فيديو: إيجاد معدل تغير نصف قطر دائرة ممتدة بمعلومية معدل تغير مساحتها باستخدام معدلات مرتبطة

‏ مساحة قرص دائري تزيد بمعدل ‪1/5 cm²/s‬‏. ما معدل زيادة نصف قطره عندما يكون ‪6 cm‬‏؟ استخدم ‪𝜋 = 22/7‬‏ لتبسيط إجابتك.

٠٨:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

مساحة قرص دائري تزيد بمعدل واحد على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية. ما معدل زيادة نصف قطره عندما يكون نصف القطر ستة سنتيمترات؟ استخدم ‪𝜋‬‏ يساوي ‪22‬‏ على سبعة لتبسيط إجابتك.

لنركز أولًا على الجملة الأولى. تزيد مساحة قرص دائري بمعدل واحد على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية. ذلك هو أول معطى في المسألة. وهو يحدد السيناريو الذي تستند إليه المسألة. لننظر ما إذا كان بالإمكان تصور هذا السيناريو. أنا شخصيًا أتخيل نقطة سوداء تكبر شيئًا فشيئًا. حسنًا، كيف ننطلق من هذه الجملة أو نعبر عن تصورنا بصيغة رياضية؟

لنعرف بعض المتغيرات بدءًا من مساحة القرص، التي سنسميها ‪𝐴‬‏. فما الذي نعرفه عن ‪𝐴‬‏؟ نعلم أنه يزيد بمعدل واحد على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية. إذن لدينا معدل زيادة. وهو ما تخبرنا به وحدة السنتيمتر المربع في الثانية. ونعلم أن الطريقة الصحيحة للتفكير في معدلات الزيادة أو معدلات التغير رياضيًا هي استخدام المشتقات. إذن معدل زيادة المساحة يساوي ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑡‬‏، حيث يمثل ‪𝑡‬‏ الزمن. ونعلم أن ذلك يساوي واحدًا على خمسة. لسنا بحاجة إلى إضافة وحدة السنتيمتر المربع في الثانية هنا. ولكن، ينبغي أن تكون مقتنعًا بالسبب، وهو أن قيمة ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑡‬‏ تتضمن هذه الوحدات بالفعل.

والآن، هيا ننتقل إلى الجملة الثانية. ما معدل زيادة نصف قطره عندما يكون نصف القطر ستة سنتيمترات؟ تخبرنا هذه الجملة بما علينا إيجاده. ومرة أخرى، فإننا نتحدث عن معدل زيادة، أو معدل تغير شيء ما، وهو في هذه المرة نصف قطر القرص. ومن ثم إذا عبرنا عن نصف قطر القرص بالحرف ‪𝑟‬‏، فإن معدل زيادة نصف القطر، الذي علينا إيجاده، يكون ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏. حسنًا، في الواقع، ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏ هي دالة ستعطينا معدل زيادة نصف القطر في أي زمن ‪𝑡‬‏ أو لأي نصف قطر ‪𝑟‬‏. علينا فقط معرفة قيمته حين يكون نصف القطر ‪𝑟‬‏ ستة سنتيمترات، وهو ما يتحقق بإيجاد قيمة هذه المشتقة عندما ‪𝑟‬‏ يساوي ستة.

أما الجملة الأخيرة في المسألة، فهي تطلب تبسيط الناتج. لذا سنتجاهلها في الوقت الحالي. لا نعلم إلا معدلًا واحدًا، وهو المعدل الذي تزيد به المساحة. والمطلوب منا هو إيجاد قيمة معدل آخر، وهو المعدل الذي يزيد به نصف القطر. وهذان ليسا معدلين مختارين عشوائيًا، كالمعدل الذي تنجرف به القارات ومعدل زيادة أموالنا في حساباتنا المصرفية. بل هما معدلان مرتبطان. مرتبطان كيف؟ حسنًا، نعلم أن مساحة القرص الدائري ‪𝐴‬‏ مرتبطة بنصف قطر ذلك القرص ‪𝑟‬‏ استنادًا إلى الصيغة ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وهذا عنصر ناقص نحتاج إليه حتى نحل هذه المسألة.

حسنًا، الآن لدينا العناصر، دعونا ننظر ما إذا كنا نستطيع إيجاد ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏. سنفعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. نحن نعلم قيمة ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑡‬‏ في المسألة. إذن هي فكرة جيدة بحق أن نستخدم ذلك في قاعدة السلسلة. السؤال الآن، ما هي المشتقة الأخرى؟ حسنًا، ستكون ‪d‬‏ شيء ما على ‪d‬‏ شيء آخر. كيف سنتوصل لقيمة هذه الأشياء المجهولة؟ حسنًا، في الطرف الأيسر، لدينا ‪d𝑟‬‏ في البسط ولا يوجد ‪d𝑟‬‏ في الطرف الأيمن. ومن ثم عند افتراض أن هذه كسور في الوقت الحالي، فلابد أن يكون بسط المشتقة الثانية ‪d𝑟‬‏. وفي المقام، لدينا بالفعل ‪d𝑡‬‏. لكن علينا حذف ‪d𝐴‬‏ من بسط المشتقة الأولى في الطرف الأيمن. إذن، المقام هو ‪d𝐴‬‏.

ينبغي أن تتأكد سريعًا من أن هذه فعلًا قاعدة سلسلة. والآن نحن مستعدون للتعويض. فلنعوض عن ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑡‬‏ بواحد على خمسة، لنحصل على ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي واحد على خمسة في ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏. الآن، ما هي الطريقة التي نستطيع بها إيجاد ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏، أي معدل تغير نصف قطر القرص بالنسبة لمساحة القرص؟ حسنًا، سنستخدم العلاقة التي لدينا بين المساحة ‪𝐴‬‏ ونصف القطر ‪𝑟‬‏. ‏‏‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وهناك وسائل متنوعة يمكننا استخدامها لإيجاد ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏ من هذه العلاقة. فيمكننا الاشتقاق بالنسبة إلى ‪𝑟‬‏، لنحصل على ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑟‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋𝑟‬‏. ثم يمكننا الاستفادة من حقيقة أن ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏، وهو ما نبحث عنه، يساوي واحدًا على ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑟‬‏، كي نبين أن ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏ يساوي واحدًا على اثنين ‪𝜋𝑟‬‏.

إذا لم تكن قد عرفت أن ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏ هو مقلوب ‪d𝐴‬‏ على ‪d𝑟‬‏ أو، بوجه عام، أن ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏ هو مقلوب ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، فيمكنك الوصول إلى النتيجة نفسها باشتقاق ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع ضمنيًا بالنسبة إلى ‪𝐴‬‏. و‪d𝐴‬‏ على ‪d𝐴‬‏ يساوي واحدًا. ويمكننا تطبيق قاعدة السلسلة على الطرف الأيمن. ويمكننا اشتقاق ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑟‬‏، كما فعلنا من قبل. الآن، يتطلب الأمر إعادة ترتيب بسيط لإيجاد قيمة ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏. مرة أخرى، لدينا واحد على اثنين ‪𝜋𝑟‬‏. فلنعوض عن هذا بقيمة ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝐴‬‏. بالتبسيط، نحصل على واحد على ‪10𝜋𝑟‬‏. قبل إيجاد قيمة هذا المقدار عن ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏ عندما ‪𝑟‬‏ يساوي ستة لإيجاد الناتج النهائي، دعونا ننظر أولًا ما إذا كان هذا المقدار منطقيًا.

لقد أوضحنا أن معدل تغير نصف قطر القرص الدائري ‪𝑟‬‏ بالنسبة إلى الزمن، حيث تزيد مساحة القرص بمعدل ثابت يصل إلى واحد على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية، يساوي واحدًا على ‪10𝜋𝑟‬‏. وبما أن نصف قطر القرص ‪𝑟‬‏ لابد أن يكون موجبًا، فإن المقدار واحد على ‪10𝜋𝑟‬‏ لابد أن يكون موجبًا. إذن معدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن موجب. ولذلك، فنصف القطر يزيد. نأمل أن يتوافق هذا مع الصورة التي في مخيلتنا. فمع زيادة مساحة القرص، لا بد أن يزيد نصف قطره أيضًا.

لكن علينا أن نلاحظ أنه على الرغم من أن المساحة تزيد بمعدل ثابت، وهو واحد على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية، فإن نصف القطر لا يزيد بمعدل ثابت. إذ يعتمد المعدل الذي يزيد به نصف القطر على نصف القطر ‪𝑟‬‏. و‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يقل مع زيادة ‪𝑟‬‏. وهكذا، على الرغم من أن نصف القطر يزيد وكذلك الحد الخارجي للقرص يبتعد أكثر عن المركز، فإن السرعة التي يحدث بها ذلك تتناقص. بمعنى أدق، ليس بالضرورة أن تفهم كل ذلك لتتمكن من حل المسألة. لكن من الجيد دائمًا أن نفكر.

وبالعودة إلى المسألة الحالية، وجدنا ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏. لكن المطلوب هو ‪d𝑟‬‏ على ‪d𝑡‬‏ عند ‪𝑟‬‏ يساوي ستة، وهو — إذا كنتم تذكرون — معدل زيادة نصف قطر القرص عندما يساوي نصف القطر ستة سنتيمترات. لنفرغ الآن مكانًا للتعويض. بالتعويض عن ‪𝑟‬‏ بستة، نحصل على واحد على ‪10𝜋‬‏ في ستة، وهو ما يساوي واحدًا على ‪60𝜋‬‏. والمطلوب منا في المسألة أن نستخدم الصيغة التقريبية ‪𝜋‬‏ يساوي ‪22‬‏ على سبعة. ومن ثم، لا بد من إجراء عملية التعويض. الآن، سنضرب البسط والمقام في سبعة. عند إجراء عملية الضرب في المقام، نحصل على الناتج سبعة على ‪1320‬‏.

لكن سبعة على ‪1320‬‏ ماذا؟ ما وحدة القياس هنا؟ حسنًا، هذا معدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن. والزمن معطى بالثواني. وبما أن المساحة بالسنتيمتر المربع ونصف القطر بالسنتيمتر، فالوحدة هي سنتيمتر في الثانية. وعندما نطبق هذا الناتج على السياق الحالي، فإنه عندما تزيد مساحة القرص الدائري بمعدل ثابت يساوي واحدًا على خمسة سنتيمتر مربع في الثانية، يصل معدل زيادة نصف قطر القرص حين يكون نصف القطر ستة سنتيمترات إلى سبعة على ‪1320‬‏ سنتيمترًا في الثانية. ويتحقق ذلك على الأقل باستخدام الصيغة التقريبية ‪𝜋‬‏ يساوي ‪22‬‏ على سبعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.