فيديو: إيجاد طول القوس لمنحنى دائرة مُعرَّفة بالمعادلات البارامترية

أوجد طول قوس المنحنى المعرّف بالمعادلتين البارامتريتين: س = جتا ن، ص = جا ن.

٠٢:١١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد طول قوس المنحنى المعرّف بالمعادلتين البارامتريتين: س تساوي جتا ن، وَ ص يساوي جا ن.

طول القوس للمعادلات لمّا بتكون متعرّفة بالشكل ده بالصورة البارامترية، بيبقى صفر لاتنين 𝜋؛ لأن دي جتا والـ جا بيبقى بدايتها من الصفر بتنتهي عند الاتنين 𝜋. كل دورة فيها بنوجد تكامل من صفر لاتنين 𝜋 للجذر التربيعي لتفاضل الـ س بالنسبة للـ ن تربيع، زائد تفاضل الـ ص بالنسبة للـ ن تربيع. وده كله بنكامله بالنسبة للـ ن.

يبقى هنوجد تفاضل الـ س بالنسبة للـ ن، وتفاضل الـ ص بالنسبة للـ ن. الـ س بتساوي جتا ن. تفاضلها بالنسبة للـ ن يبقى سالب جا ن، وتفاضل الـ ص بالنسبة للـ ن، ده جا ن، يبقى تفاضلها جتا ن. القيمتين دول هناخدهم ونعوّض بيهم؛ عشان نوجد طول القوس. يبقى طول القوس يساوي تكامل من صفر لاتنين 𝜋 للجذر التربيعي د س د ن، اللي هي سالب جا ن. هتبقى سالب جا ن تربيع، زائد … د ص د ن قيمتها جتا ن، يبقى جتا ن كل تربيع. ده كله هنكامله بالنسبة للـ ن. سالب جا ن تربيع يبقى جا تربيع ن، والـ جتا ن تربيع يبقى جتا تربيع ن.

من المتطابقات المثلثية جا تربيع ن زائد جتا تربيع ن، دي بتساوي واحد. يبقى طول القوس هيساوي تكامل من صفر لـ اتنين 𝜋 للجذر التربيعي للواحد. يعني واحد وهنكامله بالنسبة للـ ن. يبقى هيساوي ن … وهنعوض من صفر لاتنين 𝜋. هتساوي … هنعوّض مرة بـ ن تساوي اتنين 𝜋، ناقص الـ ن تساوي صفر. يبقى قيمة التكامل هتساوي اتنين 𝜋. ويبقى هو ده قيمة القوس المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.