نسخة الفيديو النصية
استخدم أمير القسمة التركيبية لإثبات أن أربعة يعد جذرًا لكثيرة الحدود 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي اثنين 𝑥 تكعيب ناقص تسعة 𝑥 تربيع زائد 𝑥 زائد ١٢. باستخدام ناتجه، حلل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 إلى ثلاثة عوامل خطية.
لنستعرض أولًا القسمة التركيبية التي استخدمها أمير ونفهمها. حسنًا، لقد أخذ الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، واستخدم المعاملات والثوابت — اثنان وسالب تسعة وواحد و١٢ — ثم أجرى القسمة على أربعة لإثبات أنه جذر لكثيرة الحدود. والطريقة التي نعلم بها أن العدد يعد جذرًا هي إمكانية قسمة الدوال عليه بالتساوي دون وجود باقي قسمة.
وبما أن باقي القسمة هنا صفر، فإن هذا يعني أن القسمة تمت بالتساوي دون باق. وهكذا، فإن الأربعة يعد جذرًا. وعليه، على الرغم من أننا مقيدون في استخدام الأعداد لهذه القسمة التركيبية، فعندما نقسم على أربعة فإننا نأخذ الدوال ونقسمها على 𝑥 ناقص أربعة؛ لأنك إذا فكرت في الأمر، فستجد أننا لو كنا نقسم على 𝑥 يساوي أربعة، فإن وضعنا أربعة في الأعلى جهة اليسار مع 𝑥، فسيتعين علينا طرح هذا من كلا طرفي المعادلة، وسيصبح لدينا 𝑥 ناقص أربعة يساوي صفرًا.
إذن، فإن 𝑥 ناقص أربعة هو أحد الجذور. ومن المفترض أن نستخدم الناتج الذي توصل إليه أمير لإيجاد ثلاثة عوامل خطية. وهكذا، فإن علينا إيجاد العاملين الآخرين. حسنًا، عندما أجرى أمير القسمة على 𝑥 ناقص أربعة، حصلنا على حل. وكما ذكرنا، فإن باقي القسمة يساوي صفرًا، وسالب ثلاثة هو العدد الثابت، وسالب واحد هو المعامل لـ 𝑥، واثنان هو المعامل لـ 𝑥 تربيع.
ومن ثم، يتبقى لدينا اثنان 𝑥 تربيع ناقص 𝑥 ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. إذن هذا ما تبقى بعد قسمة الدالة على أربعة. وهكذا يمكننا تكوين العاملين الأخيرين من هذه القيم. إذ يمكننا تحليل هذا لإيجاد العاملين الأخيرين. وبما أن لدينا مقدارًا ثلاثيًّا متقدمًا؛ وبما أن المعامل الرئيسي لا يساوي واحدًا، يمكننا استخدام قاعدة السحب ثم القسمة.
فنسحب الاثنين إلى الداخل مع سالب ثلاثة، فنحصل بذلك على 𝑥 تربيع ناقص 𝑥 ناقص ستة يساوي صفرًا. وهكذا علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما سالب ستة ومجموعهما سالب واحد؛ وهما سالب ثلاثة وموجب اثنين. نأتي الآن إلى جزء القسمة، إذ نقسم الاثنين التي سحبناها إلى الداخل، فنضعها أسفل هذين.
ثم نبسط. لا يمكن تبسيط ثلاثة على اثنين، ولكن يمكن تبسيط اثنين على اثنين. فإن اثنين على اثنين يساوي واحدًا. والآن، لا نترك 𝑥 ناقص ثلاثة على اثنين في هذه الصورة. بل سنأخذ الاثنين ونضعها في الأعلى مع 𝑥، ليصبح العاملان الآخران هما: اثنين 𝑥 ناقص ثلاثة، و𝑥 زائد واحد.
إذن، هذه هي العوامل الخطية لدينا. ولا يهم ترتيب كتابتها، فقط نقول: إن لدينا 𝑥 ناقص أربعة، واثنين 𝑥 ناقص ثلاثة، و𝑥 زائد واحد.
