فيديو الدرس: المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة. وبعد هذا الدرس، ستكون قادرًا على إيجاد مجموعة حل أي معادلة تتضمن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة.

يمكننا أن نرى هنا أساس اللوغاريتم. يشير السهمان هنا إلى الأساس ومدخل اللوغاريتم. لكن قبل استكمال الشرح والبدء في حل المعادلات اللوغاريتمية، نريد تذكر أمر ما. وهو كيفية تغيير أساس اللوغاريتم. دعونا نفكر فيما علينا فعله إذا أردنا تغيير أساس لوغاريتم.

لدينا هنا لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. ولدينا أيضًا الصيغة التي تساعدنا على تغيير أساس هذا اللوغاريتم لأي أساس نريده. وتوضح أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ، حيث يمكن أن يكون الأساس أي شيء نريده. وسنعرف فائدة ذلك بعد قليل في أحد الأمثلة. حسنًا، دعونا نتناول هذا المثال لنرى كيف يكون ذلك مفيدًا.

إذا كان لدينا لوغاريتم ٢٧ للأساس تسعة، فيمكننا إعادة كتابته باستخدام الصيغة التي لدينا بالجانب الأيمن. فيصبح ذلك لوغاريتم ٢٧ لأساس ما على لوغاريتم تسعة لأساس ما. وقيمة الأساس غير مذكورة لأننا سنختار القيمة المناسبة هنا. حسنًا، بالنظر إلى العددين ٢٧ وتسعة، نلاحظ أن كلًا منهما يساوي ثلاثة أس عدد ما. لدينا إذن ثلاثة أس ثلاثة وثلاثة تربيع. لذا، يمكننا هنا استخدام العدد ثلاثة كأساس؛ وسيفيدنا ذلك كثيرًا عندما نتطرق إلى أحد قوانين اللوغاريتمات لتبسيط ما لدينا.

حسنًا، سيعطينا هذا لوغاريتم ثلاثة تكعيب للأساس ثلاثة على لوغاريتم ثلاثة تربيع للأساس ثلاثة. وبهذا نكون قد غيرنا أساس اللوغاريتم هنا. لكنني أرغب في توضيح كيف سنبسط ذلك. وسنفعل ذلك باستخدام قوانين اللوغاريتمات. سنستخدم هنا قانونين للوغاريتمات؛ الأول هو لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺃ. أما الثاني، فهو لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا. حسنًا، باستخدام القانون الأول، نحصل على ثلاثة في لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة على اثنين في لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة.

باستخدام القانون الثاني بعد ذلك، نجد أن لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، لدينا ثلاثة مضروبًا في واحد على اثنين مضروبًا في واحد، وهو ما يعطينا ثلاثة على اثنين. لقد أوضحنا بذلك كيفية تغيير أساس اللوغاريتم لمساعدتنا على التبسيط؛ حيث أوضحنا أن لوغاريتم ٢٧ للأساس تسعة يساوي ثلاثة على اثنين.

حسنًا، هذا رائع. لقد استعرضنا بعض المهارات التي سنحتاجها لحل معادلاتنا. دعونا نتابع ونتناول بعض الأمثلة حول كيفية حل المعادلات باستخدام قانون تغيير أساس اللوغاريتم.

أوجد مجموعة حل لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس تسعة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

لحل هذه المسألة، سنغير أساس اللوغاريتم. وسنفعل ذلك باستخدام الصيغة الموضحة هنا، والتي توضح أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ. وفي هذه المسألة، لن نغير سوى أساس اللوغاريتم الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة. حيث يظل الأساس ثلاثة للوغاريتم في الطرف الأيمن كما هو، وسنغير أساس اللوغاريتم الموجود في الطرف الأيسر فقط ليصبح مثله.

حسنًا، عندما نفعل ذلك، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة على لوغاريتم ثلاثة تربيع للأساس ثلاثة. ما فعلناه هنا هو أننا غيرنا العدد تسعة إلى ثلاثة تربيع؛ وهذا هو سبب الاحتفاظ بالأساس ثلاثة في بادئ الأمر. وذلك لنتمكن من استخدام قانون أو اثنين من قوانين اللوغاريتمات لمساعدتنا على التبسيط.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺃ. ومنه، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة على اثنين في لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة. ما سنفعله الآن هو تطبيق قانون آخر من قوانين اللوغاريتمات، والذي يوضح أن لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا.

بتطبيق هذا القانون، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة على اثنين. وذلك لأنه كان لدينا اثنان مضروبًا في واحد؛ لأن لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة يساوي واحدًا. يمكننا الآن ضرب كل طرف في اثنين. وبذلك، نحصل على اثنين في لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة.

حسنًا، يمكننا الآن تطبيق القانون الأول لكن بالعكس، حيث نعيد ترتيب الطرف الأيمن ليصبح لوغاريتم ﺱ تربيع للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة. وقد قمنا بذلك ليكون بإمكاننا جعل مدخلي اللوغاريتمين متساويين؛ حيث لدينا هنا لوغاريتم ﺱ تربيع للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم أربعة للأساس ثلاثة. وعند القيام بذلك، نحصل على ﺱ تربيع يساوي أربعة. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن ﺱ يساوي اثنين.

ربما تتوقف هنا للحظة وتسأل نفسك السؤال الآتي. ماذا عن القيمة السالبة للجذر، ألا يجب أن يكون لدينا سالب اثنين أو اثنان؟ في الواقع، لسنا مهتمين هنا بالقيمة السالبة. وذلك لأننا نعلم أن مدخل اللوغاريتم لا بد أن يكون قيمة موجبة، ولا تساوي واحدًا. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﺱ، وهو مدخل اللوغاريتم في الطرف الأيمن، فلا يمكن أن تكون قيمته سالبة. إذن، يمكننا القول إن مجموعة حل المعادلة ستكون اثنين.

حسنًا، رائع. ها قد حللنا المعادلة الأولى. لكننا ذكرنا أمرًا ما هنا. لقد ذكرنا أن مدخل اللوغاريتم لا بد أن يكون قيمة موجبة ولا تساوي واحدًا. لكن ما سبب ذلك؟ حسنًا، لنلق نظرة سريعة هنا. كما ذكرنا، إذا كان لدينا لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ، فإن ﺏ لا بد أن يكون قيمة موجبة لا تساوي واحدًا. لكن ما سبب ذلك؟ يمكننا التفكير بشكل منطقي في هذا الأمر. إذا كان لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ.

من الواضح أن قيمة ﺏ يمكن أن تكون سالبة. وهذا المثال يوضح ذلك. فسالب ثلاثة الكل تكعيب مثلًا يساوي سالب ٢٧. فلماذا لا يمكن أن تكون قيمة ﺏ سالبة؟ حسنًا، مدخل اللوغاريتم ليس هو ما يهمنا حقًا هنا. بل الأساس؛ لأنه العامل المحدد الذي يعطينا مجال القيم الممكنة لمدخل اللوغاريتم. نحن نعلم أن الأساس لا يمكن أن يكون قيمة سالبة. وسنوضح سبب ذلك من خلال هذا المثال.

حسنًا، إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس سالب اثنين يساوي نصفًا، فإن الصورة الأسية لذلك هي سالب اثنين أس نصف يساوي ﺱ. وإذا أردنا الحل لإيجاد قيمة ﺱ، فسنأخذ الجذر التربيعي لسالب اثنين. وذلك لأن أي عدد أس نصف هو نفسه الجذر التربيعي لذلك العدد. لدينا إذن الجذر التربيعي لسالب اثنين يساوي ﺱ، وهو قيمة غير معرفة كما نعلم.

إذن يوضح هذا المثال لماذا لا يمكن أن يكون الأساس سالبًا. وإذا كان الأساس لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن مدخل اللوغاريتم لا يمكن أن يكون قيمة سالبة بدوره. إذن، هذا هو السبب في أن مدخل اللوغاريتم لا يمكن أن يكون قيمة سالبة. كما أنه لا يمكن أن يساوي واحدًا، وذلك لأن الأساس أيضًا لا يمكن أن يساوي واحدًا. على سبيل المثال، إذا كان لدينا لوغاريتم اثنان للأساس واحد يساوي ﺃ، فبإعادة ترتيبه نحصل على واحد أس ﺃ يساوي اثنين. ولا يمكن أن يحدث هذا؛ لأن واحدًا أس أي عدد يساوي واحدًا. وسنرى هذا في المثال التالي.

حسنًا، هذا عظيم. إننا نعرف الآن لماذا يجب أن يكون مدخل اللوغاريتم قيمة موجبة ولا تساوي واحدًا. فلنبدأ إذن في حل بعض المسائل الأخرى.

أوجد مجموعة حل المعادلة لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة زائد لوغاريتم ﺱ أس خمسة للأساس ٢٤٣ زائد ثلاثة يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد الحقيقية.

لحل هذه المسألة سنستخدم صيغة تغيير الأساس، والتي توضح أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ. وبالنظر إلى المسألة أو المعادلة، نجد أننا سنطبق صيغة تغيير الأساس هذه على لوغاريتم ﺱ أس خمسة للأساس ٢٤٣. وسنفعل هذا لأننا نريد تغيير الأساس إلى لوغاريتم للأساس ثلاثة، بحيث يصبح للوغاريتمين الأساس نفسه.

عند القيام بذلك، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة زائد لوغاريتم ﺱ أس خمسة للأساس ثلاثة على لوغاريتم ٢٤٣ للأساس ثلاثة زائد ثلاثة يساوي صفرًا. يساعدنا ذلك في تحديد الأساس الذي سنستخدمه. وستفيدنا هنا معرفتنا أن ٢٤٣ هو نفسه ثلاثة أس خمسة. سنستعين الآن بقانونين من قوانين اللوغاريتمات لمساعدتنا في تبسيط المعادلة.

والقانونان اللذان سنستعين بهما هما لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺃ، ولوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا. وعند تطبيقهما، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة زائد خمسة في لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة، وذلك وفقًا للقانون الأول، مقسومًا على خمسة في لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة. وذلك لأنه كما ذكرنا ٢٤٣ هو نفسه ثلاثة أس خمسة. ووضعنا خمسة قبل لوغاريتم للأساس ثلاثة.

ويصبح لدينا هنا خمسة لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة، زائد ثلاثة يساوي صفرًا. نحن نعلم أن لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة يساوي واحدًا. وبذلك، يصبح لدينا خمسة مضروبًا في واحد في المقام. ما سنفعله بعد ذلك هو قسمة البسط والمقام على خمسة، وهو ما يعطينا اثنين لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة زائد ثلاثة يساوي صفرًا. وذلك نظرًا لأنه كان لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة زائد لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة. وذلك يعطينا اثنين من اللوغاريتم نفسه. بعد ذلك، نطرح ثلاثة من طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا اثنين لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي سالب ثلاثة.

يمكننا استخدام خدعة بسيطة هنا لمساعدتنا. وهي تغيير الطرف الأيسر بحيث يتضمن لوغاريتم للأساس ثلاثة. ويمكننا فعل ذلك لأن سالب ثلاثة هو نفسه سالب ثلاثة مضروبًا في لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة. إذن، يصبح لدينا اثنان لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة يساوي سالب ثلاثة لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة. يمكننا بعد ذلك تطبيق عكس القانون الأول. وبذلك، نحصل على لوغاريتم ﺱ تربيع للأساس ثلاثة يساوي لوغاريتم ثلاثة أس سالب ثلاثة للأساس ثلاثة.

حسنًا، بما أن الأساسين متساويان، يمكننا جعل مدخلي اللوغاريتمين متساويين. وعليه، يصبح ﺱ تربيع يساوي ثلاثة أس سالب ثلاثة. إذن، ﺱ تربيع يساوي واحدًا على ٢٧. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فسنحصل على ﺱ يساوي واحدًا على جذر ٢٧. لا تعنينا هنا القيمة السالبة؛ لأن المطلوب هو إيجاد مجموعة الأعداد الحقيقية. وذلك لأن ﺱ هو مدخل اللوغاريتمين لدينا، ويجب أن تكون قيمته موجبة ولا تساوي واحدًا.

حسنًا، بعد ذلك سنبسط جذر ٢٧ باستخدام إحدى قواعد الجذور أو الجذور الصماء. وتوضح أن جذر ٢٧ هو نفسه جذر تسعة مضروبًا في جذر ثلاثة؛ أي ثلاثة جذر ثلاثة. إذن، يمكننا القول إن مجموعة حل المعادلة هي واحد على ثلاثة جذر ثلاثة.

رائع، لقد تمكنا بالفعل من حل هذه المسألة التي تتضمن معادلة. والآن، سنلقي نظرة على مسألة تتضمن معادلة تربيعية.

أوجد مجموعة حل لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم الأساس أربعة لثلاثة ﺱ زائد ٢٨ في مجموعة الأعداد الحقيقية.

يمكننا في هذه المسألة استخدام صيغة تغيير الأساس. وهي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ. وسنستخدمها لأننا نريد أن يكون أساسا اللوغاريتمين في الطرفين الأيسر والأييمن متساويين. عندما نفعل ذلك، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ زائد ٢٨ للأساس اثنين على لوغاريتم أربعة للأساس اثنين.

وعندما نحل مسألة كهذه، فإننا نبحث عن صورة تماثل الصورة التي لدينا بالفعل، على سبيل المثال، لوغاريتم اثنان للأساس اثنين. وهي تماثل الصورة لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ. وفي الحقيقة، يمكننا تطبيق ذلك هنا لأن أربعة هو نفسه اثنان تربيع. وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة ذلك ليصبح المقام لوغاريتم اثنين تربيع للأساس اثنين.

يمكننا تطبيق قانونين من قوانين اللوغاريتمات لمزيد من التبسيط. القانون الأول هو لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺃ. أما القانون الثاني فهو لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا. بتطبيق القانون الأول، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ زائد ٢٨ للأساس اثنين على اثنين في لوغاريتم اثنين للأساس اثنين. وبتطبيق القانون الثاني، يمكننا القول إن المقام سيكون اثنين؛ لأنه عبارة عن اثنين مضروبًا في واحد، إذ إن لوغاريتم اثنين للأساس اثنين يساوي واحدًا.

وبضرب الطرفين في اثنين، نحصل على اثنين لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ زائد ٢٨ للأساس اثنين. والآن سنطبق عكس القانون الأول للوغاريتمات على الطرف الأيمن لدينا. وعند تطبيقه، نحصل على لوغاريتم ﺱ تربيع للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ زائد ٢٨ للأساس اثنين. يمكننا الآن جعل مدخلي اللوغاريتمين متساويين لأن لدينا الأساس نفسه في طرفي المعادلة.

وعند القيام بذلك، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٢٨. والآن يمكننا إعادة الترتيب لنحصل على معادلة تربيعية تساوي صفرًا. لذا، سنطرح ثلاثة ﺱ و٢٨ من كلا الطرفين. وبذلك، نحصل على المعادلة التربيعية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا. والآن، علينا الحل لإيجاد قيمة ﺱ. إذا أردنا حل المعادلة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ يساوي صفرًا، فعلينا تحليلها. بتحليل هذه المعادلة التربيعية، نحصل على ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. وبالتالي، نجد أن ﺱ يساوي سبعة أو سالب أربعة.

إذن مجموعة الحل ستكون سبعة أو سالب أربعة، أليس كذلك؟ حسنًا، لا؛ لأن ﺱ لا يمكن أن يساوي واحدة من هاتين القيمتين. وهي القيمة سالب أربعة. ذلك لأنه بالنظر إلى المعادلة مرة أخرى، نجد أن ﺱ هو مدخل اللوغاريتم في الطرف الأيمن. ونحن نعلم أن مدخل اللوغاريتم يجب أن تكون قيمته موجبة ولا تساوي واحدًا. إذن، مجموعة حل المعادلة هي سبعة فقط.

حسنًا، لقد حللنا المسألة السابقة باستخدام معادلة تربيعية. ما سنفعله الآن هو حل مسألة يكون لدينا فيها أكثر من ناتج واحد في مجموعة الحل.

حل لوغاريتم الأساس اثنين لـ لوغاريتم الأساس ثلاثة لـ ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ يساوي واحدًا، حيث ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

أول ما يمكننا فعله لحل هذه المسألة هو التأكد من أن لدينا لوغاريتم للأساس نفسه في طرفي المعادلة. ويمكننا تحقيق ذلك بتطبيق أحد قوانين اللوغاريتمات. وهو لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا. لذا، يمكننا القول إن لوغاريتم الأساس اثنين لـ لوغاريتم الأساس ثلاثة لـ ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ يساوي لوغاريتم اثنين للأساس اثنين؛ لأن واحدًا يساوي لوغاريتم اثنين للأساس اثنين.

وقد فعلنا ذلك ليكون لدينا لوغاريتم للأساس نفسه في كلا الطرفين الأيسر والأيمن. وبذلك، يكون بإمكاننا جعل مدخلي اللوغاريتمين متساويين. يمكننا القول إذن إن لوغاريتم الأساس ثلاثة لـ ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ يساوي اثنين. والآن، لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا أولًا تحويل الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية. فإذا كان لدينا لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ.

ومن ثم، إذا حددنا ﺃ وﺏ وﺱ، فسنتمكن من إعادة كتابة المعادلة على الصورة ثلاثة تربيع يساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ، ما يعطينا تسعة يساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ. بعد ذلك، سنطرح تسعة من طرفي المعادلة. وبهذا نحصل على صفر يساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص تسعة. والآن علينا حل هذه المعادلة التربيعية.

حسنًا، يمكننا حل المعادلة التربيعية بالتحليل. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على صفر يساوي ﺱ ناقص تسعة مضروبًا في ﺱ زائد واحد. يمكننا القول إذن إن ﺱ يساوي تسعة أو سالب واحد. هذا رائع؛ فهاتان القيمتان ضمن مجموعة الحل. حسنًا، ربما تعتقد أن ذلك غير ممكن لأننا نعلم أن مدخل اللوغاريتم يجب أن تكون قيمته موجبة ولا تساوي واحدًا. لذا، لا يمكن تضمين القيمة السالبة في مجموعة الحل. لكن الأمر ليس كذلك في هذه المسألة تحديدًا؛ لأننا إذا نظرنا إلى مدخل اللوغاريتم، فسنجد أنه ليس ﺱ. بل إنه ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ؛ هذا هو مدخل أحد اللوغاريتمين لدينا.

ما سنفعله لتوضيح ذلك هو التعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في مدخل اللوغاريتم هذا. حسنًا، إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على سالب واحد الكل تربيع ناقص ثمانية مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يعطينا واحدًا زائد ثمانية لأن سالب واحد تربيع يساوي واحدًا. كما أن طرح عدد سالب هو نفسه جمع عدد موجب. حسنًا، هذا يعطينا الناتج تسعة، وهو عدد موجب ولا يساوي واحدًا. ومن ثم، فهو يحقق شروط مدخل اللوغاريتم التي نعلمها. وبهذا، يمكننا القول إن مجموعة حل المعادلة هي تسعة وسالب واحد.

حسنًا. لقد تناولنا مجموعة مختلفة من المسائل. والآن، دعونا نلقي نظرة على ملخص النقاط الأساسية. إذا نظرنا إلى النقاط الأساسية، فسنجد أن أولها هي أنه عند تغيير أساس أحد اللوغاريتمات، يمكننا القول إن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ. وبالتالي، يمكننا تغيير الأساس إلى أي عدد نريده. ونختار هنا الأساس الذي سيساعدنا عند حل معادلة أو تبسيط مقدار.

عرفنا أيضًا أنه إذا كان لدينا لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ، فإن ﺏ هو مدخل اللوغاريتم وﺃ هو الأساس. ويجب أن تكون قيمة مدخل اللوغاريتم موجبة ولا تساوي واحدًا. وفي الواقع، يعود السبب في هذا إلى أن الأساس لا بد أن يكون أيضًا قيمة موجبة ولا تساوي واحدًا أو صفرًا. وهو أمر مهم علينا وضعه في اعتبارنا عند التفكير في مجال ﺱ إذا كان ﺱ جزءًا من مدخل اللوغاريتم في معادلة نحاول حلها.