتقة ﻉ بالنسبة لـ ﺱ. هذا يساوي خمسة ﺱ أس أربعة. وبالمثل، بما أن مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ، إذن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي خمسة جتا خمسة ﺱ.

ثم نعوض مرة أخرى في الصيغة. يصبح لدينا ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﺱ أس خمسة في خمسة جتا خمسة ﺱ. وﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي جا خمسة ﺱ في خمسة ﺱ أس أربعة. وبالمثل، ﺩﺹ على ﺩﺱ، في هذه الحالة، يساوي خمسة ﺱ أس خمسة في جتا خمسة ﺱ زائد خمسة ﺱ أس أربعة في جا خمسة ﺱ.

سنشرح مثالًا أخيرًا يوضح بعض التصرف في المقدار المعطى لنا.

إذا كان ﺹ يساوي اثنين جا سبعة ﺱ زائد اثنين جتا سبعة ﺱ تربيع، فأوجد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ.

توجد عدة طرق للإجابة عن هذا السؤال. نعرف أن ﺹ دالة مركبة. وهي مربع اثنين جا سبعة ﺱ زائد اثنين جتا سبعة ﺱ. ويمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد قيمة مشتقتها. يمكننا أيضًا كتابة هذه الدالة كحاصل ضرب دالتين ثم نستخدم قاعدة حاصل ضرب دالتين للاشتقاق. ولكن بدلًا من ذلك يمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام متطابقات الدوال المثلثية المعروفة. إذن سنستخدم الطريقة الثالثة. وسنبدأ بأخذ اثنين عاملًا مشتركًا خارج القوسين. يعطينا هذا ﺹ يساوي اثنين تربيع في جا سبعة ﺱ زائد جتا سبعة ﺱ تربيع.

ثم نوزع الأقواس. بضرب أول حدين في كل قوس، نحصل على جا تربيع سبعة ﺱ. وبضرب الحدين الخارجيين (أي الطرفين)، يصبح لدينا جا سبعة ﺱ في جتا سبعة ﺱ. وبضرب الحدين الأوسطين (أي الوسطين)، يصبح لدينا جتا سبعة ﺱ في جا سبعة ﺱ. وبعد ذلك، نضرب آخر حدين في كل قوس. فنحصل بذلك على جتا تربيع سبعة ﺱ. يمكننا الآن تبسيط هذا المقدار قليلًا. نعرف أن جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ يساوي واحدًا. حسنًا، هذا يعني أن جا تربيع سبعة ﺱ زائد جتا تربيع سبعة ﺱ يجب أن يساوي واحدًا أيضًا. إذن نكتب واحدًا بدلًا من هذا المقدار ثم نجمع الحدود المتشابهة معًا. ونجد أن ﺹ يساوي أربعة في واحد زائد اثنين جا سبعة ﺱ في جتا سبعة ﺱ.

هل يمكنك تحديد متطابقة أخرى هنا؟ نحتاج إلى استخدام معكوس صيغة ضعف الزاوية للجيب. وهي جا اثنين ﺃ تساوي اثنين جا ﺃ جتا ﺃ. وسنجعل ﺃ يساوي سبعة ﺱ. ونعرف أن ﺹ يساوي أربعة في واحد زائد جا ١٤ﺱ أو أربعة زائد أربعة جا ١٤ﺱ. يمكننا الآن اشتقاق ذلك بسهولة. مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ. نستخدم أيضًا قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهو ما يسمح لنا بنقل الثوابت خارج المشتقة والتركيز على اشتقاق الدالة التي في المتغير ﺱ نفسها. مشتقة أربعة تساوي صفرًا. إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة في جتا ١٤ لـ ١٤ﺱ، وهو يساوي جتا ٥٦ لـ ١٤ﺱ.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا تطبيق فهمنا للمشتقات على الدوال المثلثية. كما رأينا أنه يمكن تطبيق حساب التفاضل والتكامل المتعلق بالدوال المثلثية عندما تكون الزوايا مقيسة بالراديان. كما عرفنا أن مشتقات دوال الجيب وجيب التمام والظل هي مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ، ومشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ جا ﺃﺱ، ومشتقة ظا ﺃﺱ تساوي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ.