نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀 و𝐁. مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐀 والمتجه 𝐁 يساوي 6.8. احسب قياس الزاوية، 𝜃، المحصورة بين المتجهين. قرب إجابتك لأقرب رقمين معنويين.
حسنًا، هذا سؤال عن الضرب الاتجاهي. لدينا شكل يوضح المتجهين 𝐀 و𝐁. هذا الشكل يوضح لنا طول أو مقدار كل من المتجهين. في هذا السؤال، نعلم أيضًا مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين. المطلوب منا هو حساب قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين 𝐀 و𝐁.
إذن، نعرف مقدار الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐀 و𝐁. ونعرف أيضًا مقداري كل من المتجهين 𝐀 و𝐁، كل على حدة. علينا استخدام هذه المعطيات في حساب قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بينهما. لحسن الحظ، توجد معادلة تربط بين هذه الكميات. سنتناول متجهين عامين، وسنسميهما 𝐚 و𝐛 بأحرف صغيرة. نحن نستخدم الأحرف الصغيرة لتمييز المتجهين العامين عن المتجهين المحددين في السؤال.
لنفترض أن 𝐚 و𝐛 محصورة بينهما الزاوية 𝜙. مرة أخرى نستخدم حرفًا يونانيًّا مختلفًا للزاوية لنوضح أننا نتحدث عن حالة عامة وليس عن الزاوية 𝜃 المحددة في السؤال. يمكن كتابة مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين العامين 𝐚 و𝐛 على صورة مقدار 𝐚 مضروبًا في مقدار 𝐛 مضروبًا في sin 𝜙 المحصورة بين 𝐚 و𝐛.
كيف سيساعدنا هذا؟ حسنًا، في هذه الحالة، نعرف مقدار حاصل الضرب الاتجاهي ونعرف مقداري المتجهين منفردين. إذن، المجهول الوحيد في هذه المعادلة هو قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين. للإجابة عن السؤال، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل الزاوية في طرف بمفردها. لذا، دعونا نأخذ المعادلة العامة ونبدأ بقسمة كلا طرفي المعادلة على مقدار المتجه 𝐚 مضروبًا في مقدار المتجه 𝐛.
في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، نحذف هذين المقدارين مع المقدارين المناظرين لهما في البسط. ومن ثم، يصبح لدينا: مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐚 و𝐛 مقسومًا على مقدار 𝐚 في مقدار 𝐛 يساوي sin الزاوية المحصورة بين 𝐚 و𝐛. وبما أننا نريد جعل الزاوية 𝜙 في طرف بمفردها، فمن المنطقي أن نبدل الطرف الأيسر والأيمن لهذه المعادلة. عند القيام بذلك، يمكننا القول إن sin 𝜙 يساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐚 و𝐛 مقسومًا على مقدار 𝐚 مضروبًا في مقدار 𝐛.
وأخيرًا، لكي نجعل الزاوية نفسها في طرف بمفردها، علينا أخذ الدالة العكسية لـ sin لكلا طرفي المعادلة. إذن على الطرف الأيسر، الدالة العكسية لـ sin لـ 𝜙 sin تساوي 𝜙. وبذلك نجد أن الزاوية 𝜙 المحصورة بين المتجهين العامين 𝐚 و𝐛 نحصل عليها من الدالة العكسية لـ sin لمقدار حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐚 و𝐛 مقسومًا على مقدار 𝐚 في مقدار 𝐛.
الآن بعد أن أصبح لدينا هذا التعبير، يمكننا تطبيقه على المتجهين 𝐀 و𝐁، بالأحرف الكبيرة، المعطيين في السؤال. علينا إيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين هذين المتجهين. نعرف أن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐀 و𝐁 يساوي 6.8. ونعرف أيضًا أن مقدار 𝐀 يساوي خمسة، ونعرف أن مقدار 𝐁 يساوي أربعة.
بإيجاد قيمة هذا المقدار داخل الدالة العكسية لـ sin، نحصل على 0.34. وبأخذ الدالة العكسية لـ sin للقيمة 0.34 بعد ذلك، فإننا نحصل على 19.87687 وهكذا مع المزيد من المنازل العشرية. بالرجوع إلى السؤال، نلاحظ أن المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب رقمين معنويين. إذن، بتقريب الناتج لأعلى نحصل على إجابة السؤال، وهي أن قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين 𝐀 و𝐁 يساوي 20 درجة، لأقرب رقمين معنويين.
