فيديو الدرس: متجهات العجلة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتحدث عن متجهات العجلة. ما المقصود بها، والمعلومات التي توضحها لنا، وكيفية حسابها بمعلومية السرعة أو الإزاحة.

في البداية، تخيل أنك تتولى قيادة سفينة فضاء في الفضاء الخارجي. هدف مهمتك هو الهبوط على الكوكب جلكترون خمسة، الذي لم يسبق للبشر زيارته حتى الآن، واستكشافه. لكن ثمة مشكلة. بسبب المقاومة غير المتوقعة عند مغادرة سفينة الفضاء للغلاف الجوي للأرض، أنت متأخر قليلًا عن الموعد المحدد لوصولك. كانت الخطة الأصلية هي أن تصل سفينة الفضاء إلى كوكب جلكترون خمسة عند نقطة معينة في مداره الدائري. لكن الآن ستحتاج سفينة الفضاء إلى زيادة سرعتها على نحو غير متوقع للوصول إلى نقطة الالتقاء هذه.

إذا أخذنا في الاعتبار أن سرعة جلكترون خمسة، وسرعة سفينة الفضاء، والمسافة بين الموقع الحالي للسفينة ونقطة الالتقاء المطلوب الوصول إليها معلومة، فما العجلة ‪𝑎‬‏ التي ستحتاج إلى أن تتحرك بها السفينة لكي تلتقي بجلكترون خمسة عند الموقع المحدد؟ للإجابة عن هذا السؤال، سنحتاج إلى معرفة المزيد عن متجهات العجلة.

بوجه عام، يعد الجسم متحركًا بعجلة متى تغيرت سرعته المتجهة. يمكن أن يتضمن التغير في السرعة المتجهة زيادة السرعة مع البقاء في الاتجاه نفسه. هذا ما نراه عندما تزيد ‪𝑣‬‏ واحد إلى ‪𝑣‬‏ اثنين إلى ‪𝑣‬‏ ثلاثة. في هذه الحالة، التسارع باتجاه اليمين. بالتالي، يشير متجه العجلة إلى هذا الاتجاه. من ناحية أخرى، كان بالإمكان التحرك بسرعة ثابتة — مثل عندما يتحرك جسم ما في حركة دائرية منتظمة. لكن الاتجاه يتغير بشكل ثابت.

يؤدي هذا أيضًا إلى حدوث تغير في السرعة المتجهة وهو ما يخبرنا بوجود العجلة. يوضح متجه العجلة المقدار الذي تتغير به السرعة المتجهة في فترة زمنية معينة من خلال طوله. إذا أخذنا في الاعتبار هذين المتجهين ‪𝑎‬‏ واحد، ‪𝑎‬‏ اثنين، فبما أن المتجه ‪𝑎‬‏ اثنين أطول فهو يمثل تغيرًا أكبر في السرعة المتجهة عن المتجه ‪𝑎‬‏ واحد. ويوضح متجه العجلة الاتجاه من خلال الاتجاه الذي يشير إليه.

كل متجه من هذه المتجهات الثلاثة، ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑎‬‏ اثنين، و‪𝑎‬‏ ثلاثة، له المقدار أو الطول نفسه، إلا أنها متجهات مختلفة لأنها تشير إلى اتجاهات مختلفة. سبق وأن قلنا إن الجسم يعد متحركًا بعجلة متى تغيرت سرعته المتجهة. يمكننا كتابة ذلك رياضيًّا كالتالي: العجلة ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝛥𝑣‬‏، وهو التغير في السرعة المتجهة، على الزمن ‪𝛥𝑡‬‏ الذي يحدث خلاله هذا التغير في السرعة المتجهة. بناء على هذه العلاقة، يمكننا التعبير عن العجلة بطريقتين مختلفتين. في الطريقة الأولى، يمكننا أن نوجد العجلة المتوسطة، وهي العجلة التي تحدث خلال فترة زمنية معينة. سنسميها ‪𝑡𝑓‬‏ ناقص ‪𝑡𝑖‬‏. وسنسمي السرعتين المتجهتين اللتين تقابلان هاتين النقطتين في الزمن ‪𝑣𝑓‬‏، و‪𝑣𝑖‬‏. الفرق بينهما عند هذه الفترة الزمنية يساوي العجلة المتوسطة التي يتحرك بها الجسم.

من ناحية أخرى، إذا قلصنا هذه الفترة الزمنية، ‪𝑡𝑓‬‏ ناقص ‪𝑡𝑖‬‏، لتصبح أصغر فأصغر، فستصبح في النهاية متناهية الصغر وسنصل إلى العجلة اللحظية. يساوي هذا ‪𝑑𝑣‬‏ على ‪𝑑𝑡‬‏ — المشتقة الزمنية للسرعة المتجهة. العجلة اللحظية تعطينا عجلة الجسم عند نقطة معينة في الزمن.

بالنظر إلى هذه العلاقة الخاصة بالعجلة اللحظية، يمكننا تذكر أنها تشبه العلاقة الخاصة بالسرعة المتجهة اللحظية. فسرعة الجسم المتجهة عند لحظة معينة من الزمن تساوي المشتقة الزمنية لإزاحته ‪𝑥‬‏. بالنسبة لهذه الكميات الثلاث، العجلة والسرعة المتجهة والإزاحة، ما يربطها بعضها ببعض هو المشتقات بالنسبة إلى الزمن.

وعليه يمكننا القول بأنه بمعلومية الإزاحة بالنسبة إلى الزمن والرغبة في إيجاد السرعة المتجهة أو بمعلومية السرعة المتجهة والرغبة في إيجاد العجلة، فإن المشتقة بالنسبة إلى الزمن هي التي تمكننا من القيام بهذا الانتقال. وإذا عكسنا الاتجاه، إذا كنا نعلم العجلة ونريد إيجاد السرعة المتجهة أو نعلم السرعة المتجهة ونريد إيجاد الإزاحة، فإن التكامل بالنسبة إلى الزمن هو ما سيساعدنا في إجراء هذه الخطوة. الآن وقد تعرفنا على العجلة المتوسطة والعجلة اللحظية، لنتدرب قليلًا على هذه المفاهيم من خلال بعض الأمثلة.

يتحرك جسيم بعجلة منتظمة. عند الزمن ‪𝑡‬‏ يساوي 0.0 ثانية، كانت سرعة الجسيم المتجهة ‪𝑣‬‏ تساوي 14𝑖 زائد 22𝑗 متر لكل ثانية. وعند الزمن ‪𝑡‬‏ يساوي 3.8 ثوان، كانت سرعة الجسيم المتجهة ‪𝑣‬‏ تساوي 0.0𝑖 زائد 11𝑗 متر لكل ثانية. ما عجلة الجسيم؟

بما أننا نعمل على إيجاد عجلة الجسيم خلال الفترة الزمنية من ‪𝑡‬‏ تساوي 0.0 إلى 3.8 ثوان، فإننا نعلم أننا نحاول إيجاد عجلة متوسطة. لكي نبدأ في إيجاد الحل، يمكننا أن نتذكر العلاقة الرياضية الخاصة بالعجلة المتوسطة. العجلة المتوسطة لجسم تساوي سرعته المتجهة النهائية ناقص سرعته المتجهة الابتدائية مقسومًا على الفترة الزمنية التي يحدث خلالها التغير في السرعة المتجهة.

وفي حالتنا هذه، يمكننا كتابة أن الزمن الابتدائي ‪𝑡𝑖‬‏ يساوي 0.0 ثانية. سرعتنا المتجهة الابتدائية هي 14𝑖 زائد 22𝑗 متر لكل ثانية. وزمننا النهائي يساوي 3.8 ثوان، كما أن سرعتنا المتجهة النهائية تساوي 0.0𝑖 زائد 11𝑗 متر لكل ثانية. إذا حسبنا الفرق ‪𝑣𝑓‬‏ ناقص ‪𝑣𝑖‬‏، سنجد عند التعامل مع هذه المتجهات بشكل منفصل بواسطة مركباتهما في اتجاه ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏، أننا سنصل إلى متجه كلي يساوي سالب 14𝑖 ناقص 11𝑗 متر لكل ثانية.

بالتالي، عندما نحاول حساب العجلة المتوسطة، يكون هذا المتجه البسط مقسومًا على فرق الزمن بين ‪𝑡𝑓‬‏ الذي يساوي 3.8 ثوان ناقص ‪𝑡𝑖‬‏ الذي يساوي 0.0 ثانية. الفترة الزمنية الكلية تساوي 3.8 ثوان. وعندما نحسب هذا الكسر، نجد أن النتيجة تساوي سالب 3.7𝑖 ناقص 2.9𝑗 متر لكل ثانية مربعة. هذه هي العجلة التي تحرك بها الجسيم خلال هذه الفترة الزمنية.

الآن، لنلق نظرة على مثال يتضمن حساب العجلة اللحظية.

جسيم سرعته المتجهة تعطى بالعلاقة: دالة ‪𝑣‬‏ في المتغير ‪𝑡‬‏ تساوي 5.0𝑡𝑖 زائد ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝑗‬‏ ناقص 2.0𝑡 تكعيب ‪𝑘‬‏ متر لكل ثانية. ما متجه عجلة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثانيتين؟ ما مقدار عجلة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثانيتين؟

بما أن المطلوب هو إيجاد عجلة الجسيم عند زمن معين قيمته 2.0 ثانية، فإننا نعلم أن هذه تمثل عجلة لحظية. يمكننا أن نكتب قيمة الزمن المعطى التي تساوي 2.0 ثانية بالإضافة إلى دالة سرعة الجسيم المتجهة ‪𝑣‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. سنستخدم هذه المعلومات في الجزء الأول لإيجاد العجلة اللحظية وفي الجزء الثاني لإيجاد مقدار هذه العجلة اللحظية.

يمكننا البدء بإيجاد العجلة اللحظية؛ وذلك بتذكر المعادلة الرياضية التي تفسر هذا المصطلح. العجلة اللحظية التي يتحرك بها جسم ما تساوي التغير في سرعته المتجهة مقسومًا على التغير في الزمن — تحديدًا المشتقة الزمنية لسرعته المتجهة باعتبارها دالة في الزمن. يمكننا كتابة أن العجلة دالة في الزمن تساوي المشتقة الزمنية للسرعة المتجهة.

عندما نعوض بمعادلة السرعة المتجهة ونأخذ المشتقة الزمنية، سنجد أنها تساوي 5.0𝑖 زائد 2𝑡𝑗 ناقص 6.0𝑡 تربيع ‪𝑘‬‏ متر لكل ثانية مربعة. هذا هو الحل العام للعجلة. لكننا نريد إيجاد العجلة عند لحظة معينة في الزمن — عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثانيتين. لإيجاد ذلك، سنعوض بقيمة الزمن هذه في كل مكان يظهر فيه ‪𝑡‬‏ في المعادلة العامة للعجلة. عندما نحسب هذه القيمة، سنجد أنها تساوي 5.0𝑖 زائد 4.0𝑗 ناقص 24𝑘 كيلومتر لكل ثانية مربعة. هذه هي عجلة الجسم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثانيتين.

الآن بما أننا نعرف عجلة الجسيم عند هذا الزمن، نريد إيجاد مقدار هذه العجلة. هذا المقدار، الذي يخبرنا كيف تتغير سرعة الجسيم المتجهة عند الزمن ثانيتين، يساوي الجذر التربيعي لمركبة العجلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد المركبة ‪𝑦‬‏ لها تربيع زائد المركبة ‪𝑧‬‏ لها تربيع.

وعند النظر إلى معادلة العجلة اللحظية لهذه المركبات، نجد أن المركبة ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة، والمركبة ‪𝑦‬‏ تساوي أربعة، والمركبة ‪𝑧‬‏ تساوي سالب 24. عند إدخالنا هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد لأقرب ثلاثة أرقام معنوية أنه يساوي 24.8 مترًا لكل ثانية مربعة. هذا هو مقدار عجلة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثانيتين.

والآن، لنلخص ما تعلمناه عن متجهات العجلة. لقد رأينا أن الجسم يتحرك بعجلة متى تغيرت سرعته المتجهة. أي عندما تتغير سرعته القياسية أو اتجاهه. كما رأينا أيضًا أنه بناء على التعريف الرياضي للعجلة، يمكننا كتابة معادلات تعبر عن العجلة المتوسطة والعجلة اللحظية كذلك.

العجلة المتوسطة تساوي السرعة المتجهة النهائية ناقص السرعة المتجهة الابتدائية مقسومة على الفترة الزمنية التي يحدث خلالها هذا التغير. والعجلة اللحظية تساوي المشتقة الزمنية للسرعة المتجهة. كما رأينا أن المشتقات والتكاملات بالنسبة إلى الزمن تتيح لنا الانتقال من الإزاحة إلى السرعة المتجهة إلى العجلة وبالعكس.