فيديو السؤال: حل المسائل المتعددة الخطوات التي تتضمن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طول مجهول الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الآتي، ﺃﺏ يساوي ستة، وﺃﺩ يساوي ثلاثة، وقياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٣٣ درجة. احسب طول ﺏﺟ. قرب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين.

أولًا، دعنا نكتب المعطيات الواردة في المسألة على الشكل. والآن، لنلق نظرة عن قرب على هذا الشكل. يتكون الشكل من مثلثين قائمي الزاوية لهما ضلع مشترك، وهو ﺏﺩ. في المثلث الأيسر، معلوم لدينا طولا ضلعين. وفي المثلث الأيمن، معلوم لدينا قياس زاوية واحدة.

الضلع المطلوب منا حساب طوله، وهو ﺏﺟ، موجود في المثلث الثاني الذي ليس لدينا حاليًا سوى معلومة واحدة عنه. لإيجاد طول هذا الضلع، يجب أن تتوفر لدينا معلومتان على الأقل عن المثلث الموجود فيه. إذن، علينا الاستفادة من حقيقة أن المثلثين يشتركان في الضلع ﺏﺩ.

لنبدأ بالمثلث ﺃﺏﺩ. كما قلنا، هذا مثلث قائم الزاوية. ونعرف طول ضلعين فيه. وبالتالي، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في هذا المثلث، ﺏﺩ تربيع زائد ثلاثة تربيع يساوي ستة تربيع. وهذه معادلة يمكننا حلها لإيجاد طول الضلع ﺏﺩ.

بحساب ثلاثة تربيع وستة تربيع، نجد أن ﺏﺩ تربيع زائد تسعة يساوي ٣٦. وبطرح تسعة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺏﺩ تربيع يساوي ٢٧. وكخطوة أخيرة في هذه المرحلة، بحساب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، نجد أن ﺏﺩ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٧.

يمكننا إيجاد هذه القيمة في صورة عدد عشري، ولكنها قيمة ستحتاج إلى تقريب، ومن ثم فهي ليست غير دقيقة. لذا، سأبقي هذه القيمة كجذر أصم مؤقتًا. نعرف الآن طول الضلع ﺏﺩ. لننتقل الآن إلى المثلث الثاني الموجود على اليمين. بالإضافة إلى الزاوية القائمة، أصبح لدينا الآن زاوية معلومة وضلع معلوم. ونريد حساب طول الضلع الثاني في هذا المثلث.

يمكننا استخدام حساب المثلثات للقيام بذلك. الخطوة الأولى هي تسمية أضلاع المثلث الثلاثة من حيث علاقتها بالزاوية البالغ قياسها ٣٣ درجة. ﺏﺟ هو الوتر، وﺟﺩ هو الضلع المجاور، وﺏﺩ هو الضلع المقابل. تذكر أننا نريد إيجاد طول ﺏﺟ. نعرف طول الضلع المقابل؛ وهو الضلع ﺏﺩ. ونريد إيجاد طول الوتر.

لذا، إذا تذكرنا تعريفات النسب المثلثية الثلاث للمثلث القائم الزاوية، فسنجد أن علينا استخدام نسبة الجيب. تنص نسبة الجيب على أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. والآن، لنعوض بقيم هذا المثلث. لدينا جا ٣٣ درجة يساوي جذر ٢٧ على ﺏﺟ.

هذا هو سبب احتفاظي بتلك القيمة كجذر تربيعي بدلًا من تحويلها إلى عدد عشري؛ لأنني كنت أعلم أنني سأستخدمها في الخطوة التالية من العملية الحسابية. نريد الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏﺟ. سأضرب في ﺏﺟ أولًا؛ لأنه موجود حاليًا في مقام الكسر.

يعطينا هذا ﺏﺟ في جا ٣٣ درجة يساوي جذر ٢٧. بعد ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على جا ٣٣ درجة، وهو مجرد عدد. ومن ثم يصبح لدينا ﺏﺟ يساوي جذر ٢٧ على جا ٣٣ درجة.

يمكننا الآن حساب هذا باستخدام الآلة الحاسبة. وهذه هي المرة الأولى في المسألة التي احتجنا فيها إلى استخدام الآلة الحاسبة. هذا يساوي ٩٫٥٤٠٥٤ وتستمر الأرقام بعد الفصلة العشرية إلى ما لا نهاية. طلب منا في المسألة تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. لذا، علينا تقريب هذه القيمة.

إذن، طول ﺏﺟ مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين هو ٩٫٥٤. ولا توجد وحدة قياس بعد هذه القيمة؛ نظرًا لعدم وجود أي وحدات معطاة في المسألة.