تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام القانون العام في حل المعادلة التربيعية

نهال عصمت

يوضِّح الفيديو بالأمثلة طريقة استخدام صيغة حل المعادلة التربيعية، وإيجاد جذور المعادلة، وصور المُميِّز المختلفة.

١٣:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

استخدام القانون العام في حل المعادلة التربيعية.

هنتكلّم عن إزَّاي نستخدم القانون العام، عشان نحل معادلة تربيعية؛ يعني معادلة من الدرجة الثانية. في البداية، إيه هي الصورة العامة للمعادلة التربيعية؟ هي: أ س تربيع زائد ب س زائد ج تساوي صفر. عندنا أ هو معامل س تربيع. وَ ب هي معامل س. أمّا ج، فهو الحدّ المطلق. عشان نحل المعادلة التربيعية، محتاجين نوجد الجذور. أو بمعنى تاني، عايزين نوجد قيم س، التي تحقق المعادلة.

القانون العام هو اللي هيساعدنا في حل المعادلة التربيعية بسهولة. عايزين نشوف إزَّاي. في البداية، عايزين نكتب القانون العام. وهو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج؛ على اتنين أ. هنبدأ نشوف أمثلة توضّح لنا إزَّاي نقدر نستخدم القانون العام، هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال.

لو عندنا س تربيع ناقص أربعة س ناقص خمسة تساوي صفر. عايزين نحل المعادلة، يبقى عايزين نوجد قيم س التي تحقق المعادلة. هنبدأ نعوّض في القانون العام، عشان نوجد قيم س التي تحقق المعادلة. القانون العام هو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج؛ على اتنين أ. عايزين نوجد قيم أ، وَ ب، وَ ج؛ عشان نعّوض بيها في القانون العام.

أ هو معامل س تربيع، يبقى أ تساوي واحد. أمّا ب فهي معامل س، يبقى ب تساوي سالب أربعة. أمّا ج فهو الحدّ المطلق، يبقى ج هتساوي سالب خمسة. هنبدأ نعّوض في القانون. يبقى س هتساوي … سالب ب يبقى سالب سالب أربعة. زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ … ب تربيع يعني سالب أربعة الكل تربيع. ناقص أربعة في … أ بواحد. في … ج بسالب خمسة. على … اتنين أ يعني اتنين في واحد.

وبالتالي س هتساوي أربعة، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ … سالب أربعة الكل تربيع، اللي هي ستاشر. ناقص … أربعة في واحد في سالب خمسة، بزائد عشرين. على … اتنين في واحد، باتنين. ومنها نقدر نقول إن س تساوي أربعة زائد أو ناقص … الجذر التربيعي لستاشر زائد عشرين، يبقى الجذر التربيعي لستة وتلاتين. على اتنين. يبقى س هتساوي أربعة، زائد أو ناقص … الجذر التربيعي لستة وتلاتين، بستة. الكل على اتنين.

هنبدأ نوزّع المقام على البسط. يبقى س هتساوي أربعة على اتنين، زائد أو ناقص ستة على اتنين. وبالتالي س هتساوي … أربعة على اتنين، باتنين. زائد أو ناقص … ستة على اتنين، بتلاتة. يبقى نقدر نقول إن س مرة هتساوي اتنين زائد تلاتة، ومرة تانية س هتساوي اتنين ناقص تلاتة. أول حاجة س تساوي اتنين زائد تلاتة، يعني س هتساوي خمسة. أمّا في حالة س تساوي اتنين ناقص تلاتة، يعني س هتساوي سالب واحد. يبقى س هتساوي خمسة، وَ س هتساوي سالب واحد.

طب إيه اللي إحنا استفدناه من القانون العام؟ ما إحنا كنا ممكن نحل المعادلة التربيعية، ممكن نحلّها بالتحليل. إزَّاي؟ عندنا المعادلة التربيعية أهي. هنبدأ نعمل قوسين التحليل … يساوي صفر. عندنا الحدّ الأول في القوس الأول، هو س. والحد الأول في القوس التاني، هو س. عشان حاصل ضربهم س تربيع. عايزين عددين حاصل ضربهم خمسة، وطرحهم يساوي أربعة، بس يكون الكبير بإشارة سالبة.

عددين حاصل ضربهم خمسة، واحد في خمسة. يبقى هنكتب واحد وخمسة. العددين بإشارتين مختلفتين، بس الكبير بإشارة سالبة. يبقى الواحد هيبقى بإشارة موجبة، والخمسة هتبقى بإشارة سالبة. يبقى س مرة هتساوي سالب واحد، وَ س مرة هتساوي خمسة.

فيه ساعات التحليل عفوًا … فيه ساعات بيبقى تحليل المعادلة التربيعية صعب، ومش سهل زي المعادلة اللي موجودة قدامنا. هنبدأ نشوف مثال، القانون العام بيبدأ يفيدنا أكتر، زيّ إيه. هنبدأ نجيب صفحة جديدة.

لو عندنا س تربيع ناقص ستة س زائد سبعة تساوي صفر. عايزين نحل المعادلة، يبقى عايزين نوجد قيم س التي تحقّق المعادلة. تعالوا نجرّب نحلّها بالتحليل. هنعمل قوسين التحليل بالشكل ده … تساوي صفر. الحدّ الأول في القوس الأول، س. والحد الأول في القوس التاني، س. عشان س في س، بِـ س تربيع. عايزين عددين حاصل ضربهم سبعة، ومجموعهم يساوي ستة.

من الصعب إن إحنا نجيب عددين حاصل ضربهم سبعة، ومجموعهم يساوي ستة. فبالتالي هنبدأ نستخدم القانون العام؛ عشان نوجد قيم س، التي تحقق المعادلة. القانون العام هو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج؛ الكل على اتنين أ. عايزين نوجد قيم أ، وَ ب، وَ ج. أ هو معامل س تربيع، يبقى أ تساوي واحد. وَ ب هي معامل س، يبقى نقدر نقول إن ب تساوي سالب ستة. أمَا ج فهو الحدّ المطلق، يبقى ج هيساوي سبعة.

هنبدأ نعّوض في القانون. يبقى س هتساوي سالب سالب ستة. زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ستة الكل تربيع، ناقص أربعة في أ اللي هي واحد، في ج اللي هي سبعة. الكل على اتنين أ، يعني اتنين في واحد. يبقى س هتساوي ستة، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لستة وتلاتين ناقص تمنية وعشرين؛ الكل على … اتنين في واحد باتنين. ومنها نقدر نقول إن س تساوي ستة، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لتمنية؛ الكل على اتنين.

هنبدأ نوزّع المقام على البسط. يبقى س هتساوي ستة على اتنين، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لتمنية، على اتنين. يبقى وصلنا لِـ س تساوي ستة على اتنين، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لتمنية، على اتنين. يبقى س تساوي ستة على اتنين، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لتمنية، اللي هو اتنين جذر اتنين؛ الكل على اتنين.

يبقى نقدر نقول إن س هتساوي … ستة على اتنين، فيها التلاتة. زائد أو ناقص … اتنين جذر اتنين الكل على اتنين، هيبقى بجذر اتنين. في الحالة دي، نقدر نقول إن س مرة هتساوي تلاتة زائد جذر اتنين. ومرة تانية س هتساوي تلاتة ناقص جذر اتنين.

حاجة زيّ الناتج اللي إحنا طلّعناه ده، صعب إننا نقدر نجيبه بالتحليل. فعشان كده بنستخدم القانون العام، عشان نحل المعادلة التربيعية، بكل سهولة. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال آخر.

لو عندنا تلاتة س تربيع زائد ستة س تساوي سالب عشرة. عايزين نحل المعادلة التربيعية. أول حاجة، هنعيد كتابة المعادلة. هنبدأ نجمع عشرة على طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا تلاتة س تربيع زائد ستة س زائد عشرة تساوي صفر. هنستخدم القانون العام، عشان نحل المعادلة التربيعية. القانون العام هو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج؛ الكل على اتنين أ.

عايزين الأول نوجد قيم أ، وَ ب، و ج، ونعوّض بيها في القانون العام. أ هو معامل س تربيع، يبقى نقدر نقول إن أ تساوي تلاتة. وَ ب هي معامل س، فنقدر نقول إن ب تساوي ستة. أمّا ج فهو الحدّ المطلق، يبقى ج هيساوي عشرة. هنبدأ نعوّض في القانون. يبقى س هتساوي … سالب ب، اللي هي سالب ستة. زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ … ب تربيع، اللي هي ستة تربيع. ناقص أربعة في … أ بتلاتة. في … ج بعشرة. الكل على … اتنين أ، يبقى اتنين في تلاتة.

ومنها نقدر نقول إن س هتساوي سالب ستة، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لستة وتلاتين ناقص مية وعشرين؛ الكل على ستة. يبقى س هتساوي سالب ستة، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب أربعة وتمانين؛ الكل على ستة. هنلاحظ إن تحت الجذر فيه عدد سالب. مش هنعرف نوجد الجذر التربيعي لعدد سالب. عشان مش ممكن عدد حقيقي نضربه في نفسه، ويكون الناتج عدد سالب. يبقى المعادلة اللي موجودة قدامنا دي، معادلة ليس لها جذور حقيقية.

طب يبقى إيه اللي ممكن يخلّينا نعرف إذا كانت المعادلة ليها جذور حقيقية، أم لا؟ حاجة اسمها المميز. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونبدأ نعرف يعني إيه المميز.

عندنا القانون العام هو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج؛ الكل على اتنين أ. المميز هو الجزء اللي موجود تحت الجذر. اللي هو: ب تربيع ناقص أربعة أ ج. يبقى الجزء الموجود تحت الجذر، هنسميه المميز. المميز ده ممكن يبقى عبارة عن عدد موجب. وممكن يبقى عبارة عن صفر. وممكن يبقى عبارة عن عدد سالب. في حالة لو كان عدد موجب، نقدر نقول إن المعادلة التربيعية ليها حلّين، أو جذرين حقيقيين. أمّا إذا كان المميز يساوي صفر، يبقى المعادلة لها حل حقيقي واحد مكرر. وآخر حاجة، لو كان المميز سالب، يبقى المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

وبكده اتعرّفنا على حالات المميز، وإزاي نستخدم القانون العام في حل المعادلة التربيعية.