نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية استخدام الكسور الجزئية لإيجاد تكاملات دوال نسبية لها عوامل خطية. لعلك تعاملت كثيرًا مع الكسور الجبرية وضربها وقسمتها وجمعها وطرحها وتبسيطها. ونأمل أن تكون الآن واثقًا من قدرتك على القيام بالعملية اللازمة لإجراء تكامل دوال المقلوب البسيطة، والتكامل بالتعويض، والتكامل بالتجزيء.
سنرى الآن كيفية توسيع نطاق هذه الأفكار وكيف أن تعلم طريقة تجزيء كسر واحد إلى كسور لها مقامات خطية من شأنه أن يجعل عملية تكامل نسبة بين كثيرتي حدود أكثر سهولة. يمكن تجزيء كسر واحد بعاملين خطيين مختلفين في المقام إلى كسرين منفصلين بمقامين خطيين. يعرف هذا بتجزيء الكسر أو تفكيكه إلى كسور جزئية. في هذا النطاق، تستخدم الكسور الجزئية بشكل رئيسي في مفكوك ذات الحدين والتكامل.
ولتوضيح الطريقة، دعونا نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد مجموع كسرين بمقامين خطيين. نضرب بسط كل كسر ومقامه في مقام الكسر الآخر، وبالتالي يصبح لدينا كسران متكافئان لهما مقام مشترك. لدينا هنا ثلاثة في ﺱ زائد خمسة زائد اثنين في ﺱ زائد واحد على ﺱ زائد واحد في ﺱ زائد خمسة. بفك الأقواس، نجد أنه يتبقى لدينا خمسة ﺱ زائد ١٧ على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة.
يمكننا الآن ملاحظة أنه إذا طلب منا إيجاد تكامل خمسة ﺱ زائد ١٧ على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة بالنسبة إلى ﺱ، فقد نواجه صعوبة في ذلك. لكننا نعلم الآن أنه يمكننا كتابة ذلك بصورة ثلاثة على ﺱ زائد واحد زائد اثنين على ﺱ زائد خمسة. ثم نتذكر العمليات المتعلقة بتكامل دوال المقلوب البسيطة. تكامل واحد على ﺱ زائد ﺃ حيث ﺃ ثابت حقيقي، يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ.
بالتالي نجد أن تكامل خمسة ﺱ زائد ١٧ على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة يساوي ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد زائد اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد خمسة زائد ﺙ. حسنًا، كل هذا جيد. ولكن كيف نحدد الكسور الجزئية؟
تخيل أننا نريد حساب هذا التكامل غير المحدد. بالعمل ببساطة بطريقة عكسية للمثال السابق، نجد أنه يمكننا تجزيء ذلك إلى كسرين جزئيين مقاماهما ﺱ زائد ستة وﺱ ناقص واحد. سنسمي بسطيهما ﺃ وﺏ. هناك طريقتان لإيجاد قيمة الثابتين ﺃ وﺏ. وهما: التعويض، ومساواة المعاملات. علينا أيضًا أن نعرف ما يجب القيام به في حالة وجود كسر غير فعلي أو كسر بسطه أكبر من مقامه. لكن دعونا نبدأ بمثال بسيط.
استخدم الكسور الجزئية لحساب التكامل غير المحدد لـ ﺱ زائد أربعة على ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ.
تذكر أنه علينا إعادة كتابة ما بداخل التكامل باستخدام الكسور الجزئية. إذن نبدأ بعكس العملية التي نجريها عند جمع الكسور الجبرية. نكتب ذلك بالصورة ﺃ على ﺱ زائد ستة زائد ﺏ على ﺱ ناقص واحد. هناك طريقتان لإيجاد قيمة الثابتين ﺃ وﺏ. وهما: التعويض، ومساواة المعاملات.
لننظر أولًا إلى طريقة التعويض. لنتخيل أننا نجمع هذين الكسرين. نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ﺱ ناقص واحد، ثم نضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ﺱ زائد ستة. نلاحظ أن ﺱ زائد أربعة على ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص واحد يساوي ﺃ في ﺱ ناقص واحد زائد ﺏ في ﺱ زائد ستة الكل على ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص واحد.
لاحظ أن مقامي الكسرين اللذين في طرفي المعادلة متساويان. هذا يعني أنه لكي يتساوى الكسران نفسهما، لا بد أن يتساوى بسطاهما. ويمكننا القول إن ﺱ زائد أربعة يساوي ﺃ في ﺱ ناقص واحد زائد ﺏ في ﺱ زائد ستة. حسنًا، كل شيء جيد حتى الآن.
نريد الآن إيجاد طريقة لحذف أحد الثابتين من هذه المعادلة. نلاحظ أننا إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا، فسيصبح لدينا ﺃ في واحد ناقص واحد، وهو ما يساوي ﺃ في صفر، أي يساوي صفرًا. فلنعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا. عند فعل ذلك، نجد أن واحدًا زائد أربعة يساوي ﺃ في صفر زائد ﺏ في واحد زائد ستة، وبتبسيط ذلك، نحصل على خمسة يساوي سبعة ﺏ. وتصبح لدينا معادلة في ﺏ.
ويمكننا إيجاد الحل بقسمة الطرفين على سبعة. لنجد أن ﺏ يساوي خمسة أسباع. رائع، لنكرر هذه العملية لمساعدتنا في تحديد قيمة ﺃ. يمكنك إيقاف الفيديو مؤقتًا للحظة والتفكير في تعويض يحذف ﺏ من هذه المعادلة.
إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب ستة، فسيصبح الحد الثاني ﺏ في صفر. وبالتالي سيحذف الثابت ﺏ. وإذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب ستة، فستصبح المعادلة سالب ستة زائد أربعة يساوي ﺃ في سالب ستة ناقص واحد زائد ﺏ في صفر، وهو ما يبسط إلى سالب اثنين يساوي سالب سبعة ﺃ. لدينا الآن معادلة في ﺃ. وبقسمة الطرفين على سالب سبعة، نحصل على ﺃ يساوي سبعين. بذلك نكون نجحنا في تفكيك الكسر إلى كسرين جزئيين.
يمكننا القول إن ﺱ زائد أربعة على ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص واحد يساوي اثنين على سبعة في ﺱ زائد ستة زائد خمسة على سبعة في ﺱ ناقص واحد. يمكننا الآن أن نكامل هذا المقدار بالنسبة إلى ﺱ. تذكر أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكاملي هاتين الدالتين. ويمكننا بالطبع إخراج أي عامل ثابت خارج التكامل. ونجد أن التكامل يساوي سبعين في تكامل واحد على ﺱ زائد ستة ﺩﺱ زائد خمسة أسباع في تكامل واحد على ﺱ ناقص واحد ﺩﺱ.
تكامل واحد على ﺱ زائد ستة يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ستة. وتكامل واحد على ﺱ ناقص واحد يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص واحد. وبما أن هذا تكامل غير محدد، علينا إضافة الثابت ﺙ. بذلك نكون انتهينا. التكامل غير المحدد لـ ﺱ زائد أربعة على ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ستة زائد خمسة أسباع اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص واحد زائد الثابت ﺙ.
سنرى الآن كيفية الحصول على ذلك باستخدام طريقة مساواة المعاملات. نقطة البداية هي نفسها. علينا الوصول إلى هذه المرحلة الموضحة هنا. نريد فك الأقواس بالتوزيع في الطرف الأيسر. عند فعل ذلك، نجد أن ﺱ زائد أربعة يساوي ﺃﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏﺱ زائد ستة ﺏ.
هذه الخطوة التالية غير مهمة على الإطلاق. ولكنها قد تساعدنا في تحديد ما سنفعله لاحقًا. نجمع الحدود المتشابهة. نجد أن ﺱ زائد أربعة يساوي ﺃ زائد ﺏ في ﺱ زائد سالب ﺃ زائد ستة ﺏ أو ستة ﺏ ناقص ﺃ. لدينا الآن نوعان من الحدود. لدينا حد يتضمن ﺱ أس واحد ولدينا هذان الثابتان. ويمكننا القول إنهما مضروبان في ﺱ أس صفر.
نريد مساواة معاملات هذه الحدود في الطرفين. لنبدأ بمساواة معاملي ﺱ أس صفر أو الثابتين. في الطرف الأيمن، لدينا أربعة. وفي الطرف الأيسر، لدينا ستة ﺏ ناقص ﺃ. بعد ذلك، نساوي معاملي ﺱ أس واحد. معامل ﺱ في الطرف الأيمن هو واحد. وفي الطرف الأيسر، لدينا ﺃ زائد ﺏ. إذن لدينا معادلتان آنيتان يمكننا البدء بحلهما من خلال الجمع أولًا.
سالب ﺃ زائد ﺃ يساوي صفرًا. إذن نرى أنه عند جمع هاتين المعادلتين الآنيتين، نحصل على خمسة يساوي سبعة ﺏ. بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ، نجد أن ﺏ يساوي خمسة أسباع. نعوض بقيمة ﺏ هذه في أي من المعادلتين الأصليتين. سأختار هذه المعادلة. واحد يساوي ﺃ زائد خمسة أسباع. بطرح خمسة أسباع من الطرفين، نحصل على ﺃ يساوي سبعين. ونكمل الحل بالطريقة نفسها.
لدينا كسران جزئيان ويمكننا أن نكامل كلًّا منهما. ونجد أن ناتج التكامل غير المحدد يساوي سبعي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد ستة زائد خمسة أسباع اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص واحد زائد ﺙ.
كلتا الطريقتان صحيحتان على حد سواء. قد تحتاج في بعض الأحيان إلى الجمع بين الطريقتين معًا، ولا بأس بذلك أيضًا. سنلقي الآن نظرة على مثال يتضمن ثلاثة حدود خطية.
استخدم الكسور الجزئية لحساب التكامل غير المحدد لواحد على ﺕ تكعيب زائد ﺕ تربيع ناقص اثنين ﺕ بالنسبة إلى ﺕ.
عند إعادة كتابة ما بداخل التكامل باستخدام الكسور الجزئية، فإننا نريد عكس العملية التي نجريها عند جمع الكسور الجبرية. قبل أن نفعل ذلك، علينا تحديد مقامات هذه الكسور. إذن، دعونا نر ما إذا كنا نستطيع تحليل المقام.
من الواضح أن المقام مقدار تكعيبي، ولكن يوجد عامل مشترك وهو ﺕ. لذا نأخذ ﺕ عاملًا مشتركًا في المقام، لنحصل على ﺕ في ﺕ تربيع زائد ﺕ ناقص اثنين. ثم يمكننا تحليل هذا المقدار التربيعي بالطريقة المعتادة. ﺕ تربيع زائد ﺕ ناقص اثنين يساوي ﺕ ناقص واحد في ﺕ زائد اثنين. يمكننا الآن تجزيء ذلك إلى كسور جزئية. وهي ﺃ على ﺕ زائد ثابت آخر ﺏ على ﺕ ناقص واحد زائد ﺟ على ﺕ زائد اثنين.
بعد ذلك، نجمع هذه الكسور الثلاثة. علينا ضرب بسط كل كسر ومقامه في مقامي الكسرين الآخرين. يصبح البسط ﺃ في ﺕ ناقص واحد في ﺕ زائد اثنين زائد ﺏ في ﺕ في ﺕ زائد اثنين زائد ﺟ في ﺕ في ﺕ ناقص واحد. والآن نلاحظ أن مقامي الكسرين في طرفي المعادلة متساويان. ولكي يتساوى الكسران نفسهما، فهذا يعني في المقابل أن بسطيهما لا بد أن يكونا متساويين. إذن يمكننا القول إن واحدًا يساوي ﺃ في ﺕ ناقص واحد في ﺕ زائد اثنين زائد ﺏﺕ في ﺕ زائد اثنين زائد ﺟﺕ في ﺕ ناقص واحد. سنستخدم طريقة التعويض لتساعدنا في إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ.
لاحظ أننا إذا عوضنا بـ ﺕ يساوي صفرًا، فيمكننا حذف ﺏ وﺟ على الفور. إذن نعوض عن ﺕ بصفر في المعادلة. نجد أن واحدًا يساوي ﺃ في صفر ناقص واحد في صفر زائد اثنين، ما يبسط إلى واحد يساوي سالب اثنين ﺃ. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على سالب اثنين، نحصل على ﺃ يساوي سالب نصف.
بعد ذلك، نلاحظ أننا إذا عوضنا بـ ﺕ يساوي واحدًا، فسنحذف ﺃ وﺟ. التعويض عن ﺕ بواحد يعطينا واحدًا يساوي ثلاثة ﺏ. وعند القسمة على ثلاثة، نجد أن ﺏ يساوي ثلثًا. وأخيرًا، نعوض بـ ﺕ يساوي سالب اثنين. يؤدي هذا إلى حذف ﺃ وﺏ هذه المرة. وهذا يعطينا واحدًا يساوي ستة ﺟ. وبالقسمة على ستة، نجد أن ﺟ يساوي سدسًا.
دعونا نفرغ مساحة للخطوة التالية. يمكننا القول إن واحدًا على ﺕ في ﺕ ناقص واحد في ﺕ زائد اثنين يساوي سالب واحد على اثنين ﺕ زائد واحد على ثلاثة في ﺕ ناقص واحد زائد واحد على ستة في ﺕ زائد اثنين. نحن الآن على استعداد لإجراء التكامل بالنسبة إلى ﺕ. تكامل واحد على ﺕ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ. إذن تكامل الحد الأول يساوي سالب نصف اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ. تكامل واحد على ثلاثة في ﺕ ناقص واحد يساوي ثلث اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ ناقص واحد. وتكامل واحد على ستة في ﺕ زائد اثنين يساوي سدس اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ زائد اثنين. يجب ألا ننسى أنه بما أننا نتعامل مع تكامل غير محدد، نضيف ثابت التكامل ﺙ.
هذه الطريقة رائعة. ولكن من المهم عادة أن تعرف أنه لا يمكن استخدامها عند وجود عامل متكرر في المقام. دعونا نر ما سنفعله في هذه الحالة.
استخدم الكسور الجزئية لإيجاد مقدار تحليلي لتكامل ثلاثة ﺕ تربيع ناقص تسعة ﺕ زائد ثمانية على ﺕ في ﺕ ناقص اثنين تربيع بالنسبة إلى ﺕ، وبين الحدين واحد وﺱ.
لاحظ أن لدينا عاملًا متكررًا في مقام الكسر. يمكن تجزيء الكسر الذي له عامل خطي متكرر إلى كسرين منفصلين أو أكثر. ولكن هناك طريقة خاصة للتعامل مع هذا العامل الخطي. نكتب العامل المتكرر بترتيب تصاعدي للقوى. سنعيد كتابة ما بداخل التكامل بالصورة ﺃ على ﺕ زائد ﺏ على ﺕ ناقص اثنين زائد ﺟ على ﺕ ناقص اثنين الكل تربيع.
بعد ذلك، نجمع هذه الكسور، مع تذكر أن المقام سيكون ﺕ في ﺕ ناقص اثنين الكل تربيع. إذن نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ﺕ ناقص اثنين تربيع. بالنسبة للكسر الثاني، نضربه في ﺕ في ﺕ ناقص اثنين. وبالنسبة للكسر الثالث، نضربه في ﺕ فقط. ونجد أن البسط هو ﺃ في ﺕ ناقص اثنين الكل تربيع زائد ﺏﺕ في ﺕ ناقص اثنين زائد ﺟﺕ.
يمكننا ملاحظة أنه نظرًا لتساوي هذين المقدارين، فإن ثلاثة ﺕ تربيع ناقص تسعة ﺕ زائد ثمانية يجب أن يساوي ﺃ في ﺕ ناقص اثنين الكل تربيع زائد ﺏﺕ في ﺕ ناقص اثنين زائد ﺟﺕ. سنستخدم طريقة التعويض لإيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. نبدأ بالتعويض بـ ﺕ يساوي اثنين لكي نحذف ﺃ وﺏ. في الطرف الأيمن، لدينا ثلاثة في اثنين تربيع ناقص تسعة في اثنين زائد ثمانية، ما يساوي اثنين. وفي الطرف الأيسر، لدينا اثنان ﺟ. وبالقسمة على اثنين، نجد أن ﺟ يساوي واحدًا.
بعد ذلك، نعوض بـ ﺕ يساوي صفرًا. وهذه المرة، سيؤدي ذلك إلى حذف ﺏ وﺟ. بالتعويض بـ ﺕ يساوي صفرًا، نحصل على ثمانية يساوي أربعة ﺃ. ثم عندما نقسم على أربعة، نجد أن ﺃ يساوي اثنين. تكمن المشكلة في أننا استنفدنا عمليات التعويض التي يمكن إجراؤها. لذا سنستخدم طريقة مساواة المعاملات لإيجاد قيمة ﺏ. إذن، نفك الأقواس بالتوزيع. سنساوي معاملي ﺕ تربيع.
لدينا ﺃ وﺏ في الطرف الأيسر، وثلاثة في الطرف الأيمن. إذن يمكننا القول إن ثلاثة يجب أن يساوي ﺃ زائد ﺏ. أوجدنا بالفعل أن ﺃ يساوي اثنين. وبالتالي يمكننا التعويض عن ﺃ باثنين ونقول إن ثلاثة يساوي اثنين زائد ﺏ. وبطرح اثنين من الطرفين، نجد أن ﺏ يساوي واحدًا.
دعونا نفرغ بعض المساحة للخطوة التالية. نلاحظ الآن أن ما بداخل التكامل يساوي اثنين على ﺕ زائد واحد على ﺕ ناقص اثنين زائد واحد على ﺕ ناقص اثنين تربيع. سنكامل ذلك بين الحدين واحد وﺱ. تكامل اثنين على ﺕ يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ. وتكامل واحد على ﺕ ناقص اثنين يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺕ ناقص اثنين. ثم يمكننا استخدام قاعدة السلسلة العكسية مع ﺕ ناقص اثنين أس سالب اثنين. ونجد أن تكامل ذلك يساوي سالب واحد على ﺕ ناقص اثنين.
والآن نعوض بهذين الحدين. عند فعل ذلك، نجد أن هذا يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين ناقص واحد على ﺱ ناقص اثنين ناقص واحد. هذا مثال جيد على أن الدمج بين طريقتي التعويض ومساواة المعاملات يمكن أن يساعدنا في الوصول إلى الحل.
في المثال الأخير، سنرى ما يحدث عندما نتعامل مع كسر غير فعلي.
عبر عن ﺱ تكعيب على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد في صورة كسور جزئية.
لاحظ أن درجة البسط أكبر من درجة المقام. ففي البسط، لدينا ﺱ تكعيب. وفي المقام، لدينا ﺱ تربيع لا أكثر. هذا يعني أننا نعلم أن لدينا كسرًا غير فعلي. وسيكون علينا إجراء قسمة مطولة لكثيرة الحدود. قد ترغب في إيقاف الفيديو وقسمة ﺱ تكعيب على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد بنفسك.
عند فعل ذلك، نجد أن ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد يساوي ﺱ ناقص اثنين ويتبقى ثلاثة ﺱ زائد اثنين، ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ذلك كما هو موضح. أصبح لدينا الآن عدد كسري. بتحليل مقام باقي القسمة، نجد أن لدينا جذرًا متكررًا. إذن عند كتابته في صورة كسور جزئية، نكتب: ﺃ على ﺱ زائد واحد زائد ﺏ على ﺱ زائد واحد تربيع.
عند جمع الكسرين، نضرب الكسر الأول في ﺱ زائد واحد. إذن يصبح لدينا ﺃ في ﺱ زائد واحد. ولسنا في حاجة إلى فعل أي شيء للكسر الثاني. نجد أنه في البسطين لدينا ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي ﺃ في ﺱ زائد واحد زائد ﺏ. نبدأ بمساواة معاملي ﺱ أس واحد. في الطرف الأيمن، إنه ثلاثة. وفي الطرف الأيسر، ﺃ. وبالتالي نجد أن ﺃ يساوي ثلاثة.
نساوي بعد ذلك معاملي ﺱ أس صفر، أو الثوابت. نجد أن اثنين يساوي ﺃ زائد ﺏ. ولكننا نعلم أن ﺃ يساوي ثلاثة. إذن اثنان يساوي ثلاثة زائد ﺏ. نطرح بعدئذ ثلاثة من الطرفين، ونجد أن ﺏ يساوي سالب واحد. ها قد عبرنا عن الكسر في صورة كسور جزئية. وهي ﺱ ناقص اثنين زائد ثلاثة على ﺱ زائد واحد ناقص واحد على ﺱ زائد واحد الكل تربيع. وإذا طلب منا أن نكامله، فيمكننا الآن فعل ذلك.
في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكن تجزيء الكسر الواحد الذي له عاملان خطيان مختلفان في المقام، إلى كسرين منفصلين لهما مقامان خطيان. هذا يعرف بالتجزيء إلى كسور جزئية. ورأينا أن هذا يجعل عملية التكامل أسهل كثيرًا. كما رأينا أنه يمكننا استخدام هذه الطريقة في حالة وجود أكثر من عاملين خطيين مختلفين. ولكن الكسر الذي يتضمن عاملًا خطيًّا متكررًا يستلزم قاعدة خاصة، حيث نكتب القوة المتكررة بترتيب تصاعدي للقوى.
وأخيرًا، عرفنا أنه إذا كان الكسر غير فعلي، فإن درجة بسطه تساوي درجة مقامه أو أكبر منها. ويكون علينا تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري باستخدام القسمة المطولة لكثيرة الحدود قبل التعبير عنه في صورة كسور جزئية.
