فيديو السؤال: إيجاد قيمة ‪𝑘‬‏ التي تحقق الترابط الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يمكن استخدام الدالتين الآتيتين لتمثيل موجتين ضوئيتين. ‏‪(i) 𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝜋‬‏ على اثنين. ‏‪(ii) 𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪sin 𝑘𝑥‬‏ زائد ‪𝜋‬‏ على اثنين. ما قيمة ‪𝑘‬‏ التي تجعل هاتين الموجتين مترابطتين؟

يطلب منا هذا السؤال بالأساس النظر إلى الأجزاء المختلفة لكل دالة وتحديد ما يجب أن تكون عليه قيمة ‪𝑘‬‏ في الدالة الثانية. لكن يوجد العديد من الأجزاء المختلفة بالإضافة إلى الجزء الذي يتضمن ‪𝑘‬‏ فقط. ولكي نتمكن من فهمها، يمكننا مقارنتها بالمعادلة العامة للموجة الجيبية. وهي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐴 sin 𝑘𝑥‬‏ زائد ‪𝜙‬‏؛ حيث ‪𝐴‬‏ سعة الموجة. و‪𝑘‬‏ تتعلق بالتردد، وكلما زادت قيم ‪𝑘‬‏ زاد التردد. ويشير الحرف اللاتيني ‪𝜙‬‏ إلى طور الموجة التي يتم التعبير عنها عادة بالدرجات، مثل 90 درجة أو 270 درجة، أو يتم التعبير عنها بالراديان، مثل ‪𝜋‬‏ على اثنين أو ‪𝜋‬‏.

يمكن أن يساعدنا استخدام هذه المعادلة العامة للموجة الجيبية في تحديد خواص الموجتين الناتجتين عن هاتين الدالتين؛ حتى نتمكن من تحديد قيمة ‪𝑘‬‏ التي تجعل هاتين الموجتين مترابطتين. تكون الموجات مترابطة عندما يكون لها التردد نفسه وفرق طور ثابت. ولا تعنينا أي خواص أخرى للموجات عند تحديد إذا ما كانت الموجات مترابطة أم لا. يعني هذا أنه بالرجوع إلى معادلة الموجة هنا، فإننا لن نهتم إلا بالمتغير ‪𝑘‬‏ الذي يتعلق بالتردد، وبـ ‪𝜙‬‏، وهو الطور. ولا يهمنا المتغير ‪𝐴‬‏، أي السعة، على الإطلاق عند تحديد إذا ما كانت هاتان الموجتان مترابطتين أم لا.

إذن، عندما ننظر مرة أخرى إلى الدالتين، فيمكننا تجاهل الفرق بين اثنين في الدالة الأولى، وخمسة في الدالة الثانية. فهما غير مهمين في تحديد إذا ما كانت الموجتان مترابطتين أم لا. وبدلًا من ذلك، دعونا نلق نظرة على قيمتي ‪𝑘‬‏ اللتين تمثلان قيمتين تتعلقان بالتردد في هاتين الدالتين. وهما ثلاثة في الدالة الأولى، و‪𝑘‬‏ في الدالة الثانية. لكي تكون هاتان الدالتان مترابطتين، لا بد أن يكون لهما التردد نفسه، وهو ما يعني أن قيمتي ‪𝑘‬‏ فيهما لا بد أن تكونا متساويتين، ما يعني في هذه الحالة أن ‪𝑘‬‏ لا بد أن يساوي ثلاثة. وهذا يحقق شرط أن الموجتين الناتجتين عن هاتين الدالتين لهما التردد نفسه.

لكن حتى وإن كان لهما التردد نفسه، فلا يزال علينا التأكد من أن لهما فرق طور ثابتًا؛ كي تكونا مترابطتين. لكن هذه ليست مشكلة؛ لأن قيمتي ‪𝜙‬‏، أي الطور، في الدالتين الأولى والثانية متساويتان، وهما ‪𝜋‬‏ على اثنين. هذا يعني أن لهما فرق طور ثابتًا؛ لأن لهما الطور نفسه. وفي الواقع، حتى إذا كانت قيمتا ‪𝜙‬‏ مختلفتين في هاتين الدالتين، فستظلان مترابطتين؛ لأن ما يهم هو إن كان فرق الطور ثابتًا أم لا.

إذن، إذا كانت هناك موجتان فقط، وكانتا منتظمتين؛ ما يعني أنهما تعطيان بدالتين مثل هاتين، وكانتا تتبعان بوجه عام نمطًا موجيًّا مستقرًّا ومتسقًا على عكس الموجة الموضحة هنا، عندئذ سيكون فرق الطور بينهما ثابتًا وتكونان مترابطتين كلًّا منهما مع الأخرى، بشرط أن يكون لهما التردد نفسه أيضًا؛ ما يعني أن قيمة ‪𝑘‬‏، التي تجعل الموجتين اللتين تعطيان بهاتين الدالتين مترابطتين كلًّا منهما مع الأخرى، تساوي ثلاثة.