نسخة الفيديو النصية
𝐴𝐵𝐶 مثلث فيه طول الضلع 𝑎 يساوي خمسة سنتيمترات، وطول الضلع 𝑏 يساوي ثمانية سنتيمترات، وقياس الزاوية 𝐴 يساوي 36 درجة. إذا كان هذا المثلث موجودًا، فأوجد جميع القيم الممكنة لقياس الزاوية 𝐵 لأقرب ثانية.
في هذا السؤال، علمنا أن قياس الزاوية 𝐴 في المثلث 𝐴𝐵𝐶 يساوي 36 درجة. لذا دعونا نبدأ برسم شكل توضيحي للمثلث. علمنا أن طول الضلع 𝑏 يساوي ثمانية سنتيمترات، وطول الضلع 𝑎 يساوي خمسة سنتيمترات. لذا إذا وضعنا سن الفرجار عند النقطة 𝐶، وضبطنا فتحته على خمسة سنتيمترات ثم رسمنا قوسًا، فسنجد أن القوس يقطع القاعدة 𝐴𝐵 عند نقطتين. هذا يعني أن الرأس 𝐵 يمكن أن يكون عند النقطة المشار إليها بالحرف 𝐵 أو الحرف 𝐵 شرطة، كما هو موضح. ومن ثم يكون لدينا مثلثان ممكنان؛ أحدهما باللون الأزرق والآخر باللون البرتقالي، وكل منهما يتضمن قيمة ممكنة لقياس الزاوية 𝐵، كما هو موضح.
توجد طريقة أخرى لتوضيح أن هناك مثلثين ممكنين، وهي حساب قيمة الارتفاع ℎ. ولفعل ذلك سنستعين بما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية ونسبة جيب الزاوية. نتذكر أن sin 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وفي المثلث القائم الزاوية أمامنا، sin 36 درجة يساوي الارتفاع ℎ على ثمانية. إذا ضربنا طرفي المعادلة في ثمانية، فسنجد أن ℎ يساوي ثمانية مضروبًا في sin 36 درجة. وهذا يساوي 4.702 وهكذا مع توالي الأرقام. ولأقرب منزلة عشرية، يكون ارتفاع المثلث يساوي 4.7 سنتيمترات.
قيمة هذا الارتفاع أقل من قيمة طول الضلع 𝑎، ومن ثم يمكننا استنتاج قاعدة عامة. إذا كانت الزاوية 𝐴 زاوية حادة وطول الارتفاع ℎ أقل من طول الضلع 𝑎، الذي هو أقل من طول الضلع 𝑏، فهذا يعني أنه يوجد مثلثان 𝐴𝐵𝐶 ممكنان.
يمكننا الآن إيجاد القيمتين الممكنتين لقياس الزاوية 𝐵 باستخدام قانون الجيب. هذا القانون ينص على أن sin 𝐴 مقسومًا على طول الضلع 𝑎 يساوي sin 𝐵 مقسومًا على طول الضلع 𝑏، وهو ما يساوي sin 𝐶 مقسومًا على طول الضلع 𝑐؛ حيث تشير الحروف الكبيرة 𝐴 و𝐵 و𝐶 إلى قياسات الزوايا الثلاثة، وتشير الحروف الصغيرة 𝑎 و𝑏 و𝑐 إلى أطوال الأضلاع المقابلة لها على الترتيب. بالتعويض بالقيم المعطاة في هذا السؤال، نجد أن sin 𝐵 مقسومًا على ثمانية يساوي sin 36 درجة مقسومًا على خمسة. وبضرب كلا طرفي المعادلة في ثمانية، نجد أن sin 𝐵 يساوي ثمانية مضروبًا في sin 36 درجة مقسومًا على خمسة. وهذا يساوي 0.9404 وهكذا مع توالي الأرقام.
بعد ذلك نأخذ الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي المعادلة. وبهذا نجد أن قياس الزاوية B يساوي 70.1283 وهكذا مع توالي الأرقام. هذا هو قياس الزاوية 𝐵 بالدرجات. لكن مطلوب منا كتابة إجابتنا لأقرب ثانية. وإحدى طرق التحويل التي يمكننا استخدامها هي الضغط على زر الدرجات والدقائق والثواني في الآلة الحاسبة. وهذا يعطينا 70 درجة وسبع دقائق و42.04 ثانية، أو 70 درجة وسبع دقائق و42 ثانية لأقرب ثانية.
أو بدلًا من ذلك، يمكننا ضرب الجزء العشري من إجابتنا في 60 ؛ حيث إن هناك 60 دقيقة في الدرجة الواحدة. وهذا يعطينا 70 درجة و7.7007 دقائق وهكذا مع توالي الأرقام. مرة أخرى سنضرب الجزء العشري في 60 ؛ حيث إن هناك 60 ثانية في الدقيقة. بهذا يصبح الناتج لدينا 70 درجة وسبع دقائق و42.04 ثانية وهكذا مع توالي الأرقام، وبالتقريب لأقرب ثانية، نجد أن هذا يساوي 70 درجة وسبع دقائق و42 ثانية.
هذا هو قياس الزاوية في المثلث البرتقالي. وبتذكر أن sin 180 درجة ناقص قياس الزاوية 𝜃 يساوي sin 𝜃، يمكننا إيجاد القيمة الممكنة الثانية لقياس الزاوية 𝐵 بطرح 70 درجة وسبع دقائق و42 ثانية من 180 درجة. وهذا يساوي 109 درجات و52 دقيقة و18 ثانية. وبما أن هذه الزاوية زاوية منفرجة، فهي تتوافق مع الزاوية 𝐵 في المثلث الأزرق الذي رسمناه. إذن القياسان الممكنان للزاوية 𝐵 لأقرب ثانية هما 70 درجة وسبع دقائق و42 ثانية؛ و109 درجات و52 دقيقة و18 ثانية.
