نسخة الفيديو النصية
قيست كتل خمسة أجسام مع أحجامها، ورسمت النتائج على التمثيل البياني الموضح. أي الأجسام أكبر كثافة؟
في هذا التمثيل البياني، نلاحظ أن كتل هذه الأجسام الخمسة ممثلة على المحور الرأسي. وأحجامها ممثلة على المحور الأفقي. سميت الأجسام الخمسة 𝐴، و𝐵، و𝐶، و𝐷، و𝐸. وتوضح النقطة البيانية موضع نقاط كتلة وحجم الأجسام. على سبيل المثال، بالنسبة إلى الجسم 𝐴، الحجم الذي يشغله أصغر قليلًا من 1000 وحدة حجم. ويبدو أن كتلته تساوي 1.1 وحدة كتلة. وتنطبق الفكرة نفسها على الأجسام الأربعة الأخرى. لكل منها كتلة وحجم نسبي أيضًا.
بناء على النقاط البيانية هذه، علينا أن نعرف الجسم الأعلى كثافة من بين هذه الأجسام. لعلنا نتذكر أن الكثافة، 𝜌، لجسم ما تساوي كتلته، 𝑚، مقسومة على الحجم الذي يشغله، 𝑣. هذا يعني أنه لحساب كثافة الجسم، علينا معرفة كتلة الجسم وحجمه. ولكي نبدأ خطواتنا لمعرفة الجسم الأعلى كثافة من بين هذه الأجسام الخمسة، لنتناول كلًّا منها بدلالة الكتلة والحجم، كلًّا على حدة.
بالنظر إلى هذه الأجسام من منظور كتلة كل منها، يمكننا عمل قائمة مرتبة توضح الجسم الأكبر كتلة بالنسبة إلى الأجسام الأخرى. الطريقة التي يمكننا من خلالها فعل ذلك هي البدء من أعلى المحور الرأسي، ثم التحرك للأسفل، وتسجيل كل مرة نصل فيها إلى قيمة كتلة أحد الأجسام.
عندما نبدأ من أعلى التمثيل البياني ثم نتحرك لأسفل، فإن أول كتلة نجدها أمامنا هي الكتلة 𝐵. إذن هذه هي الكتلة الأولى التي سنسجلها. وسنسميها 𝑚𝐵. بعد ذلك، بينما نتحرك قليلًا للأسفل على المحور، نجد كتلة الجسم 𝐴. وبما أن الكتلة 𝐵 أكبر من الكتلة 𝐴، سنكتب أن 𝑚𝐵 أكبر من 𝑚𝐴. بعد ذلك، نواصل التحرك للأسفل على المحور حتى نصل إلى قيمة الكتلة للجسم 𝐶. ومن ثم، يمكننا كتابة أن 𝑚𝐴 أكبر من 𝑚𝐶. بالمتابعة للأسفل، نصل إلى الجسم 𝐷. وهكذا، فإن قيمة الكتلة 𝑚𝐶 للجسم 𝐶 أكبر من كتلة الجسم 𝐷. وأخيرًا: نصل إلى قيمة كتلة الجسم 𝐸. وهذه هي أصغر قيمة بين قيم الكتل الخمسة. وبذلك نكتب في القائمة لدينا أن 𝑚𝐷 أكبر من 𝑚𝐸.
عندما ننظر إلى هذه القائمة المرتبة لكتل الأجسام الخمسة، وبما أن الكثافة تتناسب طرديًّا مع الكتلة؛ أي إنه كلما زادت الكتلة، زادت الكثافة، فإننا نبدأ بملاحظة أن الجسمين في الطرف الأيسر من القائمة؛ أي 𝑚𝐵 و𝑚𝐴، يشيران على الأرجح إلى أعلى كثافة بالنسبة إلى هذه الأجسام المختلفة. لكننا لن نتأكد من ذلك حتى ندرج أحجام هذه الأجسام أيضًا. لذلك نكرر الأمر نفسه مع المحور الأفقي لأحجام هذه الأجسام الخمسة.
نبدأ بأكبر قيمة حجم وهي 2500، ثم نتحرك حتى نصل إلى حجم الجسم 𝐶. سنسمي هذا الحجم 𝑣𝐶. ونعلم أنه أكبر أحجام الأجسام الخمسة. بعد ذلك بمسافة قليلة، نصل إلى حجم الجسم 𝐷. إذن يمكننا القول إن𝑣𝐶 أكبر من 𝑣𝐷. بالاستمرار، نصل إلى حجم الجسم 𝐵. ومن ثم، فإن𝑣𝐷 أكبر من 𝑣𝐵؛ أي حجم الجسم 𝐵. وبالتحرك على طول المحور نحو نقطة الأصل، نصل إلى حجم الجسم 𝐸. وعليه نكتب ذلك في القائمة المرتبة، 𝑣𝐸. وأخيرًا: نصل إلى حجم الجسم 𝐴. إنه الأصغر حجمًا من بين أحجام الأجسام الخمسة. ومن ثم، فهو يأتي في نهاية القائمة، 𝑣𝐴.
والآن عندما نتعامل مع الحجم، نلاحظ أنه في معادلة الكثافة، الحجم موجود في المقام، وهو ما يعني أنه كلما كان الحجم أصغر، زادت الكثافة. إذن هذا يعني أن أصغر الأحجام لدينا؛ أي الأحجام في الطرف الأيمن من القائمة، تتوافق على الأرجح مع الأجسام التي لها أعلى كثافة.
تناولنا الكتلة والحجم لكل من هذه الأجسام الخمسة. وحان الوقت الآن لمعرفة الجسم الذي له أكبر كثافة. لمعرفة ذلك، سنلقي نظرة على الطرف الأيسر من القائمة المرتبة للكتل؛ لأنه كلما زادت الكتلة، زادت الكثافة، ونظرة على الطرف الأيمن من القائمة المرتبة للأحجام؛ لأنه كلما قل الحجم، زادت الكثافة، ونرى إذا ما كان هناك تداخل ما. ما نعنيه بالتداخل هو ظهور كتلة جسم معطى في الجانب الأيسر من القائمة المرتبة للكتل وظهور حجم هذا الجسم نفسه في الجانب الأيمن من القائمة المرتبة للأحجام.
وبالنظر جيدًا، نجد أن 𝑚𝐴؛ أي كتلة الجسم 𝐴، هي إحدى الكتل التي تقع على أقصى الجانب الأيسر، وعليه فإنها واحدة من أكبر الكتل، وأن 𝑣𝐴؛ أي حجم الجسم 𝐴، هو حرفيًّا أصغر حجم. هذا يعني أننا إذا حسبنا كثافة الجسم 𝐴، فسنستخدم ثاني أكبر كتلة من بين الكتل كلها. وسنستخدم أصغر حجم من بين الأحجام كلها. هذا التركيب؛ أي 𝑚𝐴 مقسومًا على 𝑣𝐴، يساوي الكثافة الكبرى بين هذه الأجسام الخمسة. وهذه هي الإجابة. نقول إن الجسم 𝐴، بناء على كتلته وحجمه بالنسبة إلى الأجسام الأربعة الأخرى، له أعلى كثافة.
