فيديو الدرس: التكامل المعتل: النهايات اللانهائية للتكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

التكاملات المعتلة: حدود التكامل اللانهائية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيمة التكاملات المعتلة حيث يقترب حد واحد أو أكثر من حدود التكامل من ما لا نهاية. وسوف نتناول بعض الأمثلة حول الطريقة التي يمكنك بها حل التكاملات على هذه الصورة.

لنبدأ الآن بالتفكير في الدالة د(ﺱ) التالية، ونفترض أن التكامل للدالة د في المتغير ﺱ الذي أحد حديه يساوي ما لا نهاية؛ ومن ثم يكون التكامل من ﺃ إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا أن نفترض أن ﺃ نقطة ما على المحور ﺱ، لنقل إنها هنا. إذن، هذا التكامل يمثل المساحة بين منحنى الدالة د(ﺱ) والمحور ﺱ من ﺃ إلى ما لا نهاية. هذا لا يبدو منطقيًّا حقًّا الآن. فكيف يمكن أن تكون ما لا نهاية حدًّا في حين أنها ليست عددًا؟ وكيف يمكننا إيجاد مساحة تمتد إلى ما لا نهاية؟ على الرغم من أن هذا لا يبدو منطقيًّا، فإنه يمكن في الواقع إيجاد قيم تكاملات محددة بهذه الصورة. ويمكننا فعل ذلك باستخدام النهايات.

الصيغة التي نستخدمها لحل هذا التكامل تخبرنا أن هذا التكامل يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للتكامل من ﺃ إلى ﻥ للدالة د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﻥ أكبر من ﺃ. ومن المهم ملاحظة أن هذا لا ينطبق إلا في حالات محددة. أولًا، يجب أن يكون التكامل من ﺃ إلى ﻥ للدالة د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ موجودًا. حيث هذا هو التكامل في الصيغة لدينا. كما يجب أن تكون نهاية هذا التكامل عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية موجودة كذلك. حيث هذه هي النهاية في الصيغة لدينا. ونستخلص من ذلك أنه في حالة وجود كل من التكامل والنهاية، يكون التكامل الذي أحد حديه ما لا نهاية، وهو التكامل الذي نريد إيجاد قيمته، تكاملًا متقاربًا. أما في حالة عدم وجود التكامل أو النهاية، فإن التكامل الذي أحد حديه ما لا نهاية يكون متباعدًا. وبناء عليه، خلاصة القول إن التكامل من ﺃ إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يتقارب إذا كان التكامل موجودًا ويساوي ثابتًا حقيقيًّا ما ﺙ. والتكامل من ﺃ إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يتباعد إذا كان التكامل غير موجود.

لنر الآن مثالًا لتكامل على هذه الصورة.

التكامل من واحد إلى ما لا نهاية لواحد على ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ متقارب. مم يتقارب؟

في هذه المسألة، نعلم أن هذا التكامل متقارب. وهذا يعني أن قيمة هذا التكامل تساوي ثابتًا ما. يمكننا إيجاد هذا الثابت باستخدام الصيغة التالية، التي تخبرنا أن التكامل من ﺃ إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للتكامل من ﺃ إلى ﻥ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. إذا نظرنا إلى التكامل لدينا، نلاحظ أن ﺃ يساوي واحدًا و د(ﺱ) يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة لدينا. وبهذا، نحصل على التكامل يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للتكامل من واحد إلى ﻥ لواحد على ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا البدء بإيجاد قيمة هذا التكامل. إذ يمكننا إعادة كتابة واحد على ﺱ تربيع على صورة ﺱ أس سالب اثنين. وبعد ذلك، يمكننا استخدام قاعدة القوى للتكامل. إذ نزيد القوة بمقدار واحد، ثم نقسم على القوة الجديدة. عند زيادة القوة بمقدار واحد، نحصل على ﺱ أس سالب واحد. ثم نقسم على القوة الجديدة. إذن، هذا يساوي سالب واحد. ويجب ألا ننسى أن الحدين هنا ﻥ وواحد. القسمة على سالب واحد هي نفسها الضرب في سالب واحد. وﺱ أس سالب واحد يساوي واحدًا على ﺱ. وعليه، يمكننا إعادة كتابة ﺱ أس سالب واحد على سالب واحد على صورة سالب واحد على ﺱ.

يمكننا الآن التعويض بالحدين لدينا. بما أن ﻥ هو الحد العلوي، عند التعويض به، تظل الإشارة كما هي. وبذلك، نحصل على سالب واحد على ﻥ. لكن، بما أن واحدًا هو الحد السفلي، فعلينا تغيير الإشارة عند التعويض به، وبذلك نحصل على ناقص سالب واحد على واحد. وبتبسيط هذا، نلاحظ أن التكامل يساوي واحدًا ناقص واحد على ﻥ. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذا الناتج في النهاية لدينا. والآن لدينا صورة التكامل من واحد إلى ما لا نهاية لواحد على ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لواحد ناقص واحد على ﻥ.

الآن يمكننا تقسيم هذه النهاية باستخدام قوانين النهايات. نعلم أن نهاية الفرق بين دالتين، لتكن د(ﺱ) ناقص ر ﺱ، تساوي الفرق بين نهايتي الدالتين؛ أي نهاية د(ﺱ) ناقص نهاية ر ﺱ. يمكننا تطبيق هذا على النهاية الموجودة لدينا بحيث نقول إنها تساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لواحد ناقص النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لواحد على ﻥ. ونظرًا لأن واحدًا لا يعتمد على ﻥ لأنه ثابت؛ فإن النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للواحد هي ببساطة واحد. ويمكننا التفكير في النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لواحد على ﻥ. فكلما اقترب ﻥ من ما لا نهاية، تصبح قيمة ﻥ أكبر فأكبر. وبناء عليه، فإن مقلوب ﻥ أو واحد على ﻥ يقترب من صفر أكثر فأكثر. وبذلك، يمكننا القول إن النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لواحد على ﻥ تساوي صفرًا. وبذلك نكون توصلنا إلى الحل، وهو أن التكامل من واحد إلى ما لا نهاية لواحد على ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يقترب من واحد؛ ومن ثم يساويه.

بعد ذلك، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة التكاملات التي أحد حديها يساوي ما لا نهاية كخطوة إضافية. ولكن، يمكننا تعديلها قليلًا حتى نتمكن من إيجاد قيمة التكاملات التي تختلف صورتها اختلافًا طفيفًا. لنفترض أن لدينا دالة د(ﺱ)، والتي تبدو بهذا الشكل تقريبًا. ولنفترض أنه مطلوب منا إيجاد التكامل من سالب ما لا نهاية إلى ﺃ لـ د(ﺱ). يمكن أن يكون ﺃ أي نقطة على المحور ﺱ. لنفترض أنها هنا. هذا التكامل يطلب منا إيجاد المساحة بين د(ﺱ) والمحور ﺱ من ﺃ حتى سالب ما لا نهاية. يشبه ذلك تمامًا التكاملات التي تقترب من موجب ما لا نهاية. يمكن أن يتقارب التكامل أحيانًا، وأن يتباعد أحيانًا أخرى. في الحالات التي يتقارب فيها التكامل، يمكننا القول إنه يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻥ إلى ﺃ للدالة د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﻥ أصغر من ﺃ.

تستخدم هذه الصيغة بطريقة مشابهة للصيغة التي رأيناها من قبل. ولكن الفرق الرئيسي بينهما هو أن الحد السفلي هو الحد اللانهائي ويساوي سالب ما لا نهاية. وفيما عدا ذلك، فإن هذه الصيغة تستخدم بطريقة مشابهة تمامًا للصيغة السابقة.

دعونا الآن نتناول مثالًا على كيفية استخدامها.

التكامل من سالب ما لا نهاية إلى صفر لاثنين أس ر بالنسبة إلى ر متقارب. مم يتقارب؟

نعرف صيغة لإيجاد قيم التكاملات على هذه الصورة. وتخبرنا أن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى ﺃ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻥ إلى ﺃ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. في المثال لدينا، يمكننا ملاحظة أن ﺃ يساوي صفرًا. وفي الحقيقة، نحن نكامل بالنسبة إلى ر بدلًا من ﺱ. لذا، فإن الدالة د(ﺱ)، أو في المثال لدينا، د(ر)، تساوي اثنين أس ر. يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة. لدينا الآن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى صفر لاثنين أس ر بالنسبة إلى ر يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻥ إلى صفر لاثنين أس ر بالنسبة إلى ر. لنبدأ بإيجاد قيمة هذا التكامل.

يمكننا الاستعانة بالمشتقة العكسية. إذا جربنا اشتقاق اثنين أس ر بالنسبة إلى ر، فإننا نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين مضروبًا في اثنين أس ر. بما أن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين هو عدد ثابت، يمكننا قسمة الطرفين عليه ووضعه بداخل التفاضل. وعندئذ، نحصل على مشتقة اثنين أس ر على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين يساوي اثنين أس ر. وبذلك، نكون حصلنا على المشتقة العكسية لاثنين أس ر. وهي اثنان أس ر على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

يمكننا استخدام ذلك لنقول إن التكامل من ﻥ إلى صفر لاثنين أس ر بالنسبة إلى ر يساوي اثنين أس ر على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين من ﻥ إلى صفر. بما أن صفر هو الحد العلوي، فعند التعويض به، تبقى الإشارة كما هي، وبذلك نحصل على اثنين أس صفر على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. وبما أن ﻥ هو الحد السفلي، فعند التعويض به، علينا تغيير الإشارة، فنحصل على سالب اثنين أس ﻥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. وبما أن أي عدد ذي قوة صفر يساوي واحدًا، يمكننا إعادة كتابته على صورة واحد.

وبذلك، نجد أن هذا التكامل يساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص اثنين أس ﻥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. يمكننا التعويض بقيمة هذا التكامل مرة أخرى في النهاية لدينا. يمكننا استخدام خصائص النهايات لتقسيم هذه النهاية. نعلم أن نهاية الفرق بين دالتين يساوي الفرق بين نهايتي الدالتين، وهو ما يعطينا أن النهاية لدينا تساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية لواحد على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية لاثنين أس ﻥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

في النهاية الأولى، نحسب نهاية واحد على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، الذي لا يعتمد على ﻥ. ومن ثم، فإن هذه النهاية تساوي ببساطة واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. يمكننا تطبيق خاصية أخرى من خصائص النهايات على النهاية الثانية. وهي أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتي الدالتين. في المقام، نوجد نهاية دالة ثابتة. إذن، المقام يساوي ببساطة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. في البسط، لدينا النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية لاثنين أس ﻥ. هنا تزداد القيمة السالبة لـ ﻥ أكثر فأكثر. وبالتالي، اثنان أس ﻥ سيقترب أكثر فأكثر من صفر. إذن، يمكننا القول إن النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية لاثنين أس ﻥ يجب أن تكون صفرًا. وبذلك، نكون توصلنا إلى الحل، وهو أن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى صفر لاثنين أس ر بالنسبة إلى ر يقترب من واحد على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين؛ ومن ثم يساويه.

بعد ذلك، سندمج الصيغتين اللتين عرضناهما حتى الآن في الفيديو لتكوين صيغة ثالثة. سنستخدم خاصية التكامل التي توضح لنا كيفية إجراء التكامل لدالة على تكاملات متجاورة، تخبرنا أن التكامل من ﺃ إلى ﺏ للدالة د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي التكامل من ﺃ إلى ﺟ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من ﺟ إلى ﺏ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. تخبرنا هذه الصيغة أننا إذا حاولنا إيجاد المساحة بين منحنى دالة ما د(ﺱ) والمحور ﺱ بين النقطتين ﺃ وﺏ، فإن هذه المساحة تساوي مجموعي المساحتين بين منحنى د(ﺱ) والمحور ﺱ على الفترة بين ﺃ وﺟ والفترة بين ﺟ وﺏ.

لنفكر في التكامل من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. إذا كان لدينا دالة ما د(ﺱ)، كما هو موضح هنا، فإن هذا التكامل يمثل المنطقة بين د(ﺱ) والمحور ﺱ، من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. وباستخدام خاصية التكاملات على فترات متجاورة، يمكننا تحديد أي قيمة ﺟ على المحور ﺱ. وبذلك، فإن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية يساوي مجموع التكاملين من سالب ما لا نهاية إلى ﺟ ومن ﺟ إلى موجب ما لا نهاية، وهو ما يعطينا الصيغة التالية، وهي أن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي التكامل من سالب ما لا نهاية إلى ﺟ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من ﺟ إلى موجب ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ.

لدينا الآن صيغتان لإيجاد قيمتي هذين التكاملين. يمكننا استخدامهما هنا للقول إن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻑ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻑ إلى ﺟ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للتكامل من ﺟ إلى ﻥ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. يجب أن يكون هنا ﻑ أقل من ﺟ وﻥ أكبر من ﺟ. هنا، استخدمنا الرمز ﻑ بدلًا من ﻥ في النهاية الأولى لتجنب الخلط بين النهايتين؛ لأن إحداهما تقترب من سالب ما لا نهاية والأخرى تقترب من موجب ما لا نهاية. ولنلاحظ أيضًا أن ﺟ يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. يمكننا الاستعانة بهذه الصيغة في حل المسألة التالية.

التكامل بين سالب ما لا نهاية وموجب ما لا نهاية لـ ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ متقارب. مم يتقارب؟

لدينا صيغة يمكن أن تساعدنا على إيجاد التكاملات بهذه الصورة. تنص الصيغة على أن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻑ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻑ إلى ﺟ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ زائد النهاية عند اقتراب ﻥ من موجب ما لا نهاية للتكامل من ﺟ إلى ﻥ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺟ يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. في المثال لدينا، د(ﺱ) يساوي ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺱ تربيع. يمكننا التعويض بهذه القيمة في الصيغة لدينا. يمكننا اختيار أي عدد حقيقي لـ ﺟ. لنفترض أن ﺟ يساوي صفرًا. لكن، يمكنك اختيار أي قيمة تريدها لـ ﺟ.

لنحاول الآن إيجاد قيمتي التكاملين. ويمكننا القيام بذلك من خلال محاولة إيجاد المشتقة العكسية لـ ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺱ تربيع. نلاحظ أن مشتقة ﻫ أس سالب ﺱ تربيع تساوي سالب اثنين ﺱﻫ أس سالب ﺱ تربيع. يمكننا قسمة طرفي المعادلة هذه على الحد الثابت سالب اثنين. ونحصل على هذا. لدينا في الطرف الأيمن حد ثابت مضروبًا في مشتقة. باستخدام قاعدة المشتقة للضرب في عدد ثابت، يمكننا نقل سالب نصف داخل المشتقة. وبذلك، نحصل على المشتقة العكسية لـ ﺱ في ﻫ أس سالب ﺱ تربيع. وهي سالب نصف ﻫ أس سالب ﺱ تربيع.

عند استخدام هذه المشتقة العكسية، يمكننا إيجاد قيمتي التكاملين داخل النهايتين لدينا. بعد ذلك، يمكننا التعويض بالحدين العلوي والسفلي. حصلنا على النهاية عند اقتراب ﻑ من سالب ما لا نهاية لسالب نصف مضروبًا في ﻫ أس سالب صفر تربيع ناقص سالب نصف مضروبًا في ﻫ أس سالب ﻑ تربيع. زائد النهاية عند اقتراب ﻥ من موجب ما لا نهاية لسالب نصف مضروبًا في ﻫ أس سالب ﻥ تربيع ناقص سالب نصف مضروبًا في ﻫ أس سالب صفر تربيع. بما أن ﻫ أس سالب صفر تربيع يساوي ﻫ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا، فإن سالب نصف مضروبًا في ﻫ أس سالب صفر تربيع يساوي سالب نصف. الآن، يمكننا الترتيب بضرب كل إشارتين سالبتين معًا لتعطينا إشارة موجبة.

بعد ذلك، نستخدم إحدى خصائص النهايات، التي تخبرنا أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي هاتين الدالتين. وبناء عليه، يمكننا تقسيم النهايتين بهذا الشكل. لدينا هنا نهايتان لحدين ثابتين. إذن، هاتان النهايتان تساويان ببساطة هذين الحدين الثابتين. وبناء عليه، فإن النهاية الأولى تساوي سالب نصف، والثانية تساوي نصفًا. وبناء عليه، عند جمع هذين الحدين معًا، فإنهما يحذفان معًا. علينا الآن الانشغال بهاتين النهايتين المتبقيتين. لنفكر في النهاية على اليسار أولًا.

كلما زادت قيمة ﻥ أكثر فأكثر، فإن قيمة سالب ﻥ تربيع ستزداد أكثر فأكثر لكن في الاتجاه السالب. ولذا، فإن قيمة ﻫ أس سالب ﻥ تربيع ستقترب من صفر أكثر فأكثر. وبناء عليه، يمكننا القول إن النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية لسالب نصف ﻫ أس سالب ﻥ تربيع تساوي صفرًا. وبالمثل، كلما ازدادت قيمة ﻑ أكثر فأكثر في الاتجاه السالب، فإن قيمة ﻑ تربيع ستزداد أكثر فأكثر في الاتجاه الموجب. وبذلك، ستزداد قيمة سالب ﻑ تربيع أكثر فأكثر في الاتجاه السالب. وعندما يحدث هذا، تقترب قيمة ﻫ أس سالب ﻑ تربيع من صفر أكثر فأكثر. إذن، هذه النهاية تساوي صفرًا أيضًا.

بما أننا حذفنا سالب نصف مع موجب نصف، وبما أن هاتين النهايتين تساويان صفرًا، يمكننا القول إن التكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية لـ ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يقترب من صفر؛ ومن ثم يساويه.

لقد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة حول كيفية إيجاد التكاملات التي حداها ما لا نهاية. لنلخص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو.

النقاط الرئيسية

التكامل من ﺃ إلى ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ما لا نهاية للتكامل من ﺃ إلى ﻥ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﻥ أكبر من ﺃ. والتكامل من سالب ما لا نهاية إلى ﺃ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻥ إلى ﺃ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﻥ أصغر من ﺃ. والتكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ، يساوي النهاية عند اقتراب ﻑ من سالب ما لا نهاية للتكامل من ﻑ إلى ﺟ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ، زائد النهاية عند اقتراب ﻥ من موجب ما لا نهاية للتكامل من ﺟ إلى ﻥ لـ د(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺟ يمثل أي عدد حقيقي. والتكامل الذي أحد حديه ما لا نهاية يتقارب في حال وجود النهاية ويتباعد في حال عدم وجودها.