تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام النهايات لإيجاد مشتقات الدوال

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف مشتقة الدالة، وكيفية استخدام النهايات لإيجاد مشتقات الدوال، ومثالًا توضيحيًّا لإيجاد المشتقة وحساب قيمتها عند نقطة محددة.

٠٦:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على استخدام النهايات لإيجاد مشتقات الدوال. هنعرف يعني إيه مشتقة الدالة. وإزّاي نعرف نستخدم النهاية، لإيجاد مشتقة الدالة. أول حاجة هنعرفها، إيه هي مشتقة الدالة. هي ميل المماس لمنحنى الدالة د س، عند أيّ نقطة عليه. ويُرمز لها بالرمز د شرطة س. وبنحسب قيمتها بإن إحنا نجيب النهاية: د س زائد هـ، ناقص د س؛ على هـ؛ لمّا الـ هـ تئول للصفر، بشرط وجود هذه النهاية. وده بيوضّح لنا معدّل تغيُّر الدالة د س.

الاشتقاق هو عملية إيجاد المشتقة للدالة. وبتُسمى النتيجة معادلة تفاضلية. بيُرمز لمشتقة ص تساوي د س بالرموز: يا إمّا ص شرطة، يا إمّا د ص على د س، أو د على د س لِـ د س. حيث أن د على د س، إذا سبقت الدالة، بيعني إيجاد مشتقة الدالة. وبنسميها كمان تفاضل دالة ص، بالنسبة لِـ س.

نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنستخدم النهايات، لإيجاد مشتقات الدوال. في المثال اوجد مشتقة الدالة: د س تساوي أربعة س تربيع ناقص خمسة س زائد تمنية، باستخدام النهايات. ثم احسب قيمة المشتقة عند س تساوي واحد، وَ س تساوي خمسة.

أول حاجة هنكتب صيغة المشتقة. وبعدين نطبّق الصيغة على الدالة اللي مدّيهالنا. دي صيغة المشتقة للدالة: د شرطة س تساوي نهاية د س زائد هـ، ناقص د س على هـ؛ لمّا الـ هـ تئول للصفر. الصيغة دي معناها إيه؟

إحنا عندنا هنا دالة س … لمّا هنتحرّك شويّة بقيمة هـ، هيبقى فيه قيمة لها د س زائد هـ. الـ هـ دي القيمة اللي اتحرّكناها من الـ س إلى س زائد هـ. عايزين نجيب النهاية لمّا الـ هـ تئول للصفر. يعني لمّا النقطتين س وَ س زائد هـ يقرّبوا أوي من بعض، وتبقى القيمة ما بينهم ما يقرب للصفر. وبالتالي بنعرف نجيب ميل المماس للدالة د س. ده معنى د شرطة س، اللي هو معدل تغيُّر الدالة.

طيب إحنا دلوقتي في المثال ده … هنعوّض بقيمة د س مرة بِـ س، ومرة بِـ س زائد هـ. لمّا هتكون س زائد هـ، يبقى د س زائد هـ هتساوي أربعة … هنشيل الـ س تربيع، ونحطّ مكانها س زائد هـ الكل تربيع. ناقص خمسة س؛ هنشيل الـ س، ونحطّ مكانها س زائد هـ زائد تمنية. والـ د س هنسيبها زيّ ما هي: أربعة س تربيع ناقص خمسة س زائد تمنية.

يبقى كده المشتقة د شرطة س هتساوي … نهاية أربعة س زائد هـ الكل تربيع. ناقص خمسة في، س زائد هـ. زائد تمنية ناقص … نفتح قوس كبير: أربعة س تربيع، ناقص خمسة س، زائد تمنية. علشان الناقص دي، لمّا هنيجي نضربها في القوس، هتغيّر إشارات الأربعة س تربيع، والسالب خمسة س، والزائد تمنية. كل الكلام ده على الـ هـ، لمّا الـ هـ بتئول للصفر.

لمّا هنبسّط البسط، هيبقى بالشكل ده: تمنية س هـ، زائد أربعة هـ تربيع، ناقص خمسة هـ؛ على هـ. وهنجيب لهم النهاية لمّا الـ هـ بتئول للصفر. بعد كده هنحلّل البسط. يبقى الـ هـ مشترك. هتبقى هـ … نفتح قوس: تمنية س زائد أربعة هـ ناقص خمسة، على هـ. هنجيب لهم النهاية لمّا الـ هـ بتئول للصفر.

كده نقدر نختصر الـ هـ اللي في البسط، مع الـ هـ اللي في المقام. هيتبقّى لنا نهاية تمنية س زائد أربعة هـ ناقص خمسة، لمّا الـ هـ تئول للصفر. هنجيب نهاية الدالة دي بإن إحنا بنعوّض تعويض مباشر بقيمة الـ هـ هتساوي الصفر. يبقى معنى كده إن القيمة دي هتبقى … تمنية س زيّ ما هي، زائد أربعة في صفر اللي هو القيمة الـ هـ، ناقص خمسة. يبقى الكلام ده هيساوي تمنية س ناقص خمسة. أي أن مشتقة الدالة د س هي د شرطة س بتساوي تمنية س ناقص خمسة.

الجزء التاني من السؤال بيقول لنا: احسب قيمة المشتقة عند الـ س تساوي واحد، وَ س تساوي خمسة. يبقى هنعوّض في المعادلة بتاعة المشتقة؛ مرة بِـ س تساوي واحد، ومرة س تساوي خمسة. في المعادلة د شرطة س تساوي تمنية س ناقص خمسة. يبقى د شرطة للواحد هتساوي … تمنية، هنعوّض مكان الـ س بواحد، ناقص الخمسة؛ هتساوي تلاتة.

وكمان هنعوّض بالـ س تساوي خمسة، في د شرطة س تساوي تمنية س ناقص خمسة. دي المعادلة الأصلية. يبقى د شرطة للخمسة هتساوي تمنية في الخمسة، ناقص الخمسة. هتساوي خمسة وتلاتين.

في الفيديو ده عرفنا يعني إيه مشتقة الدالة. وعرفنا إزّاي هنستخدم النهايات لإيجاد مشتقات الدوال. وعرفنا إزّاي هنحسب قيمة المشتقة عند نقطة معينة.