فيديو السؤال: تطبيق العمليات على المصفوفات لإيجاد القيم المجهولة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيم ﺱ وﺹ وﻙ وﺕ التي تحقق المعادلة المعطاة. ‏ﺱ مضروبًا في المصفوفة سالب أربعة، ستة، ١٠، ﻙ زائد ﺹ مضروبًا في المصفوفة سالب سبعة، ﺕ، صفر، سالب خمسة، زائد أربعة مضروبًا في المصفوفة ثلاثة، سالب واحد، ١٠، سالب اثنين يساوي المصفوفة الصفرية، حيث المصفوفة الصفرية مصفوفة صفرية من الرتبة اثنين في اثنين.

حسنًا، أول شيء نلاحظه هو أننا نريد ضرب المصفوفات في أعداد ثابتة؛ حيث إن كل مصفوفة مضروبة في كمية قياسية. وهي ﺱ وﺹ وأربعة. ولإجراء عملية الضرب في عدد ثابت، فإننا نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في الكمية القياسية الموجودة أمام المصفوفة.

عند إجراء ذلك على المصفوفة الأولى، نحصل على سالب أربعة ﺱ، ستة ﺱ، ‏١٠ﺱ، ﻙﺱ. وفي المصفوفة الثانية، نحصل على سالب سبعة ﺹ، ‏ﺕﺹ، صفر ﺹ، سالب خمسة ﺹ. أما في المصفوفة الثالثة، فنحصل على ١٢، سالب أربعة، ٤٠، سالب ثمانية. وهذا كله يساوي المصفوفة الصفرية، حيث علمنا من السؤال أن المصفوفة الصفرية هي مصفوفة صفرية من الرتبة اثنين في اثنين. لذا، يمكننا التعويض بذلك.

والآن، يمكننا تكوين أربع معادلات. هذا لأننا نعلم أن سالب أربعة ﺱ زائد سالب سبعة ﺹ زائد ١٢، وهي العناصر المتناظرة في المصفوفات في الطرف الأيمن، يساوي صفرًا. يرجع ذلك إلى أن المصفوفة المناظرة الموجودة في الطرف الأيسر تساوي صفرًا، كما هو الحال مع كل عنصر من العناصر الأخرى في كل مصفوفة.

كما ذكرنا، المعادلة الأولى هي سالب أربعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ زائد ١٢ يساوي صفرًا. والمعادلة الثانية هي ستة ﺱ زائد ﺕﺹ ناقص أربعة يساوي صفرًا. والمعادلة الثالثة هي ١٠ﺱ زائد صفر ﺹ زائد ٤٠ يساوي صفرًا. ويمكننا تجاهل صفر ﺹ. فيتبقى لدينا ١٠ﺱ زائد ٤٠ يساوي صفرًا. وأخيرًا، المعادلة الرابعة هي ﻙﺱ ناقص خمسة ﺹ ناقص ثمانية يساوي صفرًا. رائع. أصبح لدينا المعادلات الأربع.

نريد الآن حل بعض هذه المعادلات لإيجاد قيم ﺱ وﺹ وﻙ وﺕ. يمكننا البدء بالمعادلة الثالثة؛ لأنها الأسهل في الحل، حيث تحتوي على متغير واحد فقط. إذا كان لدينا ١٠ﺱ زائد ٤٠ يساوي صفرًا، وطرحنا ٤٠ من طرفي المعادلة، فإننا نحصل على ١٠ﺱ يساوي سالب ٤٠. وبقسمة كلا الطرفين على ١٠، نجد أن ﺱ يساوي سالب أربعة. رائع. بذلك نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ.

حسنًا، سنعوض الآن بقيمة ﺱ في المعادلة الأولى. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب أربعة مضروبًا في سالب أربعة ناقص سبعة ﺹ زائد ١٢ يساوي صفرًا. ومن ثم، يصبح لدينا سالب سبعة ﺹ زائد ٢٨ يساوي صفرًا. إذا أضفنا سبعة ﺹ إلى طرفي المعادلة، فسنحصل على ٢٨ يساوي سبعة ﺹ. وقسمة كلا الطرفين على سبعة تعطينا ﺹ يساوي أربعة. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة ﺹ.

نريد الآن إيجاد قيمة ﻙ. ولكي نفعل ذلك، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة وﺹ يساوي أربعة في المعادلة الرابعة. وبهذا، نحصل على سالب أربعة ﻙ ناقص خمسة مضروبًا في أربعة ناقص ثمانية يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا سالب أربعة ﻙ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا. يمكننا إضافة ٢٨ إلى كلا الطرفين. فنحصل على سالب أربعة ﻙ يساوي ٢٨. وبقسمة كلا الطرفين على سالب أربعة، نحصل على ﻙ يساوي سالب سبعة. رائع. كل ما علينا الآن هو إيجاد قيمة ﺕ.

لإيجاد قيمة ﺕ، علينا التعويض بقيم ﺱ وﺹ وﻙ في المعادلة الثانية. إذن، نحصل على ستة مضروبًا في سالب أربعة زائد أربعة ﺕ ناقص أربعة يساوي صفرًا، وهو ما يساوي سالب ٢٨ زائد أربعة ﺕ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة ٢٨ إلى طرفي المعادلة. فيصبح لدينا أربعة ﺕ يساوي ٢٨. بقسمة كلا الطرفين على أربعة، نجد أن ﺕ يساوي سبعة. وعليه، يمكننا القول إن قيم ﺱ وﺹ وﻙ وﺕ التي تحقق المعادلة المعطاة هي سالب أربعة، وأربعة، وسالب سبعة، وسبعة، على الترتيب.