نسخة الفيديو النصية
اشتقاق الدوال العكسية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقات الدوال العكسية. كما سنتناول مجموعة متنوعة من الأمثلة توضح لنا كيفية القيام بذلك. لنبدأ باسترجاع بعض المعلومات المتعلقة بالدوال العكسية.
نفترض أن ﺩ دالة بالمجال ﻕ والمدى ﻉ، ومن ثم فإن ﺩ تأخذ ﻕ إلى ﻉ. ونسمي الدالة ﺭ، التي تأخذ ﻉ إلى ﻕ، بالدالة العكسية لـ ﺩ، إذا كان ﺩ لـ ﺭﺹ يساوي ﺹ لجميع قيم ﺹ المنتمية إلى ﻉ. ولجميع قيم ﺱ المنتمية إلى ﻕ، فإن ﺭ لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ. يتضح من هذا التعريف أنه قد يكون لدالة ما ﺩ دالة عكسية ثم نطبق كلًّا من الدالة ﺩ ودالتها العكسية على قيمة ما. وعندئذ، نحصل على القيمة نفسها. والآن، في حالة وجود الدالة ﺭ المذكورة في هذا التعريف، يمكننا القول إن الدالة ﺩ قابلة للعكس وإن الدالة ﺭ هي الدالة العكسية لـ ﺩ. ويمكننا أيضًا الإشارة إلى الدالة العكسية بالصورة ﺩ سالب واحد.
ولكن، يجب أن نتوخى الحذر حتى لا نخلط بين هذا وﺩ أس سالب واحد. وذلك لأنهما مختلفان تمامًا على الرغم من تشابه رمزيهما. إذا كان ﺃ سالب واحد بجانب دالة، فهذا يعني الدالة العكسية. ولكن إذا كان ذلك بجانب متغير أو ثابت، فإنه يعني أس سالب واحد. ثمة أمر آخر جدير بالملاحظة، وهو أنه إذا كانت ﺩ الدالة العكسية لـ ﺭ، فإن ﺭ هي أيضًا الدالة العكسية لـ ﺩ. لننظر الآن إلى منحنى دالة ما ﺩ.
نعلم أنه يمكننا إيجاد منحنى الدالة العكسية لهذه الدالة من خلال إجراء انعكاس له حول الخط ﺹ يساوي ﺱ، وهو هذا الخط هنا. ومن ثم، ستبدو الدالة العكسية على هذا النحو. ما نريده هنا هو إيجاد مشتقة الدالة العكسية. المشتقة هي دالة ميل المنحنى. وتتمثل إحدى طرق إيجاد الميل عند نقطة محددة في إيجاد المماس عند هذه النقطة ثم إيجاد ميل المماس. لنوجد مماس الدالة ﺩ عند قيمة ﺱ ما، ولنسمها ﺃ. وستكون إحداثيات النقطة التي نأخذ عندها المماس هي ﺩﺃ. يمكننا أيضًا تسمية ﺩﺃ بـ ﺏ حيث تكون النقطة التي نوجد مماسها هي ﺃ، ﺏ.
وبذلك، نجد أن الدالة ﺩﺃ تساوي ﺏ. علينا الآن ربط هذه النقطة بالدالة العكسية لـ ﺩ بطريقة ما. إذا طبقنا الدالة العكسية لـ ﺩ على كلا الطرفين هنا، فسنجد أن الدالة العكسية لـ ﺩ لـ ﺩﺃ تساوي الدالة العكسية لـ ﺩﺏ. ولكن على ضوء تعريف الدالة العكسية، نعلم أن الدالة العكسية لـ ﺩ لـ ﺩﺃ تساوي ﺃ. ومن ثم، نجد أن الدالة العكسية لـ ﺩﺏ تساوي ﺃ. لنوجد هذه النقطة على منحنى الدالة العكسية لـ ﺩ العكسية لـ ﺱ. ويمكننا إيجاد مماس الدالة العكسية لـ ﺩﺱ عند هذه النقطة. يبدو أن كلًّا من مماس الدالة ﺩﺱ عند ﺃ، ﺏ ومماس الدالة العكسية لـ ﺩﺱ عند ﺏ، ﺃ انعكاس للآخر حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. وهذا يبدو منطقيًّا؛ بما أن ﺩﺱ انعكاس للدالة العكسية لـ ﺩﺱ حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. والنقطة ﺃ، ﺏ هي انعكاس النقطة ﺏ، ﺃ حول الخط ﺹ يساوي ﺱ.
والآن، ما يعنينا هنا هو دالة الميل للدالة العكسية ﺩﺱ. فلننظر إلى ميل هذين المماسين. دعونا نسم مماس الدالة ﺩﺱ بـ ﻝ واحد ومماس الدالة العكسية لـ ﺩﺱ بـ ﻝ اثنين. يمكننا كتابة معادلة ﻝ واحد على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. الانعكاس حول الخط ﺹ يساوي ﺱ يناظر التحويل من ﺱ، ﺹ إلى ﺹ، ﺱ. ومن ثم، فإن معادلة الخط ﻝ اثنين هي ﺱ يساوي ﻡﺹ زائد ﺟ. ويمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ﺹ في طرف بمفرده، وبذلك نحصل على ﺹ يساوي واحدًا على ﻡﺱ ناقص ﺟ على ﻡ.
ثمة أمر آخر يعنينا هنا، وهو ميل كل من هذين المماسين. وكما نلاحظ، فإن ميل مماس الدالة ﺩﺱ هو ﻡ. وميل مماس الدالة العكسية لـ ﺩﺱ هو واحد على ﻡ. وبما أن ﻡ هو ميل المماس عند النقطة ﺃ، ﺏ، فإنه يمكن أيضًا تعريفه على أنه ميل الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ﺃ. إذن، لدينا ﻡ يساوي ﺩ شرطة ﺃ. وواحد على ﻡ يمثل ميل مماس الدالة العكسية لـ ﺩﺱ عند ﺏ، ﺃ. وهذا هو ميل الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺱ يساوي ﺏ. ومن ثم، يمكننا القول إن هذه هي مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺏ يساوي واحدًا على ﻡ. ولكننا وجدنا أن ﻡ يساوي ﺩ شرطة ﺃ. ومن ثم، يمكن التعويض بذلك. وهذا يقودنا إلى النتيجة المذكورة. وذلك يعني أنه إذا كان ﺩﺃ يساوي ﺏ، فإن مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺏ تساوي واحدًا على مشتقة الدالة ﺩ عند ﺃ. وبالطبع، لا يكون هذا منطقيًّا إلا إذا كانت ﺩ شرطة ﺃ لا تساوي صفرًا.
لم نثبت هذه النتيجة بدقة. هذا لأننا استندنا فقط إلى حقيقة أن كلًّا من المماسين انعكاس للآخر بطبيعة الحال. ولكن يمكن إثبات هذه النتيجة باستخدام قاعدة السلسلة. إذا كان لدينا الدالة ﺩ ودالتها العكسية ﺭ، فإنه حسب تعريف الدالة العكسية، الدالة ﺩ لـ ﺭﺹ تساوي ﺹ. والآن، سنستخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺹ. وبذلك، نحصل على ﺩ شرطة لـ ﺭﺹ مضروبًا في ﺭ شرطة ﺹ يساوي واحدًا. وبإعادة الترتيب، نحصل على النتيجة السالف ذكرها. وهي ﺭ شرطة ﺹ يساوي واحدًا على ﺩ شرطة لـ ﺭﺹ. ويكتب هذا عادة بصيغة لايبنز. وهذه الصيغة هي: ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﺹ. أما الآن، فلنطبق هذه التعريفات على بعض الأمثلة.
إذا كان ﺱ يساوي ﻫ أس ﺹ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ.
يمكنك البدء باشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﺹ. استنادًا إلى حقيقة أن مشتقة الدالة الأسية لعدد أويلر هي الدالة نفسها، نجد أن ﺩﺱ على ﺩﺹ يساوي ﻫ أس ﺹ. أما الآن، فسوف نحاول إيجاد مشتقة دالة المقلوب، أي ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه تساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولإيجاد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن مشتقة الدالة العكسية لدالة ما تساوي مقلوب مشتقة الدالة. وهذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﺹ. ولتطبيق ذلك، يجب أن نتأكد أن مقام الكسر ليس صفرًا. والمقام هنا ﺩﺱ على ﺩﺹ.
وقد وجدنا توًّا أن ﺩﺱ على ﺩﺹ يساوي ﻫ أس ﺹ. وبما أن ﻫ أس ﺹ دالة أسية، نعلم أن ﻫ أس ﺹ أكبر من صفر لجميع قيم ﺹ. ولذا، فإنه لا يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا استخدام هذه الصيغة. وبذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﻫ أس ﺹ. ولكن، المطلوب في المسألة هو إيجاد الناتج بدلالة ﺱ. وللتوصل إلى الناتج بدلالة ﺱ، يمكننا استخدام حقيقة أن ﺱ يساوي ﻫ أس ﺹ والتعويض عن ﻫ أس ﺹ بـ ﺱ. ومن ثم، نتوصل إلى الحل، وهو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ.
لنتوقف برهة للتفكير فيما لدينا هنا. الدالة الأصلية هي ﺱ يساوي ﻫ أس ﺹ. يمكننا أن نجعل ﺹ المتغير التابع في هذه المعادلة. ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين. وهذا يعطينا ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وهذه هي الدالة العكسية للدالة المعطاة في المسألة. وقد وجدنا قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبما أن ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ هو مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم، يتضح لنا أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ.
سنتناول الآن مثالًا آخر.
إذا كان ﺱ يساوي ﺹ أس خمسة زائد الجذر التربيعي لـ ﺹ زائد الجذر التكعيبي لـ ﺹ تربيع، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.
يمكننا إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام الصيغة الخاصة بمشتقة الدالة العكسية. وهي ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﺹ. إذن نبدأ باشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﺹ. لنبدأ بإعادة كتابة بعض حدود ﺱ. يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺹ على الصورة ﺹ أس نصف والجذر التكعيبي لـ ﺹ تربيع على الصورة ﺹ أس اثنين على ثلاثة. يمكننا استخدام قاعدة القوى للاشتقاق بغرض اشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﺹ، كل حد على حدة.
نضرب في الأس ونطرح منه واحدًا. هذا يعطينا ﺩﺱ على ﺩﺹ يساوي خمسة ﺹ أس أربعة زائد نصف ﺹ أس سالب نصف زائد ثلثين ﺹ أس سالب ثلث. يمكننا إعادة كتابة الأسس الكسرية لـ ﺹ لنرجع بها إلى صورتها كجذور صماء. وبعد ذلك، يمكننا تجميع هذه الحدود الثلاثة في كسر واحد بإيجاد مقام مشترك، وهو ستة ﺹ. يصبح الحد الأول ٣٠ﺹ أس خمسة على ستة ﺹ. ويصبح الحد الثاني ثلاثة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺹ على ستة ﺹ. ويصبح الحد الثالث أربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺹ تربيع على ستة ﺹ. وبذلك، نحصل على ﺩﺱ على ﺩﺹ يساوي ٣٠ في ﺹ أس خمسة زائد ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ﺹ زائد أربعة في الجذر التكعيبي لـ ﺹ تربيع الكل على ستة ﺹ.
يمكننا الآن استخدام صيغة مشتقة الدالة العكسية. وهذا يعطينا الحل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي مقلوب ﺩﺱ على ﺩﺹ.
قد يطلب منا أحيانًا إيجاد مشتقة الدالة العكسية عند نقطة محددة. ومن ثم، علينا الانتباه جيدًا إلى النقطة التي نوجد قيمة الدالة عندها، كما سيتضح في المثال التالي.
افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي نصف ﺱ تكعيب زائد نصف ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص أربعة، وﺭ هي الدالة العكسية لـ ﺩ. إذا كانت الدالة ﺩ لاثنين تساوي ١٢، فما قيمة ﺭ شرطة ١٢؟
للمساعدة في إيجاد قيمة ﺭ شرطة لـ ١٢، يمكننا استخدام الصيغة الخاصة بمشتقات الدوال العكسية. وتنص على أنه إذا كانت ﺭ هي الدالة العكسية لـ ﺩ، فإن ﺭ شرطة ﺹ يساوي واحدًا على ﺩ شرطة لـ ﺭﺹ. لنبدأ بإيجاد ﺩ شرطة ﺱ، أي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ. نلاحظ أن ﺩ كثيرة حدود. ومن ثم، لإيجاد مشتقتها، يمكننا اشتقاقها كل حد على حدة باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. كل ما علينا هو الضرب في الأس وطرح واحد منه. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة على اثنين ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد خمسة.
بعد ذلك، سنلاحظ أن ما نريده في الواقع إيجاد ﺭ شرطة لـ ١٢. إذن يمكننا التعويض بـ ﺹ يساوي ١٢ في صيغة ﺭ شرطة ﺹ. هذا يعطينا ﺭ شرطة لـ ١٢ يساوي واحدًا على ﺩ شرطة ﺭلـ ١٢. لا نعرف قيمة ﺭ ١٢. ولكن، طبقًا لمعطيات المسألة، فإن ﺩ لاثنين يساوي ١٢. وبما أن ﺭ هي الدالة العكسية لـ ﺩ، يمكننا تطبيق ﺭ على كلا الطرفين. وبذلك، نجد أن ﺭلـ ١٢ يساوي اثنين. والسبب وراء ذلك هو آلية عمل الدوال العكسية. إذا حسبنا ﺭﺩ اثنين، فسوف نحصل على اثنين.
يمكننا الآن التعويض بقيمة ﺭلـ ١٢ هذه في المعادلة ﺭ شرطة لـ ١٢. هذا يساوي واحدًا على ﺩ شرطة لاثنين. وقد وجدنا بالفعل قيمة ﺩ شرطة ﺱ. ومن ثم، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي اثنين لإيجاد قيمة ﺩ شرطة لاثنين. وبذلك، نجد أن ﺩ شرطة لاثنين يساوي ١٣. بالتعويض بقيمة ﺩ شرطة لاثنين في ﺭ شرطة لـ ١٢، نحصل على ﺭ شرطة لـ ١٢ يساوي واحدًا على ١٣.
يفترض طبقًا للتعريف الأصلي لمشتقة الدالة العكسية أن الدالة العكسية موجودة. وسنتناول الآن ما يسمى بنظرية الدالة العكسية، وهي أكثر فاعلية من التعريف الأصلي. هذا لأنها تضمن وجود واتصال دالة عكسية لدالة ما عندما تكون الدالة الأصلية قابلة للاشتقاق باستمرار ومشتقتها لا تساوي صفرًا.
نظرية الدالة العكسية
افترض أن ﺩ دالة قابلة للاشتقاق باستمرار بمشتقة غير صفرية عند نقطة ما ﺃ. تنص نظرية الدالة العكسية على ما يلي: أولًا، الدالة ﺩ قابلة للعكس عند نقطة في جوار ﺃ. ثانيًا، للدالة ﺩ دالة عكسية قابلة للاشتقاق باستمرار عند نقطة في جوار ﺃ. ثالثًا، مشتقة الدالة العكسية للنقطة ﺏ تساوي ﺩﺃ يساوي مقلوب مشتقة ﺩ عند ﺃ. وهذا يعني أن مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩﺏ تساوي واحدًا على مشتقة ﺩﺃ.
كل ما يتطلبه استخدام هذه النظرية أن تكون الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق باستمرار وأن تكون لها مشتقة لا تساوي صفرًا عند نقطة ما ﺃ. ويقع إثبات هذه النظرية خارج نطاق هذا الفيديو. ومن ثم، لن نتناوله هنا.
ننتقل الآن إلى استعراض بعض الأمثلة.
إذا كانت الدالة ﺩ لاثنين 𝜋 تساوي سالب واحد، وﺩ شرطة لاثنين 𝜋 تساوي واحدًا، وﺃ يساوي سالب واحد، فأوجد مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺃ.
سوف نستخدم حقيقة أن مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺃ تساوي واحدًا على ﺩ شرطة في الدالة العكسية لـ ﺩﺃ. وفي هذه المسألة، ﺃ يساوي سالب واحد. إذن، علينا البدء بإيجاد معكوس الدالة ﺩ لسالب واحد. طبقًا لمعطيات المسألة، ﺩ لاثنين 𝜋 يساوي سالب واحد. وبما أننا نعلم أن معكوس الدالة ﺩ هو الدالة العكسية لـ ﺩ، فهذا يعني أن الدالة العكسية لـ ﺩ لسالب واحد تساوي اثنين 𝜋. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة. نعلم أن مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند سالب واحد تساوي واحدًا على ﺩ شرطة لاثنين 𝜋. ونلاحظ أن لدينا بالفعل قيمة ﺩ شرطة لاثنين 𝜋 في المسألة. وتساوي واحدًا.
يمكننا التعويض بذلك. وهكذا، نتوصل إلى الحل، وهو أن مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند سالب واحد تساوي واحدًا.
سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.
افترض أن ﺭ هي الدالة العكسية لـ ﺩ. باستخدام القيم الموجودة في الجدول، أوجد ﺭ شرطة لصفر.
لإيجاد قيمة ﺭ شرطة لصفر، سنستخدم صيغة إيجاد مشتقة الدالة العكسية لدالة. تنص هذه الصيغة على أن ﺭ شرطة ﺹ يساوي واحدًا على ﺩ شرطة ﺭﺹ. نريد إيجاد قيمة ﺭ شرطة لصفر. إذن يمكننا التعويض عن ﺹ بصفر. هذا يعطينا ﺭ شرطة لصفر يساوي واحدًا على ﺩ شرطة ﺭ لصفر. نلاحظ من الجدول أنه عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺭ يساوي سالب واحد. ومن ثم، ﺭ لصفر يساوي سالب واحد. يمكننا التعويض بذلك لنحصل على ﺭ شرطة لصفر يساوي واحدًا على ﺩ شرطة لسالب واحد.
والآن، يمكننا ببساطة قراءة ﺩ شرطة لسالب واحد من الجدول. عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺩ شرطة يساوي ثلثًا. ونعلم أن ﺩ شرطة لسالب واحد يساوي ثلثًا. مرة أخرى، يمكن التعويض بذلك. ومن ثم، نحصل على ﺭ شرطة لصفر يساوي مقلوب ثلث. وبذلك، نتوصل إلى الحل وهو ثلاثة.
وهكذا، نكون قد تعرفنا على مشتقات الدوال العكسية. وتناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة حول آلية عملها. لنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو.
النقاط الرئيسية
نفترض أن لدينا دالة ﺩ قابلة للاشتقاق باستمرار وأن مشتقتها لا تساوي صفرًا عند نقطة ما ﺃ. ف سنجد أن مشتقة الدالة العكسية عند ﺏ، التي تساوي ﺩﺃ، هي مشتقة الدالة العكسية لـ ﺩ عند ﺏ يساوي واحدًا على مشتقة ﺩ عند ﺃ. وعادة ما يكتب ذلك بصيغة لايبنز حيث ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﺹ. وعلينا الانتباه جيدًا إلى النقاط التي نستخدمها.
عند استخدام هذه المعادلات، يمكننا إيجاد مشتقات عدة دوال عكسية مألوفة، مثل دوال اللوغاريتم الطبيعي. وتضمن نظرية الدالة العكسية وجود الدالة العكسية لدالة متصلة حول نقاط ومشتقاتها لا تساوي صفرًا. ويمكننا الاستعانة بهذه النظرية لإيجاد مشتقات الدوال العكسية. ويمكننا ذلك أيضًا عندما لا يتسنى لنا إيجاد صيغة صريحة للدالة العكسية.
