فيديو السؤال: إيجاد القوى السالبة لتعبير يتضمن الجذور التكعيبية للعدد واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة خمسة زائد خمسة 𝜔 زائد سبعة 𝜔 تربيع الكل أس سالب أربعة؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

في هذا السؤال، نعلم أن الحد 𝜔 يمثل أحد الجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد. الجذور التكعيبية للعدد واحد هي حلول الجذر التكعيبي لواحد. بعبارة أخرى، هي الأعداد التي تساوي واحدًا عند تكعيبها. الحل البديهي للجذر التكعيبي للواحد هو واحد. لكن ربما تكون على دراية بالحلين الآخرين، وهما سالب واحد زائد جذر ثلاثة ﺕ الكل مقسوم على اثنين، وسالب واحد ناقص جذر ثلاثة ﺕ الكل مقسوم على اثنين؛ حيث ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد.

في هذا الفيديو، لن نتطرق إلى كيفية حساب هذين الجذرين، لكن نلاحظ أن لدينا عددًا حقيقيًّا واحدًا وعددين مركبين. للإجابة عن هذا السؤال، سنوضح أولًا خاصية مثيرة للاهتمام لهذين الجذرين المركبين. هذه الخاصية هي أن مربع أحد الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد يساوي الجذر التكعيبي المركب الآخر للعدد واحد.

لإثبات ذلك، دعونا نختر أحد الجذرين التكعيبيين المركبين للعدد واحد ونعرفه بـ 𝜔. نبدأ بأخذ نصف عاملًا مشتركًا ثم نربع الأقواس لإيجاد معادلة لـ 𝜔 تربيع. يمكننا الآن تبسيط المقدار؛ نصف تربيع يساوي ربعًا، ونفك مربع ذي الحدين في القوسين على اليسار. وبإجراء مزيد من التبسيط، يصبح لدينا ربع مضروب في واحد ناقص اثنين جذر ثلاثة ﺕ زائد ثلاثة ﺕ تربيع.

بتذكر أن ﺕ هو الجذر التربيعي لسالب واحد، فإن ﺕ تربيع يجب أن يساوي سالب واحد. ومن ثم، فإن ثلاثة ﺕ تربيع يساوي سالب ثلاثة. لدينا الآن 𝜔 تربيع يساوي ربعًا مضروبًا في سالب اثنين ناقص اثنين جذر ثلاثة ﺕ. بأخذ اثنين عاملًا مشتركًا من القوسين، يمكننا إعادة كتابة 𝜔 تربيع في صورة سالب واحد ناقص جذر ثلاثة ﺕ الكل مقسوم على اثنين.

وهذا يطابق بالفعل الجذر التكعيبي المركب الآخر للعدد واحد. جدير بالذكر الآن أن العلاقة ستظل صحيحة إذا اخترنا الجذر التكعيبي المركب الآخر للعدد واحد عوضًا عن هذا الجذر باعتباره 𝜔. وعلى الرغم من أننا لن نجري خطوات العملية الحسابية نفسها في هذا الفيديو، فإنه إذا كان 𝜔 يساوي سالب واحد ناقص جذر ثلاثة ﺕ الكل مقسوم على اثنين، فإن 𝜔 تربيع سيساوي سالب واحد زائد جذر ثلاثة ﺕ الكل مقسوم على اثنين.

إذن، نستنتج أنه يمكن تعريف الجذور التكعيبية المركبة الثلاثة للعدد واحد على أنها واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع.

لنعد الآن إلى التعبير المعطى في السؤال. أول شيء يمكننا فعله هو أخذ خمسة عاملًا مشتركًا من أول حدين داخل القوسين. بعد ذلك، سنحاول إيجاد تعويض مناسب يساعدنا في متابعة الحل. لقد عرفنا 𝜔 و𝜔 تربيع بأنهما الجذران التكعيبيان المركبان للعدد واحد اللذان لدينا. وبما أننا نعرف قيمة هذين الجذرين، يمكننا كتابة معادلة لمجموع 𝜔 زائد 𝜔 تربيع.

يتيح لنا تقسيم الكسرين إلى حدودهما الفردية تبسيط المعادلة. بفعل ذلك نجد أن 𝜔 زائد 𝜔 تربيع يساوي سالب واحد. يمكننا الآن إعادة ترتيب هذه المعادلة لنجعلها ملائمة لإجراء التعويض. بجمع واحد وطرح 𝜔 تربيع من الطرفين، نحصل على 𝜔 زائد واحد أو واحد زائد 𝜔 يساوي سالب 𝜔 تربيع.

يمكننا بعد ذلك استخدام هذه العلاقة للتعويض في التعبير. بفعل ذلك، نحصل على خمسة مضروبًا في سالب 𝜔 تربيع زائد سبعة 𝜔 تربيع الكل أس سالب أربعة. يحتوي التعبير الآن على حدين لـ 𝜔 تربيع فقط. ويمكن تبسيط ذلك إلى اثنين 𝜔 تربيع أس سالب أربعة.

بعد ذلك، يمكننا رفع ما بداخل القوسين إلى الأس سالب أربعة. هذا يعطينا اثنين أس سالب أربعة مضروبًا في 𝜔 تربيع أس سالب أربعة. باستخدام قاعدة القوى للأسس، نضرب اثنين في سالب أربعة، ليتبقى لدينا اثنان أس سالب أربعة مضروبًا في 𝜔 أس سالب ثمانية.

يمكننا تبسيط اثنين أس سالب أربعة إلى واحد على اثنين أس أربعة، وهو ما يساوي واحدًا على ١٦. سيكون تبسيط 𝜔 أس سالب ثمانية أكثر تعقيدًا. من التعريف، نعلم أن تكعيب أي جذر تكعيبي للعدد واحد سيعطينا واحدًا. وبما أن 𝜔 أحد هذه الجذور، فإن 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا. وبما أن هذا صحيح، فلنر ما يحدث عندما نرفع 𝜔 تكعيب إلى أي أس صحيح ﻥ. بما أن واحدًا أس ﻥ يساوي واحدًا، يمكننا القول إن 𝜔 تكعيب مرفوعًا لأي أس ﻥ سيساوي واحدًا أيضًا.

مرة أخرى، باستخدام قاعدة القوى للأسس، نجد أن 𝜔 أس ثلاثة ﻥ يساوي واحدًا. بمعلومية هذه الحقيقة، نعلم أن ضرب أي عدد في 𝜔 أس ثلاثة ﻥ هو نفسه الضرب في واحد، وسيظل العدد كما هو. إذا نظرنا إلى الحالة التي فيها ﻥ يساوي ثلاثة، فإننا نعلم أن 𝜔 أس ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، أو 𝜔 أس تسعة، يساوي واحدًا. ويمكننا استخدام ذلك لتبسيط 𝜔 أس سالب ثمانية.

سنكتب معادلة نضرب فيها 𝜔 أس سالب ثمانية في 𝜔 أس تسعة. وهذا يماثل ضرب 𝜔 أس سالب ثمانية في واحد؛ ومن ثم فهو يساوي 𝜔 أس سالب ثمانية.

باستخدام قانون آخر من قوانين الأسس، يمكننا جمع القوى الموجودة في الطرف الأيمن. وبما أن سالب ثمانية زائد تسعة يساوي واحدًا، نجد أن 𝜔 أس سالب ثمانية يساوي 𝜔. يمكننا الآن التعويض بذلك في التعبير الأصلي. اثنان أس سالب أربعة مضروبًا في 𝜔 أس سالب ثمانية يساوي واحدًا على ١٦ 𝜔.

باستخدام معرفتنا بالجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد، وجدنا أن خمسة زائد خمسة 𝜔 زائد سبعة 𝜔 تربيع الكل أس سالب أربعة يساوي واحدًا على ١٦ 𝜔.