فيديو السؤال: حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ التوزيع الاحتمالي الموضح. أوجد قيمة ﻙ.

لحل المسألة، علينا تذكر بعض المعلومات حول المتغيرات العشوائية المتقطعة. نعرف أن مجموع الاحتمالات لمتغير عشوائي متقطع لا بد أن يساوي واحدًا. يمكننا إذن تكوين معادلة عن طريق جمع كل الاحتمالات الموجودة في الجدول. فنحصل على ﻙ على واحد زائد ﻙ على اثنين زائد ﻙ على ثلاثة زائد ﻙ على أربعة يساوي واحدًا.

والآن علينا إيجاد قيمة المقدار في الطرف الأيمن من المعادلة. علينا أولًا التأكد من أن كل الكسور لها نفس المقام. يمكن إيجاد المقام المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لواحد واثنين وثلاثة وأربعة. إنه ١٢.

لتغيير مقام الكسر الأول إلى ١٢، علينا أن نضرب البسط والمقام في ١٢. فنحصل على ١٢ﻙ على ١٢. وبالنسبة للكسر الثاني، نضرب البسط والمقام في ستة، لنحصل على ستة ﻙ على ١٢. وبالنسبة لـ ﻙ على ثلاثة، نضرب البسط والمقام في أربعة، فنحصل على أربعة ﻙ على ١٢. ونضرب البسط والمقام في الكسر ﻙ على أربعة في ثلاثة، لنحصل على ثلاثة ﻙ على ١٢.

والآن نبسط المقدار في الطرف الأيمن. بجمع البسوط، ١٢ﻙ زائد ستة ﻙ زائد أربعة ﻙ زائد ثلاثة ﻙ، نحصل على ٢٥ﻙ. إذن يصبح الكسر ٢٥ﻙ على ١٢. لحل هذه المعادلة، نضرب كلا الطرفين أولًا في ١٢، لنحصل على ٢٥ﻙ يساوي ١٢. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ٢٥، لنحصل على ﻙ يساوي ١٢ على ٢٥.

ثم يمكننا التعويض بقيمة ﻙ في الجدول الذي يوضح التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع. فنتوصل إلى أن احتمالية أن ﺱ يساوي واحدًا هي ١٢ على ٢٥، واحتمالية أن ﺱ يساوي اثنين هي ستة على ٢٥، واحتمالية أنه يساوي ثلاثة هي أربعة على ٢٥، واحتمالية أنه يساوي أربعة هي ثلاثة على ٢٥.

ومن ثم أوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ.

الآن وقد أصبح لدينا كل الاحتمالات، يمكننا تطبيق صيغة القيمة المتوقعة لـ ﺱ. وهي مجموع النتائج الممكنة مضروبًا في احتمال وقوع هذه النتيجة. فلنعوض بما نعرفه في هذه الصيغة.

عند ﺱ يساوي واحدًا، يصبح لدينا واحدًا مضروبًا في ١٢ على ٢٥. وعند ﺱ يساوي اثنين: ﺱ مضروبًا في احتمالية ﺱ يساوي اثنين مضروبًا في ستة على ٢٥. وفي العمود الثالث، ثلاثة مضروبًا في أربعة على ٢٥. وفي العمود الرابع والأخير، أربعة مضروبًا في ثلاثة على ٢٥. والصورة المبسطة من هذا هي ١٢ على ٢٥ زائد ١٢ على ٢٥ زائد ١٢ على ٢٥ زائد ١٢ على ٢٥، وذلك يساوي ٤٨ على ٢٥. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ هي ٤٨ على ٢٥.