تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد طول قطعة مستقيمة عن طريق حل معادلة تربيعية الرياضيات

تقع النقطة ﻙ بين النقطتين ﻱ، ﻝ. إذا كان ﻱﻙ = ﺱ^٢ + ٨ﺱ، ﻙﻝ = ٣ﺱ – ٢، ﻱﻝ = ٤٠، فأوجد طول ﻱﻙ.

٠٧:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

تقع النقطة ﻙ بين النقطتين ﻱ وﻝ. إذا كان ﻱﻙ يساوي ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ، وﻙﻝ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين، وﻱﻝ يساوي ٤٠، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻱﻙ.

في هذا السؤال، لدينا ثلاث نقاط، ﻙ وﻱ وﻝ، وتقع جميعها على خط مستقيم. لدينا في المعطيات تعبيرات لأطوال القطع المستقيمة المختلفة من هذا الخط المستقيم بدلالة المتغير المجهول ﺱ. أولًا، لدينا ﻱﻙ يساوي ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ. يمكننا إذن تحديد هذا الطول على الشكل. ثانيًا، ﻙﻝ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. ومن ثم، سنحدد هذا أيضًا. وأخيرًا، علمنا أن ﻱﻝ، وهو طول القطعة المستقيمة بأكملها، يساوي ٤٠. مطلوب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻱﻙ. ولكي نفعل ذلك، علينا معرفة قيمة هذا المتغير المجهول ﺱ. يمكننا تكوين معادلة باستخدام المعلومات المعطاة.

بما أن النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم، فإننا نعلم أن الطول ﻱﻙ زائد الطول ﻙﻝ يساويان الطول الكامل ﻱﻝ. يمكننا بعد ذلك التعويض بالتعبيرات المعطاة. ‏ﻱﻙ يساوي ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ. وﻙﻝ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. وبالنسبة إلى ﻱﻝ، علمنا أن قيمته تساوي ٤٠. إذن أصبحت لدينا المعادلة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ثلاثة ﺱ ناقص اثنين يساوي ٤٠. لتبسيط هذه المعادلة، سنجمع الحدود المتشابهة أولًا في الطرف الأيمن، ما يعطينا ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص اثنين يساوي ٤٠.

يمكننا بعد ذلك طرح ٤٠ من كلا الطرفين؛ بحيث تكون جميع الحدود لدينا في الطرف الأيمن. ويصبح لدينا بذلك ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ٤٢ يساوي صفرًا. هذه معادلة تربيعية في المتغير المجهول لدينا ﺱ. وعلينا حلها. يوجد عدد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها. يمكننا أن نجرب تحليل المعادلة، أو تطبيق القانون العام، أو إكمال المربع.

إذا كان من الممكن حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل، فمن الأفضل استخدامه لكونه الطريقة المثلى عادة. لذا، دعونا نجرب هذه الطريقة أولًا. نحن نبحث عن حاصل ضرب عاملين خطيين؛ حيث حاصل ضربهما يعطينا المعادلة التربيعية ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ٤٢. وبما أن معامل ﺱ تربيع هو واحد، نستنتج أن الحد الأول داخل كل قوسين يجب أن يكون ﺱ؛ لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع.

لإكمال ما بداخل كل زوج من الأقواس، سنبحث عن قيمتين لهما مجموعة محددة من الخواص. أولًا، مجموعهما يجب أن يساوي معامل ﺱ. إذن مجموع هاتين القيمتين يجب أن يساوي موجب ١١. ثانيًا، حاصل ضرب هاتين القيمتين يجب أن يساوي الحد الثابت؛ وهو سالب ٤٢.

ليسهل علينا إيجاد هذين العددين، يمكننا البدء بكتابة أزواج عوامل العدد ٤٢. وهي واحد و٤٢، واثنان و٢١، وثلاثة و١٤، وستة وسبعة. ولكي يساوي حاصل الضرب سالب ٤٢، يجب أن تكون إشارتا العددين مختلفتين. إذن لا بد أن يكون أحد العددين موجبًا والآخر سالبًا. إذا أخذنا الزوج الثالث من العوامل وجعلنا العدد ثلاثة سالبًا، فسيكون لدينا العددان سالب ثلاثة و١٤، اللذان حاصل ضربهما يساوي سالب ٤٢. ولهما أيضًا مجموع يساوي موجب ١١. إذن هذان هما العددان اللذان نبحث عنهما لإكمال الأقواس لدينا.

تحلل هذه المعادلة التربيعية بعد ذلك لتصبح ﺱ زائد ١٤ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. وهذا يساوي صفرًا. يمكننا بالطبع التأكد من أننا حللنا بطريقة صحيحة عن طريق إعادة توزيع الأقواس، ربما باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، والتأكد من أن هذا يعطينا بالفعل ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ٤٢.

حسنًا، إننا نعلم أنه لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العاملين على الأقل مساويًا لصفر. ومن ثم، يكون لدينا إما ﺱ زائد ١٤ يساوي صفرًا وإما ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. وهاتان معادلتان خطيتان مباشرتان يمكن حل كل واحدة منهما في خطوة واحدة. لحل المعادلة الأولى، نطرح ١٤ من كلا الطرفين، ما يعطينا ﺱ يساوي سالب ١٤. ولحل المعادلة الثانية، نضيف ثلاثة إلى كلا الطرفين، ما يعطينا ﺱ يساوي ثلاثة. وبذلك، نكون قد أوجدنا حلين لهذه المعادلة التربيعية؛ ﺱ يساوي سالب ١٤ وﺱ يساوي ثلاثة. لكن علينا التحقق إذا ما كانت كلتا هاتين القيمتين تناسبان ﺱ في سياق هذا السؤال.

إذا نظرنا مرة أخرى إلى الشكل، فسنجد أن الطول ﻙﻝ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. إذا استخدمنا القيمة ﺱ يساوي سالب ١٤، فسيكون طول هذه القطعة المستقيمة ثلاثة مضروبًا في سالب ١٤ ناقص اثنين، ما يساوي سالب ٤٤. وبما أن هذه قيمة سالبة، فهذا يعني أن ﺱ يساوي سالب ١٤ لا يمكن أن يكون القيمة التي نبحث عنها؛ لأن طول القطعة المستقيمة يجب أن يكون موجبًا دائمًا. إذن، على الرغم من أن ﺱ يساوي سالب ١٤ هو حل صحيح لهذه المعادلة التربيعية، لكن هذه القيمة ليست القيمة التي نبحث عنها في هذه المسألة. القيمة التي سنكمل بها الحل هي ﺱ يساوي ثلاثة.

حسنًا، لم يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ﺱ فقط، بل طلب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻱﻙ. إذن خطوتنا الأخيرة هي التعويض بقيمة ﺱ هذه في التعبير الدال على الطول ﻱﻙ. التعبير هو ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ. إذن بالتعويض عن ﺱ بثلاثة، نحصل على ثلاثة تربيع زائد ثمانية مضروبًا في ثلاثة. وهذا يساوي تسعة زائد ٢٤؛ أي ٣٣.

يبدو أننا حصلنا على الإجابة، لكن دعونا نتحقق من ذلك. يمكننا فعل ذلك باستخدام نفس قيمة ﺱ لحساب طول القطعة المستقيمة ﻙﻝ، ثم التأكد من أن مجموع هاتين القيمتين يساوي ٤٠ بالفعل. التعبير الدال على الطول ﻙﻝ هو ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. إذن بالتعويض عن ﺱ بثلاثة، نحصل على ثلاثة في ثلاثة ناقص اثنين. وهذا يساوي تسعة ناقص اثنين، ما يساوي سبعة. وبالطبع ٣٣ زائد سبعة يساوي ٤٠. وهذا يؤكد صحة إجابتنا. إذن، بتكوين معادلة تربيعية وحلها، وجدنا أن طول القطعة المستقيمة ﻱﻙ يساوي ٣٣ وحدة طول.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.