فيديو السؤال: إيجاد طول المماس لدائرة باستخدام خواص المماس

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الآتي، 𝐴𝑍 يساوي 7.5 سنتيمترات، و𝐵𝑍 يساوي 14.5 سنتيمترًا، و𝐴𝐶 يساوي 20 سنتيمترًا. إذا كانت جميع أضلاع المثلث 𝐴𝐵𝐶 تمس الدائرة الموضحة، فأوجد طول 𝐵𝐶.

لنبدأ بكتابة الأطوال المعطاة في المسألة على الشكل. إذن، لدينا طول ضلعين من هذا المثلث ونريد إيجاد طول الضلع 𝐵𝐶، وهو الضلع الثالث. ولدينا أيضًا معلومة مهمة، وهي أن أضلاع المثلث 𝐴𝐵𝐶 كلها مماسة للدائرة الموضحة في الشكل. والآن لنفكر فيما نعرفه عن أطوال المماسات التي ترسم من نقاط خارج الدائرة.

إليكم حقيقة مهمة. إذا رسمت قطعتان مستقيمتان من النقطة نفسها خارج الدائرة وكانتا مماستين لها، فإنهما تتطابقان. وهذا يعني، عمليًا، أن هاتين القطعتين المستقيمتين المرسومتين من النقطة 𝐴 ومماستين للدائرة متساويتان في الطول. والقاعدة نفسها تنطبق على القطعتين المستقيمتين المرسومتين من النقطة 𝐵 والقطعتين المستقيمتين المرسومتين من النقطة 𝐶. لكن كيف يمكن أن يساعدنا هذا في حل هذه المسألة؟ حسنًا، تذكر أننا نريد إيجاد طول الضلع 𝐵𝐶. إذن، نحن نحتاج إلى معرفة طول القطعة المستقيمة الوردية اللون والقطعة المستقيمة الخضراء اللون.

باستخدام الاستنتاج الذي تحدثنا عنه توًا، نجد أننا نعلم بالفعل طول القطعة المستقيمة الوردية اللون. فهي تساوي طول القطعة المستقيمة 𝐵𝑍 الذي يبلغ 14.5 سنتيمترًا. والآن علينا التفكير في طريقة حساب طول القطعة المستقيمة الخضراء اللون. وللقيام بهذا، سنضيف حرفين إضافيين على الضلعين الآخرين من هذا المثلث. إذن مثلما توجد لدينا النقطة 𝑍 على الضلع 𝐴𝐵، وضعنا النقطة 𝑋 على الضلع 𝐴𝐶، والنقطة 𝑌على الضلع 𝐵𝐶، وهي النقاط التي تمس هذه القطع المستقيمة الدائرة عندها.

معلوم لدينا الطول الإجمالي للضلع 𝐴𝐶. ولكننا نريد معرفة طول الجزء البرتقالي 𝐴𝑋 وطول الجزء الأخضر 𝑋𝐶. بتطبيق الاستنتاج نفسه مرة أخرى، نعلم أن القطعة المستقيمة 𝐴𝑋 تطابق القطعة المستقيمة 𝐴𝑍. ومن ثم، فهي تساوي 7.5 سنتيمترات. وهكذا يمكن معرفة طول القطعة المستقيمة 𝐶𝑋 بطرح طول 𝐴𝑋 من طول 𝐴𝐶؛ أي 20 ناقص 7.5. وهكذا صرنا نعلم أن القطعة المستقيمة 𝐶𝑋 تساوي 12.5سنتيمترًا.

بتطبيق استنتاجنا الأساسي للمرة الثالثة، نعلم أن القطعتين المستقيمتين المرسومتين من النقطة 𝐶 متطابقتان. ومن ثم، فإن 𝐶𝑌 تطابق 𝐶𝑋. وبذلك، فإن طول القطعة المستقيمة 𝐶𝑌 يساوي 12.5 سنتيمترًا. والآن تأتي الخطوة الأخيرة في هذه المسألة، وهي تحديد طول الضلع 𝐵𝐶 من خلال جمع طولي القطعتين المستقيمتين 𝐵𝑌 و𝐶𝑌. وعليه يصبح طول الضلع 𝐵𝐶‏ ‏14.5 زائد 12.5. وهو ما يساوي 27 سنتيمترًا.

يتمثل الاستنتاج الأساسي الذي طبقناه ثلاث مرات في هذه المسألة في أن القطعتين المستقيمتين المماستين المرسومتين من النقطة نفسها خارج الدائرة تكونان متطابقتين — أي متساويتين في الطول.