فيديو السؤال: تحليل حركة جسم على مستوى مائل الرياضيات

جسم كتلته ٢٥ كجم وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃 بالانزلاق لأسفل المستوى، قطع الجسم مسافة ٢٠ م في ١٠ ثوان. بدأت القوة ﻕ التأثير على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل أعلى المستوى. نتيجة لهذه القوة، بدأ الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مقدارها ٣٠٨ سم‏/‏ثانية^٢ أعلى المستوى. أوجد جا 𝜃 والقوة ﻕ. ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ثانية^٢.

٠٧:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته ٢٥ كيلوجرامًا وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. بالانزلاق لأسفل المستوى، قطع الجسم مسافة ٢٠ مترًا في ١٠ ثوان. بدأت القوة ﻕ التأثير على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل أعلى المستوى. نتيجة لهذه القوة، بدأ الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مقدارها ٣٠٨ سنتيمترات لكل ثانية مربعة أعلى المستوى. أوجد جا 𝜃 والقوة ﻕ. وذلك مع العلم أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنبدأ برسم شكل يوضح هذا السيناريو. ليس بالضرورة أن يرسم الشكل بمقياس رسم، لكن يجب أن يكون متناسبًا مع المعطيات لنتمكن من تمثيلها بدقة. هذا هو المستوى الأملس الذي يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. وحقيقة أن المستوى أملس تعني ببساطة أنه لن يؤثر بقوة احتكاك على الجسم.

علمنا أن جسمًا كتلته ٢٥ كيلوجرامًا وضع على هذا المستوى. ومن ثم، يمكننا القول إن الجسم يؤثر بقوة لأسفل على المستوى. ونطلق على هذه القوة لأسفل «وزن الجسم»، وهي تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية. في الوقت الحالي، سنسمي هذه القوة ٢٥ﺩ وهي مقيسة بالنيوتن. عرفنا بعد ذلك أن الجسم ينزلق لأسفل المنحنى. وبذلك، فهو يقطع ٢٠ مترًا في ١٠ ثوان. يعني هذا أنه يمكننا تمثيل عجلة الجسم. هيا نبدأ بحساب هذه العجلة.

في الاتجاه الموازي للمستوى، نعلم أن الجسم يقطع مسافة أو إزاحة مقدارها ٢٠، أو ٢٠ مترًا. ويستغرق في ذلك زمنًا نرمز إليه بـ ﻥ مقداره ١٠ ثوان، وسرعته الابتدائية، أي ﻉ صفر، تساوي صفرًا. نريد حساب العجلة عند هذا الزمن. ولكي نتمكن من هذا، نستخدم إحدى معادلات العجلة الثابتة. المعادلة التي نريدها هي التي تربط بين ﻑ وﻥ وﻉ صفر وﺟ، وهي ﻑ يساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بما نعرفه عن حركة هذا الجسم في المعادلة، نحصل على ٢٠ يساوي ﺟ زائد نصف في ﺟ في ١٠ تربيع. نبسط ذلك إلى ٢٠ يساوي ٥٠ﺟ. وإذا قسمنا الطرفين على ٥٠، فسنجد أن ﺟ يساوي ٢٠ على ٥٠، أو ببساطة خمسين.

بذلك نكون قد حسبنا عجلة الجسم. لكن ما أهمية ذلك؟ حسنًا، سيسمح لنا ذلك بحساب قيمة جا 𝜃. سنستخدم المعادلة ﻕ يساوي ﻡﺟ ونفكر في الجزء الأول من حركة الجسم. هذا يعني أن القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. نعرف الكتلة، وحسبنا عجلة الجسم. لكن عجلة هذا الجسم اتجاهها مواز للمستوى. إذن، علينا إيجاد مركبة الوزن التي تؤثر في هذا الاتجاه.

لذلك، رسمنا مثلثًا قائم الزاوية. الزاوية المحصورة هي 𝜃. ونريد إيجاد طول الضلع المقابل في هذا المثلث، أي الضلع الذي أسميته 𝑥. بما أننا نريد إيجاد طول الضلع المقابل، ونعلم أن طول الوتر يساوي ٢٥ﺩ، سنستخدم نسبة جيب الزاوية. يمكننا القول إن جا 𝜃 في هذا المثلث يساوي 𝑥 على ٢٥ﺩ، ما يعني أن 𝑥 يساوي ٢٥ﺩ جا 𝜃. إذن، هذه هي مركبة قوة الوزن الموازية للمستوى. يمكننا الآن التعويض بذلك في الصيغة ﻕ يساوي ﻡﺟ. فنحصل على ٢٥ﺩ جا 𝜃 في الطرف الأيسر. وفي الطرف الأيمن، لدينا الكتلة في العجلة. وهذا يساوي ٢٥ في خمسين. ٢٥ في خمسين يساوي ١٠.

مهمتنا التالية لحساب قيمة جا 𝜃 هي قسمة الطرفين على ٢٥ﺩ. إذن جا 𝜃 يساوي ١٠ مقسومًا على ٢٥ﺩ. والآن نستخدم حقيقة أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. ونجد أن جا 𝜃 يساوي ١٠ مقسومًا على ٢٥ في ٩٫٨، وهو ما يعطينا اثنين على ٤٩. وبذلك، نكون قد أجبنا عن الجزء الأول من هذا السؤال. فقيمة جا 𝜃 تساوي اثنين على ٤٩.

علينا بعد ذلك إيجاد القوة ﻕ. لذا، علينا إعادة رسم الشكل لتمثيل الجزء الثاني من الحركة. تظل قوة الوزن كما هي، ويمكننا تغيير الضلع المقابل في المثلث الذي رسمناه ليكون ٢٥ﺩ جا 𝜃. وسيساعدنا هذا أثناء الحل. إذ نعرف أنه يمكننا الآن حساب مركبة الوزن الموازية للمستوى.

لدينا القوة ﻕ التي تؤثر على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل أعلى المستوى، إذن فهي موازية للمستوى. وتوجد أيضًا قوة رد فعل عمودي للمستوى على الجسم، لكننا لا نحتاج إليها في هذا السؤال. علمنا أن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مقدارها ٣٠٨ سنتيمترات لكل ثانية مربعة. لكن علينا تحويل هذا إلى متر لكل ثانية مربعة. وللقيام بذلك، نقسم على ١٠٠. نجد أن العجلة تساوي ٣٫٠٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

إننا نريد إيجاد قيمة القوة ﻕ، لذا سنعود إلى المعادلة ﻕ يساوي ﻡﺟ. نعرف كتلة الجسم وعجلته، لكن ما مقدار القوة هذه المرة؟ حسنًا، علينا التفكير في مجموع القوى. نفترض أن الاتجاه لأعلى المستوى موجب، والقوة ﻕ تؤثر في هذا الاتجاه. وفي الاتجاه المضاد، تؤثر القوة ٢٥ﺩ جا 𝜃. ومن ثم، مجموع القوى المؤثرة على الجسم، بافتراض أن الاتجاه لأعلى المستوى موجب، هو ﻕ ناقص ٢٥ﺩ جا 𝜃. وهذا يساوي حاصل ضرب الكتلة في العجلة، أي ٢٥ في ٣٫٠٨.

دعونا نعوض عن جا 𝜃 باثنين على ٤٩، ونعلم أن ٢٥ في ٣٫٠٨ يساوي ٧٧. إذا عوضنا عن ﺩ بـ ٩٨، فسنحصل على ٢٥ في ٩٫٨ في اثنين على ٤٩، وهو ما يساوي ١٠. تصبح المعادلة لدينا ﻕ ناقص ١٠ يساوي ٧٧، ويمكننا حلها لإيجاد قيمة ﻕ بإضافة ١٠ إلى الطرفين. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﻕ يساوي ٨٧ أو ٨٧ نيوتن. وعليه، فإن جا 𝜃 يساوي اثنين على ٤٩، والقوة ﻕ تساوي ٨٧ نيوتن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.