نسخة الفيديو النصية
ضرب المصفوفات في عدد ثابت
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نضرب أي مصفوفة في أي كمية قياسية؛ أي في عدد حقيقي، وسوف نتعرف على الخواص والنتائج التي نحصل عليها من هذا التعريف. قبل أن نبدأ في عمليات ضرب المصفوفات في كمية قياسية، يمكننا أن نتذكر أننا قد تعرفنا بالفعل على نوع الضرب في كمية قياسية من قبل. فنحن نعلم كيف نستخدم عملية الضرب في كمية قياسية على المتجهات. انظر إلى المتجه ثلاثة، سالب أربعة. نحن نعرف كيف نضرب هذا المتجه في أي عدد حقيقي. على سبيل المثال، يمكننا ضربه في خمسة. ونعلم أنه لضرب أي متجه في العدد خمسة، علينا ضربه في مركباته. بعبارة أخرى، علينا ضرب كل مركبة في خمسة.
إذن، بضرب كل مركبة في خمسة، فإننا نحصل على مركبة أفقية جديدة تساوي خمسة في ثلاثة، ومركبة رأسية جديدة تساوي خمسة مضروبًا في سالب أربعة. وهذا يعطينا متجهًا جديدًا مركبته الأفقية ١٥ ومركبته الرأسية سالب ٢٠. بعبارة أخرى، لقد ضربنا المتجه في المعامل خمسة. وهذا بدوره يوضح أنه يمكننا أيضًا تطبيق العملية نفسها على المصفوفات. دعونا نبدأ بالنظر إلى المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ، الموضحة كالتالي. نجد أن العنصر الذي يقع في الصف ﺱ والعمود ﺹ في هذه المصفوفة يرمز له بـ ﺃﺱﺹ. وكما فعلنا تمامًا عند ضرب متجه في كمية قياسية، فإننا نريد ضرب كل عنصر في المصفوفة لدينا في هذه الكمية القياسية. وإذا افترضنا أن ﻙ هو الكمية القياسية، فيمكننا تعريف ﻙ في ﺃ على النحو التالي.
نحن نريد ضرب كل عنصر منفرد داخل هذه المصفوفة في ﻙ. ويشار إلى ذلك عادة بضرب المصفوفة في معامل ﻙ؛ حيث إننا نضرب كل عنصر منفرد داخل هذه المصفوفة في ﻙ. وتذكر أنه يمكننا أيضًا تمثيل ذلك بما يحدث لكل عنصر في المصفوفة. كما يمكننا تمثيل ذلك في صورة عنصر المصفوفة الذي يقع في الصف ﺱ والعمود ﺹ يساوي ﻙ في ﺃﺱﺹ. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة على كيفية ضرب المصفوفات في كمية قياسية.
انظر المصفوفة الموضحة ﺃ. أوجد تسعة في ﺃ، حيث ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين وعنصراها اثنان، سالب واحد.
في هذا السؤال، لدينا المصفوفة ﺃ وعلينا إيجاد حاصل ضرب تسعة في ﺃ. تذكر أن العدد تسعة مجرد عدد حقيقي، لذا فهذه هي عملية ضرب مصفوفة في كمية قياسية. إذن، للإجابة عن هذا السؤال، كل ما علينا فعله هو أن نسترجع كيف نضرب مصفوفة في كمية قياسية. إننا نضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة في الكمية القياسية لدينا. ومن ثم، علينا ضرب العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الأول في تسعة، والعنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثاني في تسعة. وبذلك نحصل على المصفوفة التالية، ثم يمكننا إيجاد قيمتها.
في الصف الأول والعمود الأول، لدينا تسعة في اثنين، وهو ما يساوي ١٨ بالطبع. وفي الصف الأول والعمود الثاني، لدينا تسعة مضروبًا في سالب واحد. وهذا يساوي بالطبع سالب تسعة، ومن ثم، نحصل على الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة رتبتها واحد في اثنين وعنصراها اثنان، سالب واحد، فإن تسعة ﺃ سيساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين وعنصراها ١٨، سالب تسعة.
دعونا نرى الآن مثالًا يوضح لنا كيف يمكننا حل معادلات باستخدام هذا التعريف الجديد لضرب المصفوفات في كميات قياسية.
إذا كان ﺱ مضروبًا في المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها سالب اثنين، صفر، سالب ثلاثة، سالب خمسة يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ١٤، صفر، ٢١، ٣٥، فأوجد قيمة ﺱ.
لدينا في هذا السؤال معادلة تتضمن مصفوفتين وﺱ، وعلينا إيجاد قيمة ﺱ. في البداية، علينا ملاحظة أنه بالنظر إلى هذه المعادلة، نجد أن ﺱ عبارة عن عدد. فهو لا يمثل مصفوفة. حسنًا، كيف عرفنا ذلك؟ السبب الذي يجعلنا نلاحظ ذلك أيضًا هو أنه مطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ. ويطلب منا ذلك فقط عندما يمثل ﺱ عددًا. إذن في هذه المعادلة، عندما نضرب هذه المصفوفة في ﺃ، يعد ذلك عملية ضرب مصفوفة في كمية قياسية. لذا، أول ما سنفعله هو البدء بضرب ﺱ في هذه المصفوفة وتطبيق الضرب في كمية قياسية لإعادة كتابتها بصورة مختلفة.
لإجراء عملية الضرب هذه، علينا أن نتذكر أنه عند ضرب أي مصفوفة في كمية قياسية، فإننا نضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة في تلك الكمية القياسية. في هذا السؤال، علينا ضرب كل العناصر في ﺱ. وبذلك، نحصل على مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺱ في سالب اثنين، ﺱ في صفر، ﺱ في سالب ثلاثة، ﺱ في سالب خمسة. ثم يمكننا بالطبع إيجاد قيمة كل هذه العناصر أو تبسيطها. إذن عندما نفعل ذلك، نحصل على المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها سالب اثنين ﺱ، صفر، سالب ثلاثة ﺱ، سالب خمسة ﺱ.
لكن تذكر أننا نعلم من رأس السؤال أن هذه المصفوفة تساوي بالفعل المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ١٤، صفر، ٢١، ٣٥. وبذلك، نوضح أن هاتين المصفوفتين متساويتان. ولإيجاد قيمة ﺱ، علينا أن نتذكر ما يعنيه تساوي مصفوفتين. إننا نقول إن المصفوفتين متساويتان إذا كان كل عنصر منفرد في كلتا المصفوفتين مماثلًا لما يناظره، وللمصفوفتين الرتبة نفسها. هاتان المصفوفتان من الرتبة اثنين في اثنين. لذلك، كل ما علينا فعله هو التأكد من أن جميع عناصرهما متساوية.
وبذلك، نحصل على سلسلة من المعادلات. أولًا، بمساواة العنصرين في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفتين، نجد أن ١٤ لابد أن يساوي سالب اثنين ﺱ. ثانيًا، بمساواة العنصرين في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفتين، نجد أن صفرًا لابد أن يساوي صفرًا. ثالثًا، بمساواة العنصرين في الصف الثاني والعمود الأول من المصفوفتين، نجد أن ٢١ لا بد أن يساوي سالب ثلاثة ﺱ. وأخيرًا، بمساواة العنصرين في الصف الثاني والعمود الثاني من المصفوفتين، نجد أن ٣٥ لا بد أن يساوي سالب خمسة ﺱ. وذلك يعطينا نظامًا من المعادلات علينا حله. في الواقع، كل هذه المعادلات هي معادلات خطية، لذا يمكننا تسمية هذا بنظام من المعادلات الخطية.
في البداية، يمكننا ملاحظة أن المعادلة الثانية صحيحة لكل قيم ﺱ. بعد ذلك، يمكننا حل جميع المعادلات الخطية الثلاث المتبقية. سنقسم طرفي المعادلة الأولى على سالب اثنين، وطرفي المعادلة الثانية على سالب ثلاثة، وطرفي المعادلة الثالثة على سالب خمسة. وبذلك، نلاحظ أننا تمكنا من حل كل هذه المعادلات بأن ﺱ يساوي سالب سبعة. وهو ما يعني أننا تمكنا من توضيح أن قيمة ﺱ ينبغي أن تساوي سالب سبعة. ومع ذلك، تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة إما بالتعويض عن قيمة ﺱ بسالب سبعة في هذه المصفوفة أو بالتعويض عن قيمة ﺱ بسالب سبعة في المعادلة الأصلية. ومن ثم، يمكننا التأكد من أن ذلك يعطينا الحل الصحيح للمعادلة.
إذن، إذا كان ﺱ في المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها سالب اثنين، صفر، سالب ثلاثة، سالب خمسة يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنين في اثنين وعناصرها ١٤، صفر، ٢١، ٣٥، فقد تمكنا من إثبات أن قيمة ﺱ يجب أن تساوي سالب سبعة.
دعونا الآن نرى مثالًا على إحدى النتائج المفيدة التي نحصل عليها من تعريفنا لضرب المصفوفة في كمية قياسية.
إذا كان ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في ثلاثة وعناصرها ثمانية، سالب ثلاثة، واحد، فما قيمة صفر ﺃ؟
لدينا هنا المصفوفة ﺃ، ومطلوب منا إيجاد قيمة حاصل ضرب صفر في ﺃ. الصفر هو عدد بالتأكيد، لذا تعد هذه العملية هي ضرب المصفوفة في كمية قياسية. وأول ما علينا تذكره هو كيفية ضرب مصفوفة في كمية قياسية. نعلم أن ضرب أي مصفوفة في كمية قياسية يعني أننا نضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة في تلك الكمية القياسية. وفي هذا المثال، علينا ضرب كل عنصر في صفر. وبذلك، سنحصل على المصفوفة التي رتبتها واحد في ثلاثة وعناصرها صفر في ثمانية في الصف الأول والعمود الأول، وصفر في سالب ثلاثة في الصف الأول والعمود الثاني، وصفر في واحد في الصف الأول والعمود الثالث. ويمكننا بالطبع إيجاد قيم جميع هذه العناصر. نعلم أن صفرًا في ثمانية يساوي صفرًا، وصفرًا في سالب ثلاثة يساوي صفرًا، وصفرًا في واحد يساوي صفرًا. ومن ثم، نحصل على المصفوفة التي رتبتها واحد في ثلاثة حيث كل عنصر فيها يساوي صفرًا، وهذه هي إجابتنا النهائية.
بذلك نكون قد تمكنا من إثبات أنه إذا كان ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في ثلاثة وعناصرها ثمانية، سالب ثلاثة، واحد، فإن صفر ﺃ يساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها واحد في ثلاثة.
يمكننا ملاحظة نتيجة مفيدة للغاية من هذا السؤال. نعلم أن حاصل ضرب أي عدد في صفر يساوي صفرًا. إذن، لا يهم كيف كانت تبدو المصفوفة. وذلك لأن الناتج سيكون دائمًا مصفوفة كل عنصر فيها يساوي صفرًا. دعونا إذن نؤكد هذه النتيجة. إذا كانت لدينا مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ؛ حيث سنسميها المصفوفة ﺃ وسنسمي العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ داخل المصفوفة ﺃ بالعنصر ﺃﺱﺹ، وضربنا هذه المصفوفة في الكمية القياسية صفر، إذن فكل عنصر داخل هذه المصفوفة يجب أن يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يجب أن يساوي ذلك المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ، والتي يمكن تمثيلها بمستطيل صغير ﻡ في ﻥ.
يمكننا إثبات هذه النتيجة. وذلك عن طريق كتابة المصفوفة ﺃ على صورة مصفوفة. لكننا نعرف بالفعل العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ. لذا، عند ضرب المصفوفة ﺃ في الكمية القياسية صفر، فإننا نضرب كل عنصر منفرد في صفر. بعبارة أخرى، العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من هذه المصفوفة يساوي صفرًا في ﺃﺱﺹ. ومع ذلك، فإننا نعلم أن أي عدد في صفر سيساوي دائمًا صفرًا. بمعنى آخر، بالنسبة إلى كل عناصر الصف ﺱ والعمود ﺹ، فإن صفرًا في ﺃﺱﺹ يساوي صفرًا. إذن، فإن كل عنصر داخل هذه المصفوفة سيساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يكون الناتج مصفوفة صفرية رتبتها ﻡ في ﻥ.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه علينا الحفاظ على رتبة المصفوفة لأن الضرب في كمية قياسية لا يغير رتبة المصفوفة. ومع ذلك، فهذه ليست النتيجة المفيدة الوحيدة التي يمكننا الحصول عليها من تعريف الضرب في كمية قياسية. فهناك سؤال آخر يمكننا طرحه، وهو: ما هو حاصل ضرب واحد في المصفوفة ﺃ؟ تذكر أنه عند ضرب أي مصفوفة في كمية قياسية، فإننا نضرب كل عنصر منفرد داخل هذه المصفوفة في تلك الكمية القياسية. إذن، في هذه الحالة، نضرب كل عنصر داخل المصفوفة في واحد. ولن يغير هذا بالطبع من قيمة أي عنصر من عناصر المصفوفة. ومن ثم، يجب أن يساوي ذلك ﺃ.
وفي الحقيقة، يمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة مشابهة تمامًا لما فعلناه مسبقًا. عند ضرب المصفوفة ﺃ في الكمية القياسية واحد، فإننا نضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة ﺃ في واحد. بعبارة أخرى، العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ سيساوي واحدًا في ﺃﺱﺹ؛ لأننا نعلم أن العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ هو ﺃﺱﺹ. وبالطبع واحد مضروبًا في أي عدد يساوي ذلك العدد نفسه. إذن، فإن واحدًا في ﺃﺱﺹ يساوي ﺃﺱﺹ لكل قيم الصف ﺱ والعمود ﺹ. لذا، لن تتغير العناصر الموجودة داخل المصفوفة. أي إن العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ هو ﺃﺱﺹ فقط. وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه بالنسبة لأي مصفوفة ﺃ، فإن واحد ﺃ يساوي ﺃ.
وهذه نتيجة أخرى مفيدة سنحتاجها من الآن فصاعدًا. دعونا الآن نطرح سؤالًا وهو: كم يساوي سالب واحد ﺃ؟ نعرف بالطبع كيف نتوصل إلى ذلك. إننا نضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة ﺃ في سالب واحد. وهذا يعني أن سالب واحد في ﺃ سيساوي سالب ﺃ. وللتعبير عن ذلك بشكل كامل، علينا أن نتذكر ما نعنيه بسالب ﺃ. وأسهل طريقة للتعبير عن ذلك هي التفكير فيما سيحدث إذا طرحنا مصفوفة من نفسها.
تذكر أنه عند طرح مصفوفتين، فإننا نطرحهما من حيث مركباتهما. لذا، عندما نطرح المصفوفة ﺃ من نفسها، فإننا سنطرح كل عنصر من نفسه. أي إن كل عنصر سيساوي صفرًا. ويكون ذلك بالطبع مع الاحتفاظ بالبعد ﻡﻥ. لذلك، قد تكون الطريقة الأفضل لكتابة هذه المعادلة هي إضافة المصفوفة ﺃ إلى طرفي المعادلة. وهذا يعطينا العبارة المكافئة ﺃ زائد سالب واحد في ﺃ يساوي ﺃ ناقص ﺃ. ونحن نعرف بالفعل ناتج ﺃ ناقص ﺃ. فهو يساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ. ويمكننا إثبات ذلك بالطريقة نفسها التي استخدمناها فيما سبق.
في البداية، لإيجاد قيمة سالب واحد مضروبًا في ﺃ، علينا استخدام الضرب في كمية قياسية. أي إننا نضرب كل عنصر داخل المصفوفة في سالب واحد. ومن ثم، نحصل في الصف ﺱ والعمود ﺹ على ﺃﺱﺹ زائد سالب واحد في ﺃﺱﺹ. ويمكننا تبسيط ذلك بالتأكيد. سالب واحد في ﺃﺱﺹ سيساوي سالب ﺃﺱﺹ لكل قيم الصف ﺱ والعمود ﺹ. لكن تذكر أنه عند جمع مصفوفتين معًا، فإننا نجمعهما من حيث مركباتهما. لذا، في الصف ﺱ والعمود ﺹ، سنحصل على ﺃﺱﺹ ناقص ﺃﺱﺹ، ونحن نعلم أن العدد ناقص نفسه يساوي صفرًا. وعليه، فإن كل عنصر داخل المصفوفة سيساوي صفرًا. إذن، هذا سيساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ.
هناك نتيجة أخيرة يمكننا التوصل إليها من تعريف الضرب في كمية قياسية. ولكن قبل أن نتناولها، دعونا نفرغ بعض المساحة. ستكون هذه النتيجة مشابهة جدًا للنتيجة الأولى. لكن، هذه المرة، بدلًا من أن نضرب مصفوفة في الكمية القياسية صفر، سنضرب مصفوفة صفرية في أي كمية قياسية. إذا افترضنا أن ﻙ هو أي عدد، فيمكننا التفكير فيما سيحدث عند ضرب ﻙ في مصفوفة صفرية رتبتها ﻡ في ﻥ. فالضرب في الكمية القياسية ﻙ يعني بالطبع أننا سنضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة الصفرية في ﻙ.
لكن كل عنصر من العناصر الموجودة داخل المصفوفة الصفرية يساوي صفرًا. لذا، سنضرب ﻙ في صفر بالنسبة لجميع العناصر. وهذا سيعطينا المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ. ويمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة مشابهة تمامًا لما فعلناه من قبل. نعلم أنه عند ضرب مصفوفة في كمية قياسية، علينا ضرب كل عنصر منفرد داخل هذه المصفوفة في تلك الكمية القياسية. إذن في هذه الحالة، سنحصل في الصف ﺱ والعمود ﺹ على ﻙ مضروبًا في العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ داخل المصفوفة الصفرية. لكننا نعلم أن كل عنصر منفرد في المصفوفة الصفرية يساوي صفرًا. ومن ثم، نحصل في الصف ﺱ والعمود ﺹ على ﻙ في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، يكون الناتج المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ.
هيا نرى الآن كيف يمكننا استخدام هذه النتائج لمساعدتنا في الإجابة عن بعض الأسئلة.
افترض أن ﻉ مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة وجميع عناصرها تساوي صفرًا. إذا كانت ﺃ تمثل أي مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة، فأي من الآتي يساوي خمسة ﺃ ناقص ثلاثة ﻉ؟ الخيار (أ) اثنان في ﻉ في ﺃ، أم الخيار (ب) سالب اثنين في ﺃ في ﻉ، أم الخيار (ج) سالب ثلاثة ﻉ، أم الخيار (د) خمسة ﺃ، أم الخيار (هـ) اثنان ﺃ.
في هذا السؤال، لدينا تعبير بدلالة مصفوفتين، وعلينا تحديد أي من الخيارات الخمسة يساوي هذا التعبير. في الواقع، توجد طرق كثيرة مختلفة للإجابة عن هذا السؤال. لكن هناك أمرًا مهمًا علينا ملاحظته. المصفوفتان ﻉ وﺃ هما مصفوفتان رتبتهما اثنان في ثلاثة. وهذا يعني أن عدد الصفوف في إحدى المصفوفتين لا يتساوى أبدًا مع عدد الأعمدة في المصفوفة الأخرى. وعندئذ، فهذا يعني أنه لا يمكننا ضرب ﺃ في ﻉ، وكذلك لا يمكننا ضرب ﻉ في ﺃ. إذن، الخياران (أ) و(ب) لا يمكن أن يكونا صحيحين.
دعونا نرى الآن ما يمكننا فعله مع التعبير المعطى. لنبدأ بتذكر أن ﻉ هي مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة، وكل عنصر فيها يساوي صفرًا. يمكننا الآن كتابة ذلك بدلالة المصفوفتين. لكن يمكننا أيضًا كتابة هذه المصفوفة على صورة مصفوفة صفرية رتبتها اثنان في ثلاثة وتمثل بمستطيل صغير اثنان ثلاثة. دعونا الآن نكتب المصفوفة ﺃ والمصفوفة الصفرية بصورة كاملة. ولكي نفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن المصفوفة التي رتبتها اثنان في ثلاثة تتكون من صفين وثلاثة أعمدة. وسنسمي أيضًا العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ بالعنصر ﺃﺱﺹ. وهذا يعطينا التعبير الآتي.
يمكننا الآن تبسيط هذا التعبير إما باستخدام تعريف ضرب المصفوفة في كمية قياسية أو باستخدام حقيقة أنه بالنسبة لأي عدد ﻙ، فإن ﻙ مضروبًا في المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ يساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها ﻡ في ﻥ فقط. ونستنج من ذلك أن ثلاثة ﻉ يساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها اثنان في ثلاثة. نلاحظ الآن أننا نطرح المصفوفة الصفرية من المصفوفة خمسة ﺃ. وهناك بعض الأمور المختلفة التي يمكننا فعلها. على سبيل المثال، يمكننا استخدام تعريف الضرب في كمية قياسية لضرب العدد خمسة في هذه المصفوفة. بعد ذلك، يمكننا استخدام تعريف طرح مصفوفتين للإجابة عن هذا السؤال.
لكن هذا ليس ضروريًا لأننا نطرح المصفوفة الصفرية ذات الرتبة نفسها. وعند إجراء عملية الطرح هذه، فإننا نطرح صفرًا من كل عنصر داخل تلك المصفوفة. وطرح الصفر لن يغير أي قيمة بالطبع، أي إن ذلك سيساوي خمسة ﺃ. ونستنتج من ذلك أن الخيار (د) هو الإجابة الصحيحة. وجدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا التأكد من أن الخيارين (ج) و(هـ) غير صحيحين في جميع الحالات. فعلى سبيل المثال، إذا افترضنا أن ﺃ يساوي مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة وكل عناصرها تساوي واحدًا، نكون بذلك قد أوضحنا أن خمسة ﺃ ناقص ثلاثة ﻉ يجب أن يساوي خمسة ﺃ. وبالطبع، خمسة ﺃ يعني ضرب كل عنصر داخل المصفوفة ﺃ في خمسة. إذن، هذا يعطينا مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة وكل عنصر فيها يساوي خمسة.
وهذا بالطبع لا يساوي اثنين ﺃ؛ حيث إن ذلك يعبر عن مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة وكل عنصر فيها يساوي اثنين، كما أن هذا لا يساوي المصفوفة سالب ثلاثة ﻉ؛ لأننا قد أوضحنا بالفعل أن ذلك يساوي المصفوفة الصفرية التي رتبتها اثنان في ثلاثة. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن الخيار الصحيح الوحيد هو الخيار (د)؛ خمسة ﺃ ناقص ثلاثة ﻉ يساوي خمسة ﺃ.
دعونا نلقي نظرة الآن على خاصية أخيرة يمكننا الحصول عليها من ضرب المصفوفة في كمية قياسية. سنبدأ بعرض هذه الخاصية من خلال تناولها عمليًا.
افترض أن ﺃ وﺏ هما المصفوفتان التاليتان. ونريد حساب التعبيرين التاليين. في البداية، نريد حساب ثلاثة مضروبًا في مجموع ﺃ وﺏ. بعد ذلك، نريد حساب ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ.
في هذا المثال، سنتحقق مما إذا كان يمكننا توزيع العدد ثلاثة على هذا القوس أم لا. وإذا كان يمكننا إجراء ذلك بشكل عام، فإن هذا سيسمى خاصية التوزيع.
لنبدأ بالتعبير الأول. دعونا نوجد قيمة ثلاثة في ﺃ زائد ﺏ. لكن تذكر أنه علينا أولًا حساب التعبير الموجود داخل القوس. لذا، سنبدأ بكتابة المصفوفتين ﺃ وﺏ بشكل كامل. وتذكر أنه عند جمع مصفوفتين من الرتبة نفسها، فإننا نجمع عناصرهما معًا. ومن ثم، سنحصل على سالب أربعة زائد ثلاثة في الصف الأول والعمود الأول، وهو ما يساوي سالب واحد. وفي الصف الأول والعمود الثاني، سنحصل على ستة زائد سبعة، وهو ما يساوي ١٣. ويمكننا أن نفعل الشيء نفسه لإيجاد قيم العناصر المتبقية. بذلك، نحصل على سالب خمسة و١٤ و١٣ وواحد.
تذكر أنه علينا ضرب هذه المصفوفة في ثلاثة. وهذا يعني أننا نضرب هذه المصفوفة في الكمية القياسية ثلاثة. ولكي نفعل ذلك، علينا ضرب كل عنصر داخل هذه المصفوفة في ثلاثة. إذن، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من هذه المصفوفة سيساوي ثلاثة مضروبًا في سالب واحد؛ أي سالب ثلاثة. والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني سيساوي ثلاثة مضروبًا في ١٣؛ أي ٣٩. ويمكننا تكرار الأمر نفسه لإيجاد قيم العناصر المتبقية. وبذلك، نحصل على سالب ١٥ و٤٢ و٣٩ وثلاثة.
دعونا نرى الآن ما سيحدث إذا حسبنا ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ. مرة أخرى، سنبدأ بكتابة المصفوفتين ﺃ وﺏ بشكل كامل. وهذه المرة علينا أن نبدأ باستخدام الضرب في كمية قياسية لضرب كلتا المصفوفتين في ثلاثة. تذكر أننا نفعل ذلك بضرب كل عنصر منفرد داخل المصفوفة في ثلاثة. سنبدأ بحساب ثلاثة ﺃ. وبضرب كل عنصر في ثلاثة وتبسيط الناتج، فإننا نحصل على المصفوفة التي رتبتها اثنان في ثلاثة وعناصرها سالب ١٢، ١٨، صفر، ٢٤، ٢١، ستة. يمكننا بعد ذلك إجراء الشيء نفسه لإيجاد قيمة ثلاثة ﺏ؛ والتي تساوي المصفوفة التالية التي رتبتها اثنان في ثلاثة.
وأخيرًا، كل ما علينا فعله هو جمع هاتين المصفوفتين معًا. وتذكر أننا نفعل ذلك عن طريق جمع كل العناصر معًا. بجمع عنصري الصف الأول والعمود الأول، نحصل على سالب ١٢ زائد تسعة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وبجمع عنصري الصف الأول والعمود الثاني، نحصل على ٣٩. ويمكننا أن نفعل الشيء نفسه لإيجاد قيم العناصر المتبقية. وبذلك، نحصل على مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة، ونلاحظ أنها مماثلة تمامًا للمصفوفة التي أوجدناها من قبل. بعبارة أخرى، ثلاثة في ﺃ زائد ﺏ يساوي ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ. وفي الواقع، يعد ذلك صحيحًا بشكل عام. أي إذا كان لدينا أي عدد ﻙ ومصفوفتان ﺃ وﺏ رتبتاهما ﻡ في ﻥ، فإننا نجد أن ﻙ في ﺃ زائد ﺏ يساوي ﻙﺃ زائد ﻙﺏ. وهذا يعرف باسم خاصية التوزيع لأنه يمكننا توزيع قيمة ﻙ على القوس.
دعونا نستعرض الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. في البداية، أوضحنا أن ضرب المصفوفة ﺃ في الكمية القياسية ﻙ يعني ضرب كل عنصر منفرد من عناصر المصفوفة ﺃ في ﻙ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن ﻙ يمكن أن يمثل أي عدد. ويمكن أن يكون عددًا مركبًا. لكننا استخدمنا الأعداد الحقيقية فقط في هذا الفيديو. ويمكننا كتابة ذلك على صورة ﻙﺃ. وأخيرًا، قد أوضحنا خمس خواص مفيدة بالنسبة إلى المصفوفتين ﺃ وﺏ من الرتبة ﻡ في ﻥ. أول أربع خواص هي متطابقات نستنتجها مباشرة من تعريف الضرب في كمية قياسية وجمع مصفوفتين. وقد انتهينا بتوضيح أن عملية الضرب في كمية قياسية تتميز بخاصية التوزيع عند دمجها مع عملية جمع مصفوفتين.
