نسخة الفيديو النصية
اعتبر أن 𝜔 أحد الجذور النونية للعدد واحد. أي من الآتي يمثل العلاقة الصحيحة بين 𝜔 أس سالب واحد و𝜔؟ هل هي: (أ) 𝜔 أس سالب واحد يساوي سالب 𝜔؟ (ب) 𝜔 أس سالب واحد هو مرافق العدد المركب لـ 𝜔؟ (ج) 𝜔 أس سالب واحد يساوي 𝜔؟ أم (د) 𝜔 أس سالب واحد هو سالب مرافق العدد المركب لـ 𝜔؟ عبر عن 𝜔 أس سالب واحد بدلالة قوى موجبة لـ 𝜔.
نعلم من المعطيات أن 𝜔، وهو عدد مركب، يمثل جذرًا نونيًّا للعدد واحد. نتذكر أنه إذا كان العدد المركب 𝜔 هو جذرًا نونيًّا للعدد واحد، فإنه حل المعادلة: 𝜔 أس ﻥ يساوي واحدًا. وذلك لعدد صحيح موجب ﻥ. يتكون هذا السؤال من جزأين. الأول هو إيجاد العلاقة الصحيحة بين 𝜔 أس سالب واحد و𝜔، ثم مطلوب منا التعبير عن 𝜔 أس سالب واحد بدلالة قوى موجبة لـ 𝜔. لذا دعونا ننظر أولًا إلى الجزء الأول.
نعرف أن 𝜔 هو جذر نوني للعدد واحد. تذكر أنه وفقًا لنظرية ديموافر، يمكننا التعبير عن هذه الجذور في الصورة الأسية؛ أي 𝜔 يساوي ﻫ أس ﺕ𝜃؛ حيث 𝜃 يساوي اثنين ﻙ𝜋 على ﻥ، وﻙ يأخذ القيم من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. وبما أننا نريد معرفة العلاقة بين 𝜔 و𝜔 أس سالب واحد، فإنه يمكننا أيضًا التعبير عن 𝜔 أس سالب واحد على الصورة الأسية. 𝜔 أس سالب واحد يساوي ﻫ أس سالب ﺕ𝜃؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر. وهذا يساوي ﻫ أس ﺕ في سالب 𝜃. والآن إذا نظرنا إلى هذا التعبير في صورته المثلثية، نجد أن 𝜔 أس سالب واحد يساوي جتا سالب 𝜃 زائد ﺕ في جا سالب 𝜃.
يمكننا الآن استخدام حقيقة أنه للزاوية 𝜃، جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃، وجا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃؛ بحيث يكون 𝜔 أس سالب واحد يساوي جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃 على الصورة المثلثية. وهذا ببساطة مرافق العدد المركب لـ 𝜔؛ لأن 𝜔 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 على الصورة المثلثية. وعليه، فإن 𝜔 أس سالب واحد هو مرافق العدد المركب 𝜔؛ أي إنه الخيار (ب) 𝜔 أس سالب واحد يساوي مرافق العدد المركب لـ 𝜔.
يمكننا التحقق من عدم انطباق أي من الخيارات الأخرى. على سبيل المثال، الخيار (أ) يشير إلى أن 𝜔 أس سالب واحد يساوي سالب 𝜔. لكن يمكننا أن نلاحظ من الصورة الأسية أن هذا غير صحيح، لذا يمكننا استبعاد الخيار (أ). الخيار (ج) 𝜔 أس سالب واحد يساوي 𝜔. وهذا ليس صحيحًا أيضًا؛ لأن لدينا ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 مقابل ﻫ أس ﺕ𝜃، ومن ثم فإن قيمتيهما غير متساويتين، ويمكننا استبعاد الخيار (ج). الخيار (د) ينص على أن 𝜔 أس سالب واحد هو سالب مرافق العدد المركب لـ 𝜔. ولكن سالب مرافق العدد المركب لـ 𝜔 هو سالب جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃؛ أي سالب واحد في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، وهو لا يساوي 𝜔 أس سالب واحد. لذا يمكننا استبعاد الخيار (د).
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا التعبير عن 𝜔 أس سالب واحد بدلالة قوى موجبة لـ 𝜔. يمكننا النظر مرة أخرى إلى الصورة الأسية، لكن دعونا ننظر بدلًا من ذلك إلى ما نعنيه بـ 𝜔 أس سالب واحد بدلالة القوى أو الأسس. نعلم أن قوانين الأسس للأعداد الحقيقية تخبرنا بأن ﺃ أس سالب واحد يساوي واحدًا على ﺃ إذا كان ﺃ عددًا حقيقيًّا. في الواقع، ينطبق هذا أيضًا على الأعداد المركبة. وعليه، فإن 𝜔 أس سالب واحد يساوي واحدًا على 𝜔. وبالطبع، 𝜔 لا يساوي صفرًا أبدًا؛ لأن الصفر لا يمكن أبدًا أن يكون جذرًا للعدد واحد.
لكن دعونا ننظر مرة أخرى إلى المعادلة: 𝜔 أس ﻥ يساوي واحدًا. إذا قسمنا كلا الطرفين على 𝜔، يصبح لدينا: 𝜔 أس ﻥ على 𝜔 يساوي واحدًا على 𝜔. لكن هذا يساوي 𝜔 أس سالب واحد. إذا كتبنا هذا التعبير كاملًا، فسيكون لدينا: 𝜔 أس ﻥ على 𝜔 يساوي 𝜔 في نفسه ﻥ من المرات على 𝜔. يمكننا تبسيط هذا بحذف 𝜔 من المقام مع 𝜔 من البسط. فيصبح لدينا في البسط 𝜔 مضروبًا في نفسه ﻥ ناقص واحد من المرات، وواحد في المقام؛ وهو ما يساوي 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد، مما يجعل 𝜔 أس سالب واحد يساوي 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد.
تذكر أن ﻥ عدد صحيح موجب، ولأي ﻥ أكبر من واحد، فإنه يكون لدينا 𝜔 أس سالب واحد بدلالة أس موجب لـ 𝜔. وإذا كان ﻥ يساوي واحدًا، فإن لدينا ﻥ ناقص واحد يساوي صفرًا. إذن في هذه الحالة، في هذه المعادلة، 𝜔 أس ﻥ يساوي واحدًا؛ وذلك هو الجذر النوني للعدد واحد. ذلك يعني أن 𝜔 هو الجذر الأول للعدد واحد، وهو يساوي واحدًا. إذن، إذا كان 𝜔 هو الجذر النوني للعدد واحد، فإن 𝜔 أس سالب واحد هو مرافق العدد المركب لـ 𝜔؛ أي ما جاء في الخيار (ب)، و𝜔 أس سالب واحد بدلالة قوى موجبة لـ 𝜔 يساوي 𝜔 أس ﻥ ناقص واحد.
