فيديو الدرس: الدوال المتعددة التعريف الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الدالة المتعددة التعريف ونكتبها ونحسب قيمتها.

١٤:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحدد الدالة المتعددة التعريف ونكتبها ونحسب قيمتها بمعلومية كل من معادلة الدالة والتمثيل البياني للدالة.

لنبدأ بالتعريف. الدالة المتعددة التعريف هي دالة مكونة من عدة أجزاء لدوال مختلفة. وكل جزء من الدالة معرف على فترة محددة. على سبيل المثال، لنتخيل أن لدينا الدالة ﺩﺱ، وهي دالة متعددة التعريف معرفة من خلال ﺱ زائد واحد عندما يكون ﺱ أصغر من ثلاثة، واثنين ﺱ ناقص اثنين إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. بعبارة أخرى، بالنسبة لجميع قيم ﺱ حتى ﺱ يساوي ثلاثة، دون تضمين العدد ثلاثة، سنستخدم الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ زائد واحد.‎ ثم، عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة، نستخدم الدالة اثنين ﺱ ناقص اثنين. وإذا أردنا إيجاد قيمة الدالة عند قيمة محددة لـ ﺱ، فعلينا أن نحرص على اتباع هذه القواعد.

يمكننا أيضًا رسم التمثيل البياني للدالة المتعددة التعريف. مع القيم حتى ﺱ يساوي ثلاثة، دون تضمين العدد ثلاثة، نستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد واحد. يبدو التمثيل البياني لهذه الدالة كما هو موضح. لاحظ أنني أضفت دائرة مفرغة عند ﺱ يساوي ثلاثة، وذلك لأن الدالة ليست معرفة هنا بـ ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد واحد. ومع ذلك، فهي معرفة عند ﺱ يساوي ثلاثة، ولكن من خلال الدالة اثنين ﺱ ناقص اثنين. وبذلك، يمكن أن يبدو التمثيل البياني بهذا الشكل. ويمكننا أيضًا إضافة دائرة مصمتة عند ﺱ يساوي ثلاثة لتوضيح أن الدالة معرفة هنا، إذا أردنا ذلك. لنلق نظرة على مثال حول كيفية إيجاد قيمة الدالة المتعددة التعريف عند قيمة معلومة لـ ﺱ.

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ ناقص اثنين إذا كان ﺱ أصغر من سالب ستة، وسالب تسعة ﺱ تربيع ناقص واحد إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ستة وأصغر من أو يساوي ثمانية، وسالب خمسة ﺱ تكعيب زائد أربعة إذا كان ﺱ أكبر من ثمانية، فأوجد قيمة ﺩ لأربعة.

يمكننا ملاحظة أن ﺩﺱ دالة متعددة التعريف، وهي معرفة بثلاث دوال منفصلة. عندما يكون ﺱ أصغر من سالب ستة، سنستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ ناقص اثنين. عندما يقع ﺱ بين سالب ستة وثمانية، ويتضمن هاتين القيمتين، نستخدم الدالة سالب تسعة ﺱ تربيع ناقص واحد. وعندما يكون ﺱ أكبر من ثمانية، نستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ تكعيب زائد أربعة. والآن نريد إيجاد قيمة ﺩ لأربعة. إذن، علينا التأكد من أننا نختار الدالة الصحيحة التي علينا استخدامها عند ﺱ يساوي أربعة. حسنًا، العدد أربعة يقع بين سالب ستة وثمانية. لذا سنستخدم هذا الجزء من الدالة؛ الدالة ﺩﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ تربيع ناقص واحد.

وبذلك، يمكن إيجاد ﺩ لأربعة بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في هذه الدالة. هذا يعطينا سالب تسعة في أربعة تربيع ناقص واحد. الآن، يخبرنا ترتيب العمليات الحسابية أن علينا البدء بإيجاد قيمة العدد مرفوعًا لأس ما. في هذه الحالة، سنبدأ بإيجاد قيمة أربعة تربيع. أي أربعة في أربعة يساوي ١٦. وبذلك تصبح العملية الحسابية لدينا سالب تسعة في ١٦ ناقص واحد. بعد ذلك، نجري جزء الضرب في هذه العملية الحسابية، مع تذكر أن ضرب قيمة سالبة في قيمة موجبة يعطينا قيمة سالبة. بذلك نحصل على سالب ١٤٤ ناقص واحد. سالب ١٤٤ ناقص واحد يساوي سالب ١٤٥. إذن، بالنظر إلى الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ، نجد أن ﺩ لأربعة تساوي سالب ١٤٥.

سنتعرف الآن على كيفية تطبيق هذه العملية الحسابية، لكن عند استخدام الدوال المركبة التي تعتمد على دالة متعددة التعريف.

لدينا الدالة‎ ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة إذا كان ﺱ أكبر من أربعة، واثنين ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد وأصغر من أو يساوي أربعة، وسالب ثلاثة إذا كان ﺱ أصغر من سالب واحد. أوجد قيمة ﺩ لـ ﺩ اثنين.

الدالة ﺩ لـ ﺩ اثنين هي دالة مركبة. إنها دالة في دالة أخرى. سنبدأ بتناول الدالة الداخلية أولًا؛ أي سنبدأ بالتفكير في ﺩ اثنين. حسنًا، ﺩﺱ هي دالة متعددة التعريف، وهي معرفة بدوال مختلفة على فترات مختلفة لـ ﺱ. نحن نعلم من المعطيات أنه عندما تكون ﺱ أكبر من أربعة، نستخدم الدالة ﺱ زائد أربعة. وعندما تكون قيمة ﺱ بين سالب واحد وأربعة، مع تضمينهما، نستخدم الدالة اثنين ﺱ. وعندما يكون ﺱ أصغر من سالب واحد، نستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة. اثنان بالطبع تقع بين سالب واحد وأربعة، ومن ثم سنستخدم الجزء الثاني من الدالة. وهي أنه عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺩﺱ تساوي الدالة اثنين ﺱ.

وبذلك، يمكن إيجاد ﺩ اثنين بالتعويض باثنين في هذه المعادلة. لنحصل على اثنين في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. إذن عرفنا أن ﺩ اثنين تساوي أربعة. إذا عوضنا عن ﺩ اثنين بقيمتها أربعة، فسنجد أن علينا إيجاد قيمة ﺩ لأربعة. وعلينا أن نكون حذرين هنا. نحن ما زلنا نستخدم هذا الجزء الثاني من الدالة. وهذا لأننا لا نستخدم الجزء الأول من الدالة إلا عندما تكون قيمة ﺱ أكبر من أربعة. عندما تكون أصغر من أو تساوي أربعة، فإننا نستخدم الدالة اثنين ﺱ. ومرة أخرى، سنعوض بقيمة ﺱ في الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ، أي اثنان في أربعة يساوي ثمانية. بمعلومية الدالة المتعددة التعريف، الدالة ﺩ لـ ﺩ اثنين تساوي ثمانية.

في المثال التالي، سنرى كيفية إكمال جدول قيم لدالة متعددة التعريف.

أوجد القيم الناقصة في الجدول للدالة المتعددة التعريف ﺭﺱ تساوي اثنين أس ﺱ إذا كان ﺱ أصغر من سالب اثنين، أو ثلاثة أس ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي سالب اثنين وأصغر من ثلاثة، أو اثنين أس ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. ولدينا هنا جدول بقيم ﺱ؛ سالب ثلاثة وصفر وثلاثة.

تذكر أنه عندما تكون لدينا دالة معرفة بدوال مختلفة حسب قيمة ﺱ، فإننا نسميها «دالة متعددة التعريف». ووفقًا للجدول، فإننا نريد إيجاد قيمة ﺭﺱ عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. إذن لدينا ﺭ لسالب ثلاثة. علينا أيضًا إيجاد ﺭ لصفر وﺭ لثلاثة. وعلينا الانتباه جيدًا إلى جزء الدالة الذي سنستخدمه لكل قيمة من قيم ﺱ. لنبدأ بـ ﺭ لسالب ثلاثة. هنا، ﺱ يساوي سالب ثلاثة. إذن، بما أن سالب ثلاثة أصغر من سالب اثنين، فعلينا استخدام الجزء الأول من الدالة لدينا، وهو اثنان أس ﺱ.

ومن ثم، لإيجاد قيمة ﺭ لسالب ثلاثة، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب ثلاثة في هذا الجزء من الدالة. نحصل على ﺭ لسالب ثلاثة يساوي اثنين أس سالب ثلاثة. وفي هذه المرحلة، يمكننا أن نتذكر أن الأس السالب يخبرنا أن علينا إيجاد المقلوب. إذن ﺃ أس سالب ﺏ، على سبيل المثال، يساوي واحدًا على ﺃ أس ﺏ. وهذا يعني أن اثنين أس سالب ثلاثة يساوي واحدًا على اثنين تكعيب، وهو ما يساوي واحدًا على ثمانية. إذن، القيمة الأولى في الجدول هي ثمن. دعونا نكرر هذه العملية مع ﺱ يساوي صفرًا.

هذه المرة صفر يقع بين سالب اثنين وثلاثة، لذا سنستخدم الجزء الثاني من الدالة. وبذلك، يمكن إيجاد ﺭ لصفر بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة ﺭﺱ تساوي ثلاثة أس ﺱ. وهذه تساوي ثلاثة أس صفر. والآن، في هذه المرحلة، نتذكر أن أي شيء أس صفر يساوي واحدًا، إذن ﺭ لصفر تساوي واحدًا. وهذه هي القيمة الثانية في الجدول. هيا نكرر هذه العملية مع العمود الثالث والأخير في الجدول.

يستخدم الجزء الثالث من الدالة المتعددة التعريف عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. لذا سنستخدم هذه القيمة عند ﺱ يساوي ثلاثة. وهذا يعني أن ﺭ لثلاثة يساوي اثنين تكعيب، وهو ما يساوي ثمانية. وبذلك نكتب ثمانية في الجزء الأخير من الجدول. إذن، قيم الجدول الناقصة للدالة المتعددة التعريف ﺭﺱ هي: ثمن، وواحد، وثمانية.

سنتناول الآن مثالين على حساب قيمة دالة عند نقطة محددة على تمثيلها البياني.

أوجد ﺩ لصفر باستخدام التمثيل البياني الموضح.

دعونا نلق نظرة على التمثيل البياني للدالة. من المؤكد أن الدالة متعددة التعريف؛ وذلك لأنها تتكون من عدة أجزاء من التمثيلات البيانية لدوال مختلفة على فترات مختلفة من ﺱ. على سبيل المثال، سنتناول الجزء الأول من التمثيل البياني هنا. هذا الجزء معرف بواسطة دالة محددة على الفترة من سالب ١٠ إلى سالب ثمانية. في الحقيقة، يمكننا تعريف ذلك على أنه الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار. وذلك لأن الدائرة المصمتة تخبرنا أنها معرفة عند ﺱ يساوي سالب ١٠، لكنها غير معرفة من خلال هذا الجزء من الدالة عند ﺱ يساوي سالب ثمانية. ثم يسمح لنا الجزء الثاني من الدالة بتعريف الدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب ثمانية باستخدام الدائرة المصمتة هنا.

لكن عند ﺱ يساوي صفرًا، لا يمكننا استخدام هذا الجزء من التمثيل البياني لحساب ﺩ لصفر. تخبرنا الدائرة المفرغة بأنها غير معرفة من خلال هذا الجزء من الدالة. إذن، كيف سنتمكن من إيجاد ﺩ لصفر؟ حسنًا، عند ﺱ يساوي صفرًا، نبحث عن جزء من الدالة يقع على المحور ﺹ. لقد لاحظنا بالفعل أن هذه الدالة لا يمكن تعريفها من خلال هذه الدالة هنا، لكن لدينا دائرة مصمتة هنا. وبذلك، تكون الدالة معرفة عند ﺱ يساوي صفرًا. إحداثيا هذه النقطة هما صفر، أربعة. وبذلك نلاحظ أن ﺩ لصفر يجب أن تساوي أربعة.

دعونا نلق نظرة على مثال آخر على هذا النوع.

أوجد ﺩ لواحد.

يمكننا هنا ملاحظة أن الدالة ﺩﺱ هي دالة متعددة التعريف. ونعرف ذلك لأن الشكل لدينا به تمثيلان بيانيان لدالتين مختلفتين. الجزء الأول من التمثيل البياني معرف على الفترة من سالب اثنين إلى واحد. لكن هذه الدائرة المفرغة تخبرنا بالطبع بأنها غير معرفة في هذا التمثيل البياني عند هذه النقطة. بعد ذلك، يعرف الجزء الثاني من الدالة على الفترة من واحد إلى ثمانية. مرة أخرى، تخبرنا الدائرة المفرغة بأنها ليست معرفة عند ﺱ يساوي واحدًا في هذا الجزء من التمثيل البياني.

إذن، كيف سنوجد ﺩ لواحد؟ حسنًا، لا يمكننا ذلك. الدالة ﺩ لواحد غير معرفة على الإطلاق في التمثيل البياني لدينا. هناك العديد من القيم التي يمكننا إيجادها. على سبيل المثال، ﺩ لخمسة تساوي واحدًا، وكذلك ﺩ لسالب واحد. لكن ﺩ لواحد غير معرفة تمامًا وفقًا للتمثيل البياني لدينا.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن الدالة المتعددة التعريف هي دالة مكونة من عدة أجزاء لدوال مختلفة. وعرفنا أن كل دالة معرفة على فترة محددة. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا إيجاد قيمة دالة متعددة التعريف باستخدام التمثيل البياني أو الأجزاء المختلفة للدالة، ولكن يجب أن نحرص على التأكد من أن الدالة معرفة بالفعل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.