فيديو الدرس: الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة والمتقاطعة في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة خط مستقيم مواز أو عمودي على خط مستقيم آخر في الفضاء، ونوجد نقطة التقاطع بين المستقيمين.

لعلنا نتذكر أنه يمكننا وصف خط ما في ثلاثة أبعاد على الصورة المتجهة، باستخدام معلومتين. نحتاج إلى نقطة على الخط المستقيم ومتجه غير صفري مواز لهذا الخط. وهذا ما يسمى بمتجه الاتجاه. والمتجهات تكون متوازية عندما يكون كل منها مضاعفًا قياسيًّا للآخر. على وجه التحديد، تعطى معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة في ثلاثة أبعاد، بواسطة ﺭﻙ يساوي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻙ في ﺃ، ﺏ، ﺟ. حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر متجه الموضع للنقطة الواقعة على الخط المستقيم، وﺃ، ﺏ، ﺟ هو المتجه غير الصفري الموازي له.

والآن، بطبيعة الحال، تظهر مركبات متجه الاتجاه وإحداثيات النقطة التي يمر بها الخط بشكل صريح في معادلة الخط المستقيم في عدة صور مختلفة. لذا، دعونا نتذكر الصورتين الأخريين. الصورة الإحداثية هي: ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﺟ؛ حيث قيم ﺃ وﺏ وﺟ لا تساوي صفرًا. والصورة البارامترية هي: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﺏﻙ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻙ.

على سبيل المثال، افترض أننا نعلم أن خطًّا مستقيمًا يمر عبر النقطة: سالب واحد، سالب خمسة، أربعة، وأنه يوازي المتجه: سالب ثلاثة، خمسة، واحدًا. يمكننا تعريف ﺱ صفر بأنه يساوي سالب واحد، وﺹ صفر بأنه يساوي سالب خمسة، وﻉ صفر بأنه يساوي أربعة. وبالطبع، يوازي الخط المستقيم هذا المتجه غير الصفري. وبذلك، ﺃ يساوي سالب ثلاثة، وﺏ يساوي خمسة، وﺟ يساوي واحدًا. هذا يعني أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم هي: ﺭﻙ يساوي سالب واحد، سالب خمسة، أربعة زائد ﻙ في سالب ثلاثة، خمسة، واحد.

إذن باستخدام كل هذه المعلومات، كيف نحدد ما إذا كان خطان مستقيمان، معطاة معادلتهما على الصورة المتجهة، متوازيين؟ في الواقع، لا يهم أي نقطة يمر عبرها الخطان، لكن إذا كان متجها اتجاهيهما متوازيين، أي إذا كانا يتحركان في الاتجاه نفسه، فلا بد أن يكون الخطان نفساهما متوازيين أيضًا. وعلى الرغم من أننا مثلنا ذلك في بعدين، فإن هذه العبارة تصح بالطبع في حالة المتجهات في ثلاثة أبعاد، بل وفي حالة المتجهات في فضاءات ذات عدد أكبر من الأبعاد. نقول إذن إن أي خطين يكونان متوازيين إذا كان متجها اتجاهيهما متوازيين. حسنًا، سنبدأ بتوضيح كيفية إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم عندما نعلم أنه مواز لخط معطى.

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ اثنين، خمسة، خمسة، ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب ستة، وﺟ خمسة، صفر، سالب تسعة.

مطلوب منا إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. لذا، دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بما تبدو عليه هذه الصورة. إذا كان لدينا خط مستقيم يمر بالنقطة: ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر، ويوازي المتجه: ﺃ، ﺏ، ﺟ، فإن معادلته هي: ﺭ يساوي المتجه ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻙ في المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ. ويسمى المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ هذا بمتجه الاتجاه للخط المستقيم. تتضح أمامنا تمامًا النقطة التي يمر بها الخط المستقيم. وهي النقطة ﺃ: اثنان، خمسة، خمسة. لذلك، وفقًا لتعريف الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، يمكننا تعريف ﺱ صفر بأنه يساوي اثنين، وﺹ صفر بأنه يساوي خمسة، وﻉ صفر بأنه يساوي خمسة.

لكن كيف يمكننا إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم؟ نعرف أنه مواز للخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ وﺟ. لذا، دعونا نوجد المتجه ﺏﺟ. وبالطبع، المتجه ﺏﺟ يعطى من خلال المتجه ﻭﺟ ناقص المتجه ﻭﺏ. بما أن الإحداثيات نفسها توضح لنا موضع كل نقطة بالنسبة إلى نقطة الأصل، فإن المتجه ﻭﺟ هو ببساطة المتجه: خمسة، صفر، سالب تسعة، والمتجه ﻭﺏ هو: سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب ستة. وبذلك، نوجد الفرق بين هذين المتجهين بطرح مركباتهما المنفردة على حدة. هذا يعني أنه لإيجاد المركبة الأولى، نطرح سالب ثلاثة من خمسة، لنحصل على ثمانية.

وبالمثل، المركبة الثانية هي صفر ناقص سالب اثنين؛ أي اثنين. والمركبة الثالثة هي سالب تسعة ناقص سالب ستة؛ وهو ما يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن المتجه ﺏﺟ هو المتجه: ثمانية، اثنان، سالب ثلاثة. الآن، إذا كان المتجهان متوازيين، نعرف أن أحدهما مضاعف قياسي للآخر. ومن ثم، نستنتج أن متجه الاتجاه للخط المستقيم لدينا يجب أن يكون مضاعفًا قياسيًّا للمتجه: ثمانية، اثنين، سالب ثلاثة. وبالطبع، من الممكن أن يساوي هذا المضاعف القياسي واحدًا. وعليه، سنعرف متجه الاتجاه للخط المستقيم، ولنطلق عليه ﻫ، بأنه يساوي ثمانية، اثنين، سالب ثلاثة.

وهكذا، كل ما يتبقى علينا فعله بالطبع هو التعويض بالقيم التي نعرفها عن الخط في الصيغة العامة للصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. وبذلك، فإن المعادلة المتجهة هي: ﺭ يساوي اثنين، خمسة، خمسة زائد ﻙ في ثمانية، اثنين، سالب ثلاثة.

في المثال الأول، أوضحنا كيفية التعامل مع المستقيمات المتوازية. لكن إذا كان هناك مستقيمان في بعدين غير متوازيين وغير منطبقين أيضًا — أي إن أحدهما لا يقع فوق الآخر — فهذا يعني أنهما يتقاطعان حتمًا عند نقطة ما. ومع ذلك، لا ينطبق هذا في حالة وجود المستقيمين في ثلاثة أبعاد. ففي هذه الحالة، يمكن للمستقيمين أن يكونا متخالفين أيضًا. هذا يعني أنهما لا يتقاطعان ولا يوازي أحدهما الآخر. والآن، إذا عرفنا أن مستقيمين يتقاطعان، فلا بد أن نتمكن من إيجاد نقطة تقاطع هذين المستقيمين المعطيين لنا في ثلاثة أبعاد. لنر كيف يكون ذلك.

أوجد الصورة الإحداثية لمعادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين المستقيمين ﻝ واحد: ﺭ يساوي واحدًا، واحدًا، سالب اثنين زائد ﻙ واحد، أربعة، ثلاثة، وﻝ اثنين: ﺱ يساوي ثلاثة، ﺹ ناقص خمسة على سالب أربعة يساوي ﻉ ناقص ثلاثة على سالب واحد.

افترض أنه يوجد خط مستقيم يمر بالنقطة: ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر، وأنه يوازي المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ. في هذه الحالة، تكون معادلته على الصورة الإحداثية هي: ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﺟ. إذن يتضح لنا الآن أنه لإيجاد معادلة الخط المستقيم، علينا إيجاد النقطة التي يمر عبرها والمتجه الموازي له. في الواقع، نحن نعرف أنه يمر بنقطة الأصل، التي لها الإحداثيات: صفر، صفر، صفر. إذن، يمكننا تعريف ﺱ صفر بأنه يساوي صفرًا، وﺹ صفر بأنه يساوي صفرًا، وﻉ صفر بأنه يساوي صفرًا.

الآن، بما أننا نعلم أن المتجه يمر بنقطة الأصل ونقطة تقاطع ﻝ واحد وﻝ اثنين، فما علينا فعله بعد ذلك هو إيجاد نقطة التقاطع هذه. بمجرد الحصول عليها، يمكننا استخدام المعلومات المتعلقة بهذه النقطة ونقطة الأصل لإيجاد متجه اتجاه الخط.

لنبدأ بكتابة كل معادلة على الصورة البارامترية؛ إذ يسهل التعامل معها بوجه عام. لكي نتمكن من ذلك، نوزع ﻙ على المتجه الثاني ثم نجمع المركبات كلًّا على حدة. إذن ﺱ يساوي واحدًا زائد واحد في ﻙ. أي إنه يساوي واحدًا زائد ﻙ. ‏ﺹ يساوي واحدًا زائد أربعة ﻙ. وﻉ يعطى بسالب اثنين زائد ثلاثة ﻙ. فيما يتعلق بالخط الثاني، نعرف بالفعل أن ﺱ يساوي ثلاثة، لكننا سنحتاج إلى العمل على النصف الثاني من هذه المعادلة. سنفترض أن كل جزء يساوي ﻙ بما أنهما متكافئان. بعد ذلك، نعيد ترتيب كل جزء ليصبح كل من ﺹ وﻉ متغيرًا تابعًا، على الترتيب.

بالضرب في سالب أربعة، ثم إضافة خمسة إلى طرفي المعادلة الأولى، نجد أن ﺹ يساوي خمسة ناقص أربعة ﻙ. وبالمثل، نجد أن ﻉ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ. بهذه الطريقة تصبح المعادلتان لدينا ممثلتين على الصورة البارامترية. نعرف أن الخطين المستقيمين لدينا يتقاطعان عند نقطة ما ﺱ، ﺹ، ﻉ. إذن، لا بد من أن هذه النقطة معطاة بدلالة بارامتر ما، ﻙ، ولنفترض أنه ﻙ واحد للخط الأول، وبارامتر ما آخر؛ لنفترض أنه ﻙ اثنان للخط الثاني. بعد ذلك، سنعوض بكل قيمة في الصورة البارامترية لمعادلتي الخط المستقيم، ثم نساوي إحداهما بالأخرى.

فيما يتعلق بالإحداثي ﺱ، سيكون لدينا واحد زائد ﻙ واحد يساوي ثلاثة، وهو ما يمكننا حله لنجد أن ﻙ واحد يساوي اثنين. أما فيما يتعلق بالإحداثي ﺹ، فإن واحدًا زائد أربعة ﻙ واحد يساوي خمسة ناقص أربعة ﻙ اثنين. نعوض بعد ذلك بـ ﻙ واحد يساوي اثنين في هذه المعادلة. ونحصل على: واحد زائد ثمانية يساوي خمسة ناقص أربعة ﻙ اثنين. يبسط ذلك إلى: أربعة ﻙ اثنين يساوي سالب أربعة. إذن، نستنتج أن ﻙ اثنين يجب أن يساوي سالب واحد. ولا بد من أن يتضح لنا الآن أننا لسنا بحاجة إلى إجراء أي حسابات أخرى هنا، لكن يمكننا التعويض بذلك في المعادلة المكافئة لـ ﻉ للتحقق من صحة الحل.

إذا عوضنا بـ ﻙ واحد يساوي اثنين، وﻙ اثنين يساوي سالب واحد؛ نحصل على: أربعة يساوي أربعة، وهو ما يثبت لنا أننا قد أجرينا الحسابات بطريقة صحيحة. وعليه، نختار أحد هذين البارامترين، ونعوض به في المعادلة ذات الصلة لإيجاد نقطة التقاطع. لنستخدم ﻙ واحد يساوي اثنين، ونعوض به في صيغ معادلة ﻝ واحد. نحصل على: واحد زائد اثنين للإحداثي ﺱ، وواحد زائد أربعة في اثنين للإحداثي ﺹ، وسالب اثنين زائد ثلاثة في اثنين للإحداثي ﻉ. ومن ثم، نستنتج أن نقطة التقاطع هي: ثلاثة، تسعة، أربعة.

الآن، إذا افترضنا أن نقطة التقاطع هذه تساوي النقطة ﺩ، نجد أن متجه الاتجاه، للخط المستقيم لدينا، هو المتجه الذي يصل ﻭ وﺩ؛ أي نقطة الأصل بالنقطة ﺩ. وهذا ببساطة يساوي ثلاثة، تسعة، أربعة. ومن ثم، إذا رجعنا للبداية وتذكرنا تلك الصيغة التي لدينا للصورة الإحداثية لمعادلة الخط المستقيم، يمكننا تعريف ﺃ بأنه يساوي ثلاثة، وﺏ بأنه يساوي تسعة، وﺟ بأنه يساوي أربعة. دعونا نعوض بكل هذه القيم في معادلة الخط المستقيم. وبذلك، نجد أن المعادلة هي: ﺱ على ثلاثة يساوي ﺹ على تسعة يساوي ﻉ على أربعة.

حتى الآن، تناولنا الحالات التي يكون فيها الخطان المستقيمان متوازيين، أو غير متوازيين، أو منطبقين، أو متخالفين. ومع ذلك، إذا تقاطع مستقيمان، فهناك احتمال نهائي آخر. هذا الاحتمال هو أن يكونا متعامدين أو كل منهما عموديًّا على الآخر. بعبارة أخرى، يلتقيان عند زاوية قياسها ٩٠ درجة. دعونا نعرف ذلك بأسلوب منهجي ونقل إن الخطين المستقيمين يكونان متعامدين إذا تقاطعا عند نقطة ما، وكان متجها اتجاهيهما متعامدين. من المهم هنا أيضًا أن نذكر أنفسنا بأن المتجهين ﺃ وﺏ لا يكونان متعامدين إلا إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. أي إنه في هذه الحالة هنا، ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي صفرًا. في المثال التالي، سنوضح أحد تطبيقات هذه التعريفات.

افترض الخطين المستقيمين ﺱ يساوي أربعة زائد اثنين ﻙ‏‏، ﺹ يساوي ستة زائد ﻙ‏‏، ﻉ يساوي اثنين ناقص اثنين ﻙ، و‏‏ﺭ يساوي ستة، سبعة، صفر زائد ﻙ في خمسة، أربعة، سبعة. حدد إذا ما كانا متوازيين أم متعامدين.

يمكننا الآن تحديد ما إذا كان الخطان المستقيمان متوازيين أم متعامدين بالنظر إلى متجهي اتجاهيهما. ولذلك، ما سنفعله هو إعادة صياغة معادلة الخط الأول لتصبح على الصورة المتجهة لكي نتمكن من الحصول على متجه اتجاهه. وبالطبع، هذه الصورة هي: ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻙ في ﺃ، ﺏ، ﺟ؛ حيث ﺃ، ﺏ، ﺟ هو متجه الاتجاه، وﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي النقطة التي يمر بها الخط المستقيم. لفعل ذلك، نبدأ بكتابة كل تعبير باعتباره إحدى مركبات المتجه. ثم نفصل المركبات كما هو موضح. بهذه الطريقة، نحصل على: أربعة، ستة، اثنين زائد اثنين ﻙ‏‏، ﻙ، سالب اثنين ﻙ. وبعد ذلك نأخذ العامل الثابت ﻙ عاملًا مشتركًا. هكذا، تكون الصورة المتجهة للخط الأول هي: أربعة، ستة، اثنان زائد ﻙ في اثنين، واحد، سالب اثنين.

لنكتب إذن متجه الاتجاه لكل خط. لنطلق على الخط الأول ﻝ واحد. متجه اتجاهه هو: اثنان، واحد، سالب اثنين. ومتجه اتجاه الخط الثاني، وسنسميه ﻝ اثنين، هو: خمسة، أربعة، سبعة. يمكننا التذكر أيضًا أنه إذا كان المتجهان متوازيين، وبالتحديد متجها الاتجاه، فإن أحدهما يكون مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذن، لكي يكون الخطان المستقيمان متوازيين، يمكننا القول إن متجه الاتجاه: اثنين، واحدًا، سالب اثنين يمكن كتابته على صورة مضاعف قياسي ما ﻡ للمتجه: خمسة، أربعة، سبعة.

والآن، إذا نظرنا إلى قيمة المركبة الثانية لكليهما واحد وأربعة، قد نستنتج أنه لكي يكون ذلك صحيحًا، يجب أن يساوي ﻡ ربعًا؛ لأن ربع الأربعة يساوي واحدًا. لكن ربع الخمسة لا يساوي اثنين، وربع السبعة لا يساوي سالب اثنين. إذن هذا غير صحيح. لا يمكن كتابة هذين المتجهين باعتبار كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر، ومن ثم لا يمكن أن يكون المستقيمان متوازيين. إذن يمكننا استنتاج أنهما متعامدان. لكننا سنتحقق من ذلك. لكي يكون المتجهان متعامدين، لا بد بالطبع أن يساوي حاصل ضربهما القياسي صفرًا. كذلك، يجب أن يتقاطعا عند نقطة ما، لكننا سنتناول ذلك بعد قليل.

دعونا الآن نتأكد فقط من أن حاصل ضربهما القياسي يساوي بالفعل صفرًا. حسنًا، حاصل الضرب القياسي للمتجهين يساوي اثنين في خمسة زائد واحد في أربعة زائد سالب اثنين في سبعة، وهو ما يساوي بالفعل صفرًا. إذن هذا الشرط صحيح حتى الآن. لكن علينا بالطبع التأكد من أنهما يتقاطعان عند نقطة ما. الآن، إذا تقاطع مستقيمان عند نقطة ما، فلا بد أن تكون لدينا قيمتان ما للبارامترين؛ ﻙ واحد في المعادلة الأولى، وﻙ اثنان في المعادلة الثانية بحيث تكون قيم الإحداثيات ﺱ، ﺹ، ﻉ، على الترتيب، متساوية.

للإحداثي ﺱ، دعونا نفترض أن أربعة زائد اثنين ﻙ واحد يساوي ستة زائد خمسة ﻙ اثنين. وللإحداثي ﺹ، سيكون لدينا ستة زائد ﻙ واحد يساوي سبعة زائد أربعة ﻙ اثنين. بعد ذلك نحصل على معادلة مناظرة للإحداثي ﻉ. بحل أي معادلتين من هذه المعادلات آنيًّا، نحصل على: ﻙ واحد يساوي واحدًا، وﻙ اثنين يساوي صفرًا. وبالطبع، يمكننا التحقق من ذلك عن طريق التعويض في المعادلة الثالثة، التي لم نستخدمها بعد. بالتعويض بـ ﻙ واحد يساوي واحدًا في معادلة الخط الأول، نجد أن نقطة التقاطع هذه هي: أربعة زائد اثنين، ستة زائد واحد، اثنان ناقص اثنين؛ وهو ما يساوي ستة، سبعة، صفرًا.

دعونا نتحقق من ذلك مرة أخرى. نجد أننا، بالتعويض في ﻝ اثنين، نحصل على القيم نفسها. كما هو متوقع، نحصل بالفعل على القيم: ستة، سبعة، صفر. وبالطبع، إذا عوضنا بـ ﻙ واحد يساوي واحدًا، وﻙ اثنين يساوي صفرًا في المعادلة الثالثة التي لم نستخدمها؛ فستكون هذه هي النتيجة المتوقعة. إذن، بما أن متجهي اتجاه الخطين المستقيمين متعامدان ويتقاطعان عند نقطة ما، يمكننا القول إن الخطين المستقيمين نفسيهما لا بد أن يكونا أيضًا متعامدين.

لنلخص الآن بعض المفاهيم الرئيسية في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان متجها اتجاهيهما متوازيين. عرفنا أيضًا أنهما يكونان متعامدين إذا تقاطعا عند نقطة ما وكان متجها اتجاهيهما متعامدين. إذا تقاطع مستقيمان متوازيان عند نقطة ما، فلا بد أن يتداخلا تمامًا. وفي هذه الحالة، نقول إنهما متطابقان. علمنا أيضًا أنه في ثلاثة أبعاد، يكون لدينا خطان مستقيمان متخالفان. وهما خطان غير متوازيين، لكنهما أيضًا لا يتقاطعان عند أي نقطة.