فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت متسلسلة هندسية متقاربة أو متباعدة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هل المتسلسلة 884 زائد 884 على تسعة زائد 884 على 81 وهكذا متقاربة أم متباعدة؟

حسنًا، لنفكر أولًا في المتسلسلة التي لدينا. الحد الأول هو 884، والحد الثاني هو 884 على تسعة، والحد الثالث هو 884 على 81. يمكننا إعادة كتابة الحد الأول بهذه الصورة: 884 على واحد، وبالتالي نلاحظ أن المقام يضرب في تسعة في كل مرة. واحد في تسعة يساوي تسعة. وتسعة في تسعة يساوي 81. حسنًا هذا هو النمط الذي نحصل عليه عند التعامل مع متسلسلة هندسية.

إذا أسمينا الحد الأول 𝑎، فإننا نلاحظ أنه عبارة عن 884 على واحد، وهو ما يساوي 884، وأن أساس المتسلسلة الهندسية هو 𝑟، ولكننا نضرب المقام في تسعة في كل مرة. لذا فإننا في الواقع نضرب الحد كله في واحد على تسعة، أو في تسع. وبالتالي، لدينا متسلسلة هندسية يساوي حدها الأول 884، وأساسها هو تسع.

تعني كلمة «متقارب» في هذا السياق أننا إذا جمعنا عددًا لا نهائيًا من الحدود في هذه المتسلسلة، فلن يتجاوز هذا المجموع قيمة معينة. أما كلمة «متباعد» في هذا السياق، فتعني أننا إذا جمعنا عددًا لا نهائيًا من الحدود في هذه المتسلسلة، فسيصير هذا المجموع أكبر وأكبر كلما أضفنا المزيد من الحدود. لذا ما يعنينا هو جمع حدود المتسلسلة. والآن إذا كان لدينا عدد 𝑛 من الحدود في هذه المتسلسلة وكان علينا جمعها، فإن مجموع عدد 𝑛 من الحدود، ألا وهو 𝑆𝑛، يساوي الحد الأول 𝑎 في واحد ناقص أساس المتسلسلة الهندسية 𝑟 أس 𝑛 الكل مقسومًا على واحد ناقص أساس المتسلسلة الهندسية.

إذن، في حالتنا، سيكون مجموع عدد 𝑛 من الحدود هو 884 في واحد ناقص واحد على تسعة أس 𝑛 الكل مقسومًا على واحد ناقص واحد على تسعة. واحد ناقص واحد على تسعة يساوي ثمانية على تسعة. إن المقام هو ثمانية على تسعة، أي البسط مقسومًا على ثمانية على تسعة والذي يمكننا إعادة كتابته بهذا الشكل. تسعة في 884 يساوي 7956. وفعليًا، 7956 وثمانية يختصران معًا أيضًا. إذن سيصبح مجموع عدد 𝑛 من الحدود هو 1989 في واحد ناقص واحد على تسعة أس 𝑛 الكل مقسومًا على اثنين.

السؤال المهم هو ماذا يحدث بينما تتجه 𝑛 نحو اللانهاية ونحصل على عدد لا نهائي من الحدود في متسلسلتنا الهندسية، ماذا سيصبح المجموع إلى اللانهاية؟ حسنًا، كلما ضربنا واحد على تسعة في نفسها، اقترب الناتج من الصفر. فهذا الحد هنا سيصبح أقرب وأقرب إلى الصفر بينما تتجه 𝑛 إلى اللانهاية. وبالتالي هذا الحد هنا، واحد ناقص صفر، سيصبح واحد فحسب. وبذلك فإن المجموع إلى اللانهاية سيقترب أكثر فأكثر من 1989 على اثنين. وهو ما يعني أنها ستكون متسلسلة هندسية متقاربة.

وبالتالي، فالإجابة هي أنها متسلسلة هندسية متقاربة. ثمة طريقة أخرى لتحديد نوع المتسلسلة الهندسية ألا وهي التفكير في قيمة 𝑟 فحسب. نظرًا لصيغة مجموع عدد 𝑛 من الحدود للمتسلسلة الهندسية، إذا كانت 𝑟 تقع بين سالب واحد وموجب واحد، فإن المتسلسلة الهندسية متقاربة دون شك. ولكن إذا كانت 𝑟 أقل من سالب واحد أو أكبر من واحد، فإن المتسلسلة الهندسية متباعدة.

وفي الواقع، إذا كانت 𝑟 تساوي واحد، فإن المتسلسلة الهندسية متباعدة أيضًا. ويكون المجموع متذبذبًا نسبيًا إذا كانت 𝑟 تساوي سالب واحد. ونظرًا لأننا نعتمد على عدد الحدود التي سنتعامل معها، فسنأخذ حدًا ثم نطرحه هو نفسه ثم نضيفه ثم نطرحه هو نفسه مرة أخرى. على أية حال، في هذه الحالة تقع 𝑟 بوضوح بين سالب واحد وموجب واحد، إذن هي متسلسلة هندسية متقاربة.