فيديو السؤال: تحليل القوى المؤثرة على جسم في حالة اتزان موضوع على مستوى مائل خشن الرياضيات

يرتكز جسم وزنه ﻭ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠°. تؤثر القوة ﻕ على الجسم لأعلى خط أكبر ميل للمستوى. عندما تكون ﻕ = ٣٣ نيوتن، فإن الجسم يكون عند نقطة التحرك لأسفل المستوى. وعندما تكون ﻕ = ٥٥ نيوتن، فإن الجسم يكون عند نقطة التحرك لأعلى المستوى. وجد قيمة ﻭ ومعامل الاحتكاك ﻡﻙ بين الجسم والمستوى.

١٠:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

يرتكز جسم وزنه ﻭ نيوتن على سطح خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠ درجة. وتؤثر القوة ﻕ على الجسم لأعلى خط أكبر ميل للمستوى. عندما تكون ﻕ تساوي ٣٣ نيوتن، فإن الجسم يكون عند نقطة التحرك لأسفل المستوى. وعندما تكون ﻕ تساوي ٥٥ نيوتن، فإن الجسم يكون عند نقطة التحرك لأعلى المستوى. أوجد قيمة ﻭ ومعامل الاحتكاك ﻡﻙ بين الجسم والمستوى

حسنًا، هناك الكثير من المعطيات في هذا السؤال، لذا سنبدأ برسم شكل توضيحي. في الواقع، سنحتاج إلى رسم شكلين توضيحيين. تضمن السؤال معطيين مختلفين عن القوة التي تدفع الجسم لأعلى الميل. عندما تكون القوة ٣٣ نيوتن، فإن الجسم يكون على وشك التحرك لأسفل المستوى. وعندما تكون القوة ٥٥ نيوتن، فإن الجسم يكون على وشك التحرك لأعلى المستوى. ستؤثر حقيقة أن الجسم يوشك على التحرك في اتجاهين مختلفين على اتجاه قوة الاحتكاك. دعونا نطلق على الحالة الأولى، الحالة (أ). وسنبدأ برسمها أولًا.

يرتكز الجسم على مستوى يميل بزاوية ٦٠ درجة على الأفقي. وعلمنا من المعطيات أن وزن هذا الجسم يساوي ﻭ نيوتن. بعبارة أخرى، القوة التي يؤثر بها الجسم لأسفل على المستوى هي ﻭ. ونحن نعلم بالطبع أن هذا يعني أن هناك قوة رد فعل يؤثر بها المستوى على الجسم. وتؤثر هذه القوة عموديًّا على المستوى. في الحالة (أ)، القوة ﻕ التي تؤثر على الجسم عند خط أكبر ميل للمستوى تساوي ٣٣ نيوتن. وعند هذه النقطة، يكون الجسم عند نقطة التحرك لأسفل المستوى. هذا يعني أن قوة الاحتكاك تؤثر كذلك لأعلى؛ أي تؤثر في عكس الاتجاه الذي يوشك الجسم على التحرك نحوه. والآن بعد أن أوضحنا جميع القوى المؤثرة في هذا الشكل، سنحلل هذه القوى العمودية على المستوى والموازية له.

حسنًا، بما أن الوزن لا يؤثر في أي من هذين الاتجاهين، فإننا نحلله إلى مركبتيه الموازية للمستوى والعمودية عليه. ونرسم مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. سنسمي مركبة الوزن التي تؤثر عموديًّا على المستوى، ﺱ أو ﺱ نيوتن. والمركبة التي تؤثر بشكل مواز للمستوى، سنسميها ﺹ نيوتن.

والآن، ﺱ هو الضلع المجاور للزاوية المحصورة في هذا المثلث. ونحن نعلم من المعطيات أن طول الوتر يساوي ﻭ أو ﻭ نيوتن. ومن ثم، سنستخدم نسبة جيب التمام. وهي جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. يمكننا إذن قول إن جتا ٦٠ يساوي ﺱ على ﻭ. إذن، ﺱ يساوي ﻭ جتا ٦٠. و‏جتا ٦٠ يساوي نصفًا. وبذلك، نجد أن ﺱ يساوي نصف ﻭ. وبالمثل، يمكننا حساب قيمة ﺹ باستخدام نسبة الجيب. ‏جا ٦٠ يساوي ﺹ مقسومًا على ﻭ. وإذا ضربنا الطرفين في ﻭ، فسنحصل على ﺹ يساوي ﻭ جا ٦٠ أو جذر ثلاثة على اثنين ﻭ.

سنحلل الآن القوى العمودية على المستوى. نحن نعلم أن الجسم في حالة اتزان نهائي؛ أي إنه على وشك التحرك، ولكنه في الواقع لا يتحرك. وهذا يعني أن المجموع الاتجاهي للقوى المؤثرة عليه يجب أن يساوي صفرًا. يمكننا إذن قول إن القوة العمودية على المستوى، ﺭ ناقص نصف ﻭ — وتذكر أن القوة التي مقدارها نصف ﻭ تؤثر في الاتجاه المعاكس — تساوي صفرًا. بإضافة نصف ﻭ إلى طرفي المعادلة، نجد أن ﺭ يساوي نصف ﻭ. بعد ذلك، سنحلل القوى الموازية للمستوى في الحالة (أ).

مرة أخرى، المجموع الاتجاهي للقوى يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن قوة الاحتكاك زائد القوة التي تؤثر لأعلى خط أكبر ميل، وهي ٣٣، ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﻭ، يجب أن تساوي صفرًا. لكن تذكر أن الاحتكاك يساوي ﻡﻙﺭ، حيث ﻡﻙ هو معامل الاحتكاك وﺭ هو قوة الاحتكاك المشار إليها. وهذا يعني أن قوة الاحتكاك تساوي ﻡﻙ في نصف ﻭ. تذكر أننا حسبنا سابقًا أن ﺭ يساوي نصف ﻭ أو نصف ﻭﻡﻙ. سنبسط هذه المعادلة قليلًا بضرب طرفيها في اثنين. إذن، يصبح لدينا ﻭﻡﻙ زائد ٦٦ ناقص جذر ثلاثة ﻭ يساوي صفرًا.

سننتقل الآن إلى الحالة الثانية. وهي عندما تساوي القوة المؤثرة على الجسم ٥٥ نيوتن. في هذه الحالة، يكون الجسم عند نقطة التحرك لأعلى المستوى. وهذا يعني أن قوة الاحتكاك تؤثر في الاتجاه المعاكس؛ أي تؤثر لأسفل المستوى وفي اتجاه مواز له، كما هو موضح. مرة أخرى، يساوي المجموع الاتجاهي للقوى صفرًا. وبذلك، يكون لدينا ٥٥ ناقص قوة الاحتكاك ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﻭ يساوي صفرًا.

تظل قوة رد الفعل دون تغيير، لذا يمكننا إعادة كتابة الاحتكاك في صورة نصف ﻭﻡﻙ. ومرة أخرى، نضرب طرفي المعادلة في اثنين. إذن، ١١٠ ناقص ﻭﻡﻙ ناقص جذر ثلاثة ﻭ يساوي صفرًا. والآن، نلاحظ أن لدينا معادلتين آنيتين. دعونا نفرغ بعض المساحة ونحل المعادلتين.

سنبدأ بحذف ﻭﻡﻙ. وسنجمع المعادلتين (أ) و(ب). عندما نفعل ذلك، نحصل على ٦٦ زائد ١١٠. وهذا يساوي ١٧٦. وسالب جذر ثلاثة ﻭ زائد سالب جذر ثلاثة ﻭ يساوي سالب اثنين جذر ثلاثة ﻭ. سنضيف اثنين جذر ثلاثة ﻭ إلى طرفي المعادلة. ثم نقسم الطرفين على اثنين جذر ثلاثة. إذن، ﻭ يساوي ١٧٦ على اثنين جذر ثلاثة. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة، أو ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة نيوتن. علينا أيضًا حساب معامل الاحتكاك ﻡﻙ. دعونا إذن نعوض بقيمة ﻭ في إحدى المعادلتين الأصليتين لدينا.

بالتعويض في المعادلة (أ)، نحصل على ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة ﻡﻙ زائد ٦٦ ناقص جذر ثلاثة في ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة يساوي صفرًا. جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة مقسومًا على ثلاثة يساوي واحدًا. وبذلك، نحصل على ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة ﻡﻙ زائد ٦٦ ناقص ٨٨ يساوي صفرًا. حسنًا، ٦٦ ناقص ٨٨ يساوي سالب ٢٢. وسنضيف ٢٢ إلى الطرفين. ومن ثم، نحصل على ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة ﻡﻙ يساوي ٢٢. والخطوة الأخيرة ستكون قسمة الطرفين على ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة، ما يجعلنا نحصل على ﻡﻙ يساوي جذر ثلاثة على أربعة. إذن، ﻭ يساوي ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة، أو ٨٨ جذر ثلاثة على ثلاثة نيوتن، وﻡﻙ يساوي جذر ثلاثة على أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.