فيديو الدرس: خواص التباديل

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص التباديل لتبسيط التعبيرات وحل المعادلات التي تتضمن تباديل. أولًا، لنر ما نعرفه عن التباديل. التباديل عبارة عن تنظيم مجموعة من العناصر حيث يكون الترتيب مهمًّا ولا يسمح بالتكرار. ولذا، يمكننا أن نقول إن التباديل تمثل العد من دون استبدال حيث يكون الترتيب مهمًّا.

نحسب عدد التباديل المحتملة لمجموعة من العناصر باستخدام الصيغة ﻥﻝر يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر. هذا هو عدد الطرق التي نختار بها عناصر ر من مجموعة من عناصر ﻥ. على سبيل المثال، إذا كان لدينا أربعة ﻝ اثنين، فستكون لدينا مجموعة مكونة من أربعة عناصر، ونريد أن نعرف عدد الطرق المختلفة التي يمكننا بها اختيار عنصرين فقط منها. إذا كان لدينا أربعة أحرف في الصندوق ونريد اختيار حرفين منها عشوائيًّا، فستكون لدينا ١٢ مجموعة مختلفة مكونة من حرفين أو ١٢ من التباديل المختلفة.

لاحظ أننا نتعامل هنا مع التباديل وأن الترتيب مهم، ومن ثم فإن ﺃﺏ ليست بنفس ترتيب ﺏﺃ، ويعني هذا أننا سنحصل على ١٢ طريقة مختلفة لاختيار اثنين من أصل أربعة. إذا أردنا التعبير عن ذلك باستخدام الصيغة، فسيكون مضروب أربعة على مضروب أربعة ناقص اثنين، مضروب أربعة على مضروب اثنين، ونفك القوسين لنحصل على أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد على اثنين في واحد. نحذف الاثنين في واحد من البسط والمقام، فنحصل على أربعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٢.

قبل أن نمضي قدمًا، علينا أن نذكر أن هناك عددًا من الترميزات المختلفة للتباديل. والترميز الذي سنستخدمه في الأساس يبدو هكذا، ﻥﻝر. لكن توجد بعض الترميزات الأخرى تستخدم في اللغة الإنجليزية، منها هذا؛ حيث يكتب حرف ‪𝑛‬‏ مرتفعًا وحرف ‪𝑟‬‏ منخفضًا. ويمكن أن يكتب أيضًا ‪P𝑛𝑟‬‏؛ حيث يكون كل من الحرفين ‪𝑛‬‏ و‪𝑟‬‏ على الجانب نفسه، أو ‪P𝑛‬‏ فاصلة ‪𝑟‬‏، أو حتى ‪P‬‏، وبين قوسين نكتب ‪𝑛, 𝑟‬‏.

سنتابع الآن ونتحدث عن الخصائص التي تشترك فيها جميع التباديل. إننا نستخدم هذه الخصائص لحل أنواع مختلفة من المعادلات. الخاصية الأولى التي سنتحدث عنها تبدو هكذا. بالنسبة إلى الصيغة ﻥﻝر، فإنها تساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد تباديل ر ناقص واحد. لننظر إلى ستة ﻝ ثلاثة. وفقًا لهذه الخاصية، فإن ستة ﻝ ثلاثة يساوي ستة في خمسة تباديل اثنين. ستة ﻝ ثلاثة يساوي مضروب ستة على مضروب ستة ناقص ثلاثة. وسيكون الطرف الآخر من المعادلة ستة في مضروب خمسة على مضروب خمسة ناقص اثنين.

إذا أجرينا بعض التبسيط ثم فككنا أقواس المضروبات، في كلا طرفي المعادلة، فسنحذف مضروب ثلاثة من البسط والمقام، ليتبقى لنا ستة في خمسة في أربعة في الطرف الأيسر وستة في خمسة في أربعة في الطرف الأيمن، وسيكون الطرفان متساويين؛ ما يوضح لنا أن ﻥﻝر يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝر ناقص واحد.

هناك خاصية أخرى نريد تناولها وتتعلق بمضروب ﻥ. يلعب مضروب ﻥ دورًا كبيرًا في التباديل، ومضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. نستخدم هذه الخاصية في الأغلب لتبسيط التعبيرات التي تتضمن مضروبات في كل من البسط والمقام. يمكننا أن نقول إن مضروب أربعة يساوي أربعة في مضروب أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي أربعة في مضروب ثلاثة. وبفك الأقواس في طرفي المعادلة، نحصل على أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد.

وقد تكون هناك حالات نريد فيها تمديد هذه الخاصية أكثر من ذلك. مضروب ﻥ يساوي مضروب ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين. وبتطبيق ذلك على المثال الخاص بالعدد أربعة، يصبح لدينا مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين. وباستخدام خاصية المضروبات هذه، يمكننا أن نوضح أن مضروب الصفر يساوي واحدًا. وبما أننا نعلم أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، فإن مضروب واحد سيساوي واحدًا في مضروب واحد ناقص واحد. مضروب واحد يساوي واحدًا في مضروب صفر. ثم مضروب صفر لا بد أن يساوي واحدًا؛ ما يعني أن علينا تذكر أن مضروب صفر ومضروب واحد يساوي واحدًا.

نريد زيادة مهارتنا واستخدام تعريف التباديل وخصائصها مع هذه المضروبات؛ فباستخدام هذا كله سنتمكن من حل المعادلات التي تتضمن تباديل. لنلق نظرة إذن على بعض الأمثلة.

حل المعادلة الآتية لإيجاد قيمة ر: خمسة ﻝر يساوي ١٢٠.

نعلم أننا نحسب ﻥﻝر عن طريق أخذ مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر. في هذه المسألة، لا نعرف قيمة ر. ونعرف أن المجموعة تحتوي على خمسة عناصر، لكننا لا نعرف العدد الذي نحاول اختياره. ولإيجاد ر، علينا أن نعرف عدد الأعداد الصحيحة المتتالية المرتبة تنازليًّا، بداية بالعدد خمسة؛ ومن ثم علينا أن نضربها معًا بحيث تساوي ١٢٠. نعلم أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. وخمسة ﻝر يساوي مضروب خمسة على مضروب خمسة ناقص ر. إذا فككنا المضروب في البسط، فإننا نحصل على خمسة في أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد. نعرف أن خمسة ﻝر لا بد أن يساوي ١٢٠، لكن مضروب خمسة يساوي ١٢٠. إذن نحصل على المعادلة ١٢٠ يساوي ١٢٠ على مضروب خمسة ناقص ر.

إذا ضربنا طرفي المعادلة في مضروب خمسة ناقص ر، فسنحصل على ١٢٠ في مضروب خمسة ناقص ر يساوي ١٢٠. ثم إذا قسمنا كلا الطرفين على ١٢٠، فإننا نحصل في الطرف الأيمن على مضروب خمسة ناقص ر، وفي الطرف الأيسر ١٢٠ مقسومًا على ١٢٠ يساوي واحدًا. يعني هذا أننا نحتاج إلى قيمة ر التي تجعل مضروب خمسة ناقص ر يساوي واحدًا. طبقًا لخصائص المضروبات، نعرف أن هناك حالتين حيث يساوي المضروب واحدًا، وهما مضروب صفر ومضروب واحد؛ وهو ما يعني أن خمسة ناقص ر لا بد أن يساوي صفرًا، أو خمسة ناقص ر لا بد أن يساوي واحدًا. إذا كان خمسة ناقص ر يساوي صفرًا، فإن ر يساوي خمسة. وإذا كان خمسة ناقص ر يساوي واحدًا، فإن ر يساوي أربعة.

تذكر أننا قلنا في البداية إن ر يساوي عدد الأعداد الصحيحة المتتالية المرتبة تنازليًّا، بداية من العدد خمسة، التي نضربها معًا لنحصل على ١٢٠. ومن ثم، توجد طريقة أخرى يمكننا استخدامها عندما نعرف قيمة ﻥ في التباديل، لكننا لا نعرف قيمة ر. نعرف أن عدد التباديل التي قد تكون لدينا هو ١٢٠. ونعرف أننا بدأنا بمجموعة من خمسة. إذا بدأنا بقسمة ١٢٠ على خمسة، فإننا نحصل على ٢٤. والآن سنأخذ ٢٤ ونقسمه على العدد الصحيح التالي الأقل من الخمسة. إذن، ٢٤ على أربعة يساوي ستة.

مرة أخرى، سنقسم هذه القيمة على العدد الصحيح الأقل من أربعة. إذن، ستة على ثلاثة يساوي اثنين. نقسم العدد اثنين على العدد الصحيح الأقل من ثلاثة، وهو اثنان؛ ما يساوي واحدًا، ويوضح لنا ذلك أن ر يمكن أن يساوي أربعة، وأن الأعداد الصحيحة الأربعة المتتالية المرتبة تنازليًّا بداية من خمسة تساوي ١٢٠ عند ضربها معًا. اثنان في ثلاثة في أربعة في خمسة يساوي ١٢٠. لكن، يمكننا اتباع هذا النمط مرة أخيرة لأن واحدًا على واحد يساوي واحدًا، وواحدًا في اثنين في ثلاثة في أربعة في خمسة يساوي ١٢٠ أيضًا، وهو ما يعطينا ر يساوي أربعة أو ر يساوي خمسة.

في المثال التالي، سنتناول حالة يكون فيها عدد العناصر التي نبدأ بها مجهولًا.

أوجد قيمة ﻥ إذا كان ﻥﻝ أربعة يساوي ٢٤.

نعلم أن ﻥﻝر يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر، وأن ﻥﻝ أربعة يساوي ٢٤؛ ما يعني أننا لا نعرف عدد العناصر التي تتضمنها المجموعة الأصلية، ولكننا نعرف أن علينا اختيار أربعة عناصر. في الحالات التي لا نعطى فيها قيمة ﻥ، قد لا يبدو واضحًا بالنسبة إلينا من أين يجب أن نبدأ، لنبدأ إذن بالتعويض بالقيم التي نعرفها في الصيغة، وهو ما سيعطينا ﻥﻝ أربعة يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص أربعة. نعلم أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. يمكننا استخدام هذه الخاصية لإعادة كتابة البسط بحيث يكون مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد.

لكن هذا لا يقربنا كثيرًا من تبسيط الكسر. لكن يمكننا فك مضروب ﻥ ناقص واحد، وهو ما يساوي ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص واحد ناقص واحد، أي مضروب ﻥ ناقص اثنين. ويمكننا فك مضروب ﻥ ناقص اثنين ليصبح ﻥ ناقص اثنين في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. ومضروب ﻥ ناقص ثلاثة سيساوي ﻥ ناقص ثلاثة في مضروب ﻥ ناقص أربعة. سيسمح لنا هذا بحذف مضروب ﻥ ناقص أربعة من البسط والمقام. وبما أننا نعرف أن ﻥﻝ أربعة يساوي ٢٤، يمكننا أن نقول إن ٢٤ سيساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين في ﻥ ناقص ثلاثة. يخبرنا هذا التعبير بأننا نريد أربعة أعداد صحيحة متتالية حاصل ضربها يساوي ٢٤. وستكون قيمة ﻥ هي نقطة البداية، وهي الأكبر بين هذه القيم الأربع.

بالنسبة إلى الأعداد الصغيرة مثل ٢٤، يمكننا محاولة إيجادها باستخدام شجرة العوامل. ‏٢٤ يساوي اثنين في ١٢، و ١٢ يساوي اثنين في ستة، وستة يساوي اثنين في ثلاثة. إذن يمكننا أن نقول إن ٢٤ يساوي اثنين في ثلاثة في أربعة. لكن تذكر، في هذه المسألة، نحتاج إلى أربعة أعداد صحيحة متتالية حاصل ضربها يساوي ٢٤ وليس ثلاثة. واحد، واثنان، وثلاثة، وأربعة، هي أربعة أعداد صحيحة متتالية، وعند ضربها معًا تساوي ٢٤. تذكر أن قيمة ﻥ هي القيمة الأكبر. إذا افترضنا أن ﻥ يساوي أربعة، فإن ٢٤ يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يؤكد أن ﻥ يساوي أربعة.

نجحت هذه الطريقة عندما كنا نتعامل مع مجموعة صغيرة. في المثال التالي، سنتناول مرة أخرى حالة لا نعرف فيها العدد الذي تحتويه المجموعة، قيمة ﻥ، لكننا نتعامل مع مجموعة من التباديل أكبر بكثير.

أوجد قيمة ﻥ، حيث ﻥﻝ ثلاثة يساوي ٣٢٧٣٦.

نعرف أن ﻥﻝر يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر. ونعلم أن ﻥﻝ ثلاثة يساوي ٣٢٧٣٦. لا نعرف عدد العناصر الموجودة في المجموعة الأصلية، لكننا نعلم أننا سنختار ثلاثة عناصر منها. يمكننا إذن كتابة المعادلة مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. ولأننا نعرف خاصية مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، فيمكننا إجراء بعض عمليات الفك والتبسيط. يمكننا فك مضروب ﻥ ليصبح ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، والذي يمكن فكه مرة أخرى ليصبح ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين، ومرة أخرى لنصل إلى مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. ومن هنا، يمكننا حذف الحدين مضروب ﻥ ناقص ثلاثة من البسط والمقام.

نعلم أن ﻥﻝ ثلاثة يساوي ٣٢٧٣٦. ويخبرنا الحد ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين بأن لدينا ثلاثة أعداد صحيحة متتالية حاصل ضربها يساوي ٣٢٧٣٦. في بعض الأحيان عندما نبحث عن قيمة ﻥ هذه، يمكننا استخدام شجرة العوامل. ولكن، مع عدد كبير مثل هذا، سيكون الأمر صعبًا للغاية. لكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها. وبما أننا نعرف أننا نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، فيمكننا محاولة تقدير قيمة أحدها بأخذ الجذر التكعيبي لـ ٣٢٧٣٦. عندما نفعل ذلك، سنحصل على ٣١٫٩٨٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام.

وبذلك، يمكننا قسمة ٣٢٧٣٦ على الأعداد الصحيحة على أي من جانبي هذه القيمة، ٣١ أو ٣٢. لنبدأ بالعدد ٣٢، ٣٢٧٣٦ مقسومًا على ٣٢ يساوي ١٠٢٣. وسنأخذ العدد ١٠٢٣ ونقسمه على العدد الصحيح الأقل من ٣٢. ‏١٠٢٣ مقسومًا على ٣١، وعندما نفعل ذلك نحصل على ٣٣. ومن ثم، إذا نظرنا بعناية، فسنحصل في النهاية على ٣١ و ٣٢ و ٣٣ كعوامل للعدد ٣٢٧٣٦. إذن، ٣٢٧٣٦ يساوي ٣٣ في ٣٢ في ٣١. وهي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية حاصل ضربها يساوي ٣٢٧٣٦. سيكون ﻥ القيمة الأكبر من بين هذه القيم الثلاث. نقول إنه إذا كانت لدينا مجموعة مكونة من ٣٣ عددًا واخترنا ثلاثة منها، فسنحصل على تباديل ٣٢٧٣٦.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا تبسيط النسبة بين تبادليتين مختلفتين.

أوجد قيمة ١٢٣ﻝ ١٠ على ١٢٢ﻝ تسعة.

نعرف أنه بحساب ﻥﻝر، يصبح لدينا مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر؛ ما يعني أن البسط يساوي مضروب ١٢٣ على مضروب ١٢٣ ناقص ١٠. ويساوي المقام مضروب ١٢٢ على مضروب ١٢٢ ناقص تسعة، والذي يمكننا تبسيطه ليصبح مضروب ١٢٣ على مضروب ١١٣ الكل مقسومًا على مضروب ١٢٢ على مضروب ١١٣. إذا أعدنا كتابة عملية القسمة هذه، فستبدو بهذا الشكل. كما نعرف أن القسمة على كسر هي الضرب في المقلوب، وهو ما سيكون مضروب ١٢٣ على مضروب ١١٣ في مضروب ١١٣ على مضروب ١٢٢. ويوجد لدينا مضروب ١١٣ في البسط والمقام. نحصل إذن على مضروب ١٢٣ على مضروب ١٢٢. نعلم أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد؛ ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة البسط على صورة ١٢٣ في مضروب ١٢٢. يحذف مضروب ١٢٢ من البسط والمقام، وتبسط هذه النسبة إلى ١٢٣.

لكن كان بإمكاننا توفير بعض الجهد على أنفسنا عن طريق تذكر خاصية إضافية من خصائص التباديل. وهي أن ﻥﻝر يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝر ناقص واحد. إذا لاحظنا أن ١٢٢ يساوي ١٢٣ ناقص واحد وتسعة يساوي ١٠ ناقص واحد، فيمكننا إعادة كتابة البسط على صورة ١٢٣ في ١٢٢ﻝ تسعة، وهو ما يعني أننا سنحصل على ١٢٢ﻝ تسعة في البسط والمقام. وهكذا سيختزل الكسر إلى ١٢٣. وفيما يتعلق بإيجاد التباديل وتبسيطها، فإننا نريد دائمًا البحث عن أنماط يمكن أن تعيدنا إلى الخصائص التي من شأنها أن تساعدنا في التبسيط.

قبل أن نختم، دعونا نراجع النقاط الأساسية. عدد التباديل ر المأخوذة من مجموعة عناصر عددها ﻥ، يعطى بالصيغة ﻥﻝر يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ر. بعض الخصائص التي نستخدمها في حل المسائل التي تتضمن تباديل هي كالتالي: مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، وﻥﻝر يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝر ناقص واحد.