فيديو السؤال: إيجاد قيم السلوك الطرفي للدوال الكسرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. يتكون هذا السؤال من ثلاثة أجزاء مختلفة. لنبدأ بالجزء الأول. بالنظر إلى التمثيل البياني والتعويض بقيم أكبر لـ ﺱ على التوالي في الدالة، ما السلوك الطرفي لمنحنى الدالة عند تزايد ﺱ على طول الاتجاه الموجب للمحور ﺱ؟ (أ) تقترب قيمة ﺹ من ∞ عند تزايد ﺱ. (ب) تقترب قيمة ﺹ من سالب ∞ عند تزايد ﺱ. (ج) تقترب قيمة ﺹ من الصفر عند تزايد قيمة ﺱ.

يطلب منا هذا الجزء تحديدًا النظر إلى الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. وهذا يعني النظر إلى هذه المنطقة. علينا معرفة ما يحدث لقيم ﺹ أثناء تحركنا من اليسار إلى اليمين على طول الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. نلاحظ هنا أن قيم ﺹ تتناقص. ومن ثم، يمكننا القول إن قيم ﺹ لا تقترب من ∞. وهذا يعني أننا بحاجة إلى الإجابة عن هذا السؤال: هل هذه القيم تقترب من سالب ∞ أم من صفر؟

للإجابة عن ذلك، يمكننا التعويض ببعض القيم الأكبر عن ﺱ. نحن نعرف أن ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. إذا عوضنا عن قيمة ﺱبـ ١٠، فسنجد أن ﺹ يساوي عشرًا. وإذا كتبنا ذلك على صورة عدد عشري، فسيكون لدينا ٠٫١. أما إذا عوضنا بـ ١٠٠ عن قيمة ﺱ، فإن ﺹ يساوي واحدًا على ١٠٠. وإذا كتبنا ذلك على صورة عدد عشري، فسيكون لدينا ٠٫٠١. يبدو أن هذه القيم تقترب أكثر فأكثر من الصفر. وهذا منطقي لأن قيمة ﺱ يجب أن تكون موجبة لأننا نتناول القيم الموجبة لـ ﺱ فقط. وإذا كانت قيمة ﺱ موجبة، فلا يمكن أن يكون واحدًا على ﺱ سالبًا. وكلما زادت قيمة ﺱ، اقترب الكسر واحد على ﺱ أكثر فأكثر من الصفر، ما يعني أن الخيار (ج) صحيح. أي تقترب قيمة ﺹ من الصفر عند تزايد قيمة ﺱ.

يقول الجزء الثاني من السؤال: بالمثل، ما السلوك الطرفي لمنحنى الدالة عند تناقص ﺱ؟ (أ) تقترب قيمة ﺹ من الصفر. (ب) تقترب قيمة ﺹ من ∞. (ج) تقترب قيمة ﺹ من سالب ∞.

هذه المرة، سنبدأ من ﺱ يساوي صفرًا ونتحرك في اتجاه اليسار. سنتناول قيم ﺱ السالبة. كلما تحركنا أكثر فأكثر إلى اليسار، حصلنا على المزيد والمزيد من القيم السالبة. وهذه هي أصغر قيم يمكن أن تكون لـ ﺱ. هذه المرة، مع التحرك إلى اليسار، نجد أن قيمة ﺹ تتزايد. أي إن قيمتها تزداد لأعلى. لنفكر إذن في الدالة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. إذا عوضنا بسالب ١٠ عن ﺱ، فإن ﺹ يساوي سالب عشر. إذا كتبنا ذلك على صورة عدد عشري، فسيكون لدينا سالب ٠٫١. وإذا جعلنا قيمة ﺱ أصغر بكثير، فيمكننا أن نعوض بسالب ١٠٠. حيث إن سالب ١٠٠ أصغر من سالب ١٠؛ لأن سالب ١٠٠ يقع على يسار سالب ١٠ على خط الأعداد. وإذا كتبنا سالب واحد على ١٠٠ على صورة عدد عشري، فسنحصل على سالب ٠٫٠١.

عند النظر إلى هاتين القيمتين، نجد صعوبة في ملاحظة ما يحدث. لكن يمكننا استبعاد خيار واحد. يمكننا استبعاد الخيار (ب) الذي ينص على أن قيمة ﺹ تقترب من ∞. وذلك لأنه إذا كانت الدالة تساوي واحدًا على ﺱ، ونحن نعوض بقيم سالبة عن ﺱ، فسيكون الناتج سالبًا، ومن ثم لن يقترب من موجب ∞. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال. نرى هنا أن هذا المنحنى يقترب أكثر فأكثر من المحور ﺱ، والمحور ﺱ هو الموضع الذي عنده ﺹ يساوي صفرًا. وسالب ٠٫٠١ أصغر من سالب عشر. سالب ٠٫٠١ يعتبر أقرب إلى الصفر. وبذلك، يمكننا القول إن السلوك الطرفي عند تناقص ﺱ هو قيمة ﺹ تقترب من الصفر.

في الجزء (ج) من السؤال: أخيرًا، من خلال تفسير التمثيل البياني، ما الذي يحدث للدالة عند اقتراب قيمة ﺱ من الصفر؟

علينا أن نتذكر أن ﺱ يمكن أن يقترب من الصفر إما من الجهة اليمنى وإما من الجهة اليسرى. وهذا مهم لأنه أحيانًا يختلف السلوك عندما يقترب ﺱ من الصفر من كلا جانبي النقطة. عندما يقترب ﺱ من الصفر من الاتجاه الموجب، نجد أن المنحنى يتجه لأعلى. عندما يقترب ﺱ من الصفر من الاتجاه السالب، نجد أن التمثيل البياني يتجه لأسفل. عند اتجاه المنحنى لأعلى، يمكننا القول إنه يقترب من موجب ∞. وعند اتجاه المنحنى لأسفل فإنه يقترب من سالب ∞. إذن، يمكننا القول إن قيمة ﺹ تقترب من سالب ∞ عند اقتراب ﺱ من الصفر من الاتجاه السالب، وتقترب قيمة ﺹ من موجب ∞ عند اقتراب ﺱ من الصفر من الاتجاه الموجب.

وبذلك، رأينا أربعة سلوكيات مختلفة. عند تناقص قيمة ﺱ، تقترب قيم ﺹ من الصفر. عند تزايد قيمة ﺱ، تقترب قيم ﺹ من الصفر. عند اقتراب قيمة ﺱ من الصفر من الاتجاه السالب، تتجه قيم ﺹ نحو سالب ∞. وعند اقتراب قيمة ﺱ من الصفر من الاتجاه الموجب، تتجه قيم ﺹ إلى موجب ∞.