فيديو السؤال: المقارنة بين القيمتين العظمى والصغرى للقياس الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

استخدمت آلة يمكنها قياس الأطوال بدقة فصل ملليمتر واحد لقطع مربع من صفيحة معدنية. قطعت الصفيحة بحيث يكون طول كل ضلع من أضلاعها 10 سنتيمترات. ما الفرق بين المساحة العظمى والمساحة الصغرى للصفيحة؟ ‏0.5 سنتيمتر مربع، سنتيمتر مربع واحد، سنتيمتران مربعان، 2.5 سنتيمتر مربع.

قطعت الصفيحة المعدنية التي تعنينا بواسطة الآلة بحيث يكون طول كل ضلع من أضلاعها 10 سنتيمترات. لكننا نعلم أيضًا أن دقة فصل الآلة تساوي ملليمترًا واحدًا فقط. هذا يعني أن كل طول من هذه الأطوال لا يساوي بالضرورة 10 سنتيمترات بالضبط. تذكر أن الشك في القياس يساوي نصف دقة فصل جهاز القياس. ونظرًا لأن دقة الفصل تساوي ملليمترًا واحدًا، فإن مقدار الشك في كل من هذه القياسات يساوي نصف ملليمتر. هذا يعني أن كل طول من هذه الأطوال يمكن أن يصل إلى 10 سنتيمترات ناقص 0.5 ملليمتر بحد أدنى، أو 10 سنتيمترات زائد 0.5 ملليمتر بحد أقصى. نكتب ذلك في صورة 10 سنتيمترات زائد أو ناقص 0.5 ملليمتر.

إذا تذكرنا أن ملليمترًا واحدًا يساوي 0.1 سنتيمتر، يمكننا ملاحظة أن 0.5 ملليمتر يساوي 0.05 سنتيمتر. يمكننا كتابة 10 سنتيمترات زائد أو ناقص 0.5 ملليمتر في صورة 10 زائد أو ناقص 0.05 سنتيمتر. السبب في وجود هذا المقدار من الشك هو أن جهاز قياس بدقة فصل تساوي ملليمترًا واحدًا سيقيس أي طول فعلي يتراوح بين 9.95 سنتيمترات و10.05 سنتيمترات باعتباره 10 سنتيمترات. إذن، عندما يعرض جهاز القياس قيمة 10 سنتيمترات، فإننا لا نعرف على وجه اليقين أن هذا هو الطول الفعلي. لكننا نعرف على وجه اليقين أن فرق الطول لا يزيد عن نصف ملليمتر.

على أي حال، نحن نبحث عن الفرق بين المساحة العظمى والمساحة الصغرى للصفيحة. نحصل على المساحة العظمى عندما تكون أطوال الأضلاع أطول ما يمكن، ونحصل على المساحة الصغرى عندما تكون أطوال الأضلاع أقصر ما يمكن. أقصى طول للضلع، الذي يتسق مع قياس 10 سنتيمترات ودقة فصل قياس ملليمتر واحد، هو 10 زائد 0.05 سنتيمتر. إذن، أطوال أضلاع الصفيحة ذات المساحة العظمى ستساوي 10.05 سنتيمترات. ونظرًا لأن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه، فإن المساحة العظمى للصفيحة تساوي تربيع 10.05 سنتيمترات؛ أي 101.0025 سنتيمتر مربع.

باتباع الطريقة نفسها، الحد الأدنى لطول الضلع، الذي يتسق مع قياس 10 سنتيمترات ودقة فصل قياس ملليمتر واحد، هو 10 ناقص 0.05 سنتيمتر. هذا يعطينا ضلعًا طوله 9.95 سنتيمترات، وتربيع 9.95 سنتيمترات يساوي 99.0025 سنتيمترًا مربعًا. بذلك نجد أن أقصى قيمة ممكنة لمساحة الصفيحة هي 101.0025 سنتيمتر مربع. وأقل قيمة ممكنة لمساحة الصفيحة هي 99.0025 سنتيمترًا مربعًا. الفرق بين هاتين القيمتين هو سنتيمتران مربعان. إذن، الإجابة التي نبحث عنها هي سنتيمتران مربعان.

يجدر بنا أن نتوقف لحظة لمقارنة النسبة المئوية للشك في طول الأضلاع بالنسبة المئوية للشك في مساحة الصفيحة. كما نلاحظ من القيمتين العظمى والصغرى لأطوال الأضلاع، فإن النسبة المئوية للشك هي نصف ملليمتر على 10 سنتيمترات، وهو ما يساوي نصفًا بالمائة. إذا كان طول ضلع الصفيحة 10 سنتيمترات بالضبط، فإن مساحة الصفيحة تساوي 100 سنتيمتر مربع بالضبط. إذن، من خلال إيجاد القيمتين العظمى والصغرى الممكنتين لمساحة الصفيحة، يمكننا ملاحظة أن مقدار الشك يساوي سنتيمترًا مربعًا واحدًا تقريبًا. ومن ثم، النسبة المئوية للشك تساوي سنتيمترًا مربعًا واحدًا على 100 سنتيمتر مربع، وهو ما يساوي واحدًا بالمائة.

واحد بالمائة؛ أي مقدار الشك في مساحة الصفيحة، أكبر من نصف بالمائة، وهو مقدار الشك في أطوال أضلاع الصفيحة. لاحظ أيضًا أنه لحساب مساحة الصفيحة، علينا ضرب طولي ضلعين. لذا علينا ضرب كميتين لهما مقدارا شك. يوضح هذا مبدأ عامًّا مهمًّا. نسبة الشك في حاصل ضرب كميتين لهما مقدارا شك أكبر من نسبة الشك في كل معامل على حدة.