نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني لـ ﺩ ﺱ تساوي ربعًا في ﺱ ناقص اثنين تربيع في ﺱ زائد واحد. احسب مساحة الجزء المظلل، مع كتابة الإجابة في صورة كسر.
لحساب المساحة بين منحنى والمحور ﺱ، علينا حساب التكامل للدالة بالنسبة إلى ﺱ. في الحالة لدينا، سنحسب تكامل الدالة ربع في ﺱ ناقص اثنين تربيع في ﺱ زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ. وذلك بين الحدين اثنين وسالب واحد؛ حيث إنهما يمثلان قيمتي ﺱ للحدين العلوي والسفلي للمساحة المطلوبة.
لكن علينا أن ننتبه قليلًا، فتكامل دالة تقع مساحتها أسفل المحور ﺱ سيعطينا قيمة سالبة. ومن ثم، فإننا سنركز في الحالة لدينا على المساحة أعلى المحور ﺱ. هذا يعني أننا سنوجد قيمة التكامل هنا فقط. وأسهل طريقة لإيجاد تكامل هذه الدالة، هي توزيع الأقواس. يمكننا أيضًا التعويض عن ﻉ بـ ﺱ ناقص اثنين، لكن الأبسط هنا هو توزيع هذه الأقواس فقط. لذا دعونا نفعل ذلك.
سنبدأ بتوزيع ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع. وتذكر أنه لفعل هذا، علينا كتابته في صورة زوجين من الأقواس مضروبين معًا، وهما ﺱ ناقص اثنين وﺱ ناقص اثنين. ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. سنضرب الحدين الخارجيين. وهذا يعطينا سالب اثنين ﺱ. وبضرب الحدين الداخليين، نحصل على سالب اثنين ﺱ مرة أخرى. وسنضرب الحدين الأخيرين، لنحصل بذلك على موجب أربعة. وبهذا، نجد أن ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة.
سنضرب الآن هذا التعبير بالكامل في ﺱ زائد واحد، وعلينا التأكد من ضرب كل حد بين أول قوسين في كل حد بين ثاني قوسين. وإحدى طرق إجراء ذلك هي استخدام طريقة الشبكة. ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع يساوي ﺱ تكعيب. وﺱ تربيع مضروبًا في واحد يساوي ﺱ تربيع. ﺱ مضروبًا في سالب أربعة ﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ تربيع. وسالب أربعة ﺱ مضروبًا في واحد يساوي سالب أربعة ﺱ. ﺱ مضروبًا في أربعة يساوي أربعة ﺱ. وأربعة مضروبًا في واحد يساوي أربعة. إذا جمعنا الحدود المتشابهة، فسنجد أن ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع مضروبًا في ﺱ زائد واحد يساوي ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة.
علينا الآن أن نحسب تكامل ربع في ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ بين الحدين اثنين وسالب واحد كما ذكرنا من قبل. في الواقع، عندما يكون لدينا دالة في المتغير ﺱ مضروبة في ثابت، قد يكون من الأسهل وضع هذا الثابت خارج علامة التكامل. ويمكننا هنا فعل ذلك. يمكننا الضرب في ربع في نهاية العملية الحسابية بدلًا من إجراء ذلك في بدايتها.
دعونا إذن نوجد تكامل ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة. لحساب تكامل ﺱ تكعيب، نضيف واحدًا إلى الأس. وبهذا يصبح لدينا ﺱ أس أربعة. وسنقسم ذلك على الأس الجديد. ونجد عندئذ أن ﺱ تكعيب يصبح ﺱ أس أربعة مقسومًا على أربعة. سالب ثلاثة ﺱ تربيع يصبح سالب ثلاثة ﺱ تكعيب مقسومًا على ثلاثة؛ أي ببساطة سالب ﺱ تكعيب. وتكامل أربعة يساوي أربعة ﺱ. تذكر أننا لا نحتاج إلى ثابت التكامل عند إيجاد التكامل بين حدين.
كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة التكامل بين الحدين اثنين وسالب واحد. لذا، سنعوض باثنين وسالب واحد في التعبير لدينا وسنوجد الفرق بينهما. بالتعويض باثنين، نحصل على اثنين أس أربعة مقسومًا على أربعة ناقص اثنين تكعيب زائد أربعة مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. في الجزء الثاني، يصبح لدينا سالب واحد أس أربعة مقسومًا على أربعة ناقص سالب واحد تكعيب زائد أربعة مضروبًا في سالب واحد. وهذا يبسط إلى سالب ١١ على أربعة. بكتابة كل ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٢٧ على ١٦. إذن، يمكننا قول إن مساحة الجزء المظلل تساوي ٢٧ على ١٦ وحدة مربعة.
