فيديو الدرس: تحليل القوى الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن تحليل قوة في اتجاهين. لعلنا نتذكر أن القوة فعل متبادل يمكن أن يغير من حركة جسم ما. وغالبًا ما نصفها بأنها قوى دفع أو جذب، ولكن هناك أمورًا تتعلق بها أكثر من ذلك. ما يعنينا في المقام الأول هو كيف يمكننا أن نأخذ قوة بعينها ونحللها إلى مركباتها - أي عناصرها الجزئية من القوى. عادة ما تكون هاتان المركبتان متعامدتين، ولكنهما قد لا تكونان كذلك في بعض الأحيان. ومن ثم، سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية بالإضافة إلى حساب المثلثات للمثلث غير القائم الزاوية لمساعدتنا في ذلك. سنبدأ بمثال بسيط للغاية لنرى كيف تبدو هذه العملية.

حلل قوة مقدارها ٨١ نيوتن إلى المركبتين المتعامدتين، ﻕ واحد وﻕ اثنين، كما هو موضح بالشكل. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لدينا شكل يوضح قوة مقدارها ٨١ نيوتن تؤثر بزاوية قياسها ٥٤ درجة على المحور الأفقي. نعلم كذلك أن ﻕ واحد وﻕ اثنين، وهما مركبتا القوة التي تساوي ٨١ نيوتن، متعامدتان. هذا يعني بالطبع أنهما تتقابلان عند زاوية قياسها ٩٠ درجة؛ أي بزاوية قائمة. فكيف يساعدنا هذا في حساب قيمتي ﻕ واحد وﻕ اثنين؟

حسنًا، لدينا طريقة سهلة تتمثل في إضافة مثلث قائم الزاوية إلى الشكل. بما أن الخطين الرأسيين متوازيان، وﻕ اثنين هو نفسه أحد مركبتي القوة التي تبلغ ٨١ نيوتن، يمكننا أن نقول إن طول الخط الرأسي الذي أضفناه إلى الشكل يجب أن يساوي مقدار ﻕ اثنين. وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية نعلم قياس أحد أضلاعه وزواياه، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

قياس الزاوية المحصورة يساوي ٥٤ درجة، وطول الوتر يمثل ٨١ نيوتن. طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٥٤ درجة هو ﻕ اثنان، والضلع المجاور لها ﻕ واحد. سنبدأ بحساب قياس ﻕ واحد. بما أن ﻕ واحد هو طول الضلع المجاور، ونعرف طول الوتر، فسنستخدم نسبة جيب التمام هنا. ‏جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. بالتعويض بجميع القيم التي نعرفها عن المثلث في هذه الصيغة، نحصل على جتا ٥٤ درجة يساوي ﻕ واحد على ٨١. نوجد قيمة ﻕ واحد بضرب الطرفين في ٨١. وهكذا ﻕ واحد يساوي ٨١ في جتا ٥٤، وهو ما يساوي ٤٧٫٦١٠، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن ﻕ واحد يساوي ٤٧٫٦١ نيوتن.

لنكرر هذه العملية مع ﻕ اثنين. هذه المرة، نحاول إيجاد طول الضلع المقابل في المثلث. وسنستخدم نسبة الجيب؛ حيث جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وبما أننا في هذه المرحلة نعرف طول ضلعين، كان بإمكاننا استخدام نظرية فيثاغورس. لكننا سنحصل على الإجابة نفسها في الحالتين. هذه المرة، نستخدم المعادلة جا ٥٤ يساوي ﻕ اثنين على ٨١. مرة أخرى، نوجد قيمة ﻕ اثنين عن طريق ضرب الطرفين في ٨١. إذن، ﻕ اثنان يساوي ٨١ في جا ٥٤، وهو ما يساوي ٦٥٫٥٣٠، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن ﻕ اثنين يساوي ٦٥٫٥٣ نيوتن. وبذلك، نكون قد حللنا القوة التي تبلغ ٨١ نيوتن، وتؤثر على المحور الأفقي بزاوية قياسها ٥٤ درجة؛ إلى مركبتين متعامدتين.

والآن، إذا فكرنا في ذلك الأمر، فسنجد أنه من المنطقي أن يكون قياسا ﻕ واحد وﻕ اثنين أصغر من ٨١. عند تحليل قوة ما، فإننا نقسمها إلى مركباتها، أو إلى أجزائها. إذن ﻕ واحد وﻕ اثنان جزءان من القوة التي تبلغ ٨١ نيوتن. ومن ثم، يجب أن يكونا أقل قيمة.

في المثال الآتي، سنتناول كيفية تحليل مركبتي قوة عندما لا تؤثران كل منهما على الأخرى مكونتين زاوية قائمة بينهما.

قوة مقدارها ٤١ نيوتن تؤثر في اتجاه الجنوب. حللت إلى مركبتين، كما هو موضح بالشكل. أوجد مقدار كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لنبدأ بإضافة القوة التي تبلغ ٤١ نيوتن إلى الشكل. إنها تؤثر في اتجاه الجنوب، إذن سيكون مكان هذه القوة هنا. ثم حللت هذه القوة إلى جزأين أو مركبتين. وهما ﻕ واحد وﻕ اثنان. والآن، يمكنك ملاحظة أن هاتين المركبتين معطاتان في صورة متجهين. لكننا في الواقع نحاول إيجاد مقداريهما. مقدار المتجه هو طوله في الأساس. ومن ثم، علينا إيجاد هذين البعدين هنا. وما قد نحاول فعله هو أن نضيف مثلثين قائمي الزاوية إلى الشكل.

لكن ليس من السهل فعل ذلك في هذه الحالة لأن القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين لا تؤثران كل منهما على الأخرى بزاوية قائمة. لذا، نرسم بدلًا من ذلك ما يسمى متوازي الأضلاع للقوى. حيث نرسم خطين يوازيان ﻕ واحد وﻕ اثنين؛ ومن ثم نرسم متوازي أضلاع. تؤثر القوة التي تبلغ ٤١ نيوتن في اتجاه الجنوب، وهذا يجعلها قطرًا لمتوازي الأضلاع. ومن ثم يمكننا استخدام الحقائق عن الزوايا لإكمال بعض القياسات الناقصة.

نعلم أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان في القياس؛ لذا يمكننا إضافة زاوية قياسها ٤٥ درجة هنا، وزاوية قياسها ٦٠ درجة هنا. نعلم أيضًا أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن بطرح ٤٥ و٦٠ من ١٨٠، نوجد قياسي الزاويتين المجهولتين في المثلثين. لنكبر المثلث الموجود على جانب اليد اليسرى، الذي يربط بين القوة التي تبلغ ٤١ نيوتن وﻕ اثنين. لدينا مثلث غير قائم الزاوية، ونعرف قياس كل من زواياه الثلاث وطول أحد أضلاعه. هذا يعني أنه لإيجاد طول الضلع الثاني، يمكننا استخدام قانون الجيب.

بعد تسمية المثلث كما هو موضح، نرى أننا سنربط ﺃ شرطة على جا ﺃ بـ ﺏ شرطة على جا ﺏ. بالتعويض بالقيم التي نعرفها عن المثلث في الصيغة، نجد أن مقدار ﻕ اثنين على جا ٦٠ يساوي ٤١ على جا ٧٥. لحل هذه المعادلة لإيجاد مقدار ﻕ اثنين - لاحظ أنني قد وضعت هذا المقدار بين خطين - نضرب في جا ٦٠. ومن ثم، فإن مقدار ﻕ اثنين يساوي ٤١ على جا ٧٥ في جا ٦٠، وهو ما يساوي ٣٦٫٧٥٩، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يكون مقدار ﻕ اثنين ٣٦٫٧٦ نيوتن.

سنكرر هذه العملية لإيجاد مقدار ﻕ واحد. ولفعل ذلك، يمكننا تكرار عملية إعادة رسم المثلث الموجود في جانب اليد اليمنى. لكننا نعلم أن هذا الضلع الذي أسميناه ﺃﺏ من المثلث الذي رسمناه يوازي الضلع الذي يمثل مركبة المتجه ﻕ واحد. في الواقع، بما أن هذا الشكل متوازي أضلاع، فإن أضلاعه أطوالها متساوية. وإذا حسبنا طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فسنحصل على مقدار ﻕ واحد. هذه المرة، سنربط ﺏ شرطة وجا ﺏ بـ ﺟ شرطة وجا ﺟ. وبذلك، تصبح المعادلة: ٤١ على جا ٧٥ يساوي مقدار ﻕ واحد على جا ٤٥.

لإيجاد مقدار ﻕ واحد، سنضرب الطرفين في جا ٤٥ درجة. ومن ثم، فإن مقدار ﻕ واحد يساوي ٤١ على جا ٧٥ جا ٤٥، وهو ما يساوي ٣٠٫٠١٤، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يكون الناتج ٣٠٫٠١. ومن ثم، فإن مقدار ﻕ واحد يساوي ٣٠٫٠١ نيوتن، ومقدار ﻕ اثنين يساوي ٣٦٫٧٦ نيوتن.

تتمثل إحدى المهارات الأساسية في أن تكون قادرًا على استخدام المعلومات المعطاة في السؤال ورسم شكل يمثل القوة. لنر كيف يبدو ذلك عندما نتعامل مع متوازي أضلاع آخر يمثل القوى.

قياس الزاوية المحصورة بين القوتين، ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنين، يساوي ٧٥ درجة. محصلة القوتين تساوي ٢٩٠٠ نيوتن، وتصنع زاوية قياسها ٤٥ درجة مع ﺃ شرطة واحد. أوجد القوتين ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنين. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

قبل أن نفعل أي شيء، نبدأ برسم شكل يمثل القوة. ها هما القوتان ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنان، اللتان تلتقيان معًا عند زاوية قياسها ٧٥ درجة. ثم لدينا هذه القوة المحصلة، تساوي ٢٩٠٠ نيوتن، وتكون زاوية قياسها ٤٥ درجة مع ﺃ شرطة واحد. تذكر أن القوة المحصلة هي القوة التي نحصل عليها من خلال تجميع نظام من القوى؛ أي ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنين في هذه الحالة. مهمتنا هي إيجاد القوتين ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنين. ومن ثم، سنضيف شيئين إلى الشكل.

أولًا: نضيف خطين موازيين للخطين اللذين يمثلان القوتين ﺃ شرطة واحد وﺃ شرطة اثنين. وهذا يعطينا متوازي أضلاع. بذلك، نعرف أن الأضلاع المتقابلة ليست متوازية فحسب، بل إنها متساوية في الطول أيضًا. وسيكون هذا مفيدًا لاحقًا. ثم نستخدم حقيقة أن الزوايا المتبادلة متساوية في القياس. لذا، فإن قياس هذه الزاوية لا بد أن يساوي ٤٥ درجة. ثم بطرح ٤٥ من ٧٥، نحصل على زاويتين قياس كل منهما ٣٠ درجة. ويمكن إيجاد قياس الزاوية الثالثة من خلال طرح ٤٥ و٣٠ من ١٨٠ درجة؛ لأن مجموع زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. وبذلك نجد أن قياس الزاوية الثالثة في كلا المثلثين يساوي ١٠٥ درجات.

لنفصل المثلثين أحدهما عن الآخر. سنجد أننا نتعامل مع مثلثين متطابقين غير قائمي الزاوية. لدينا طول يساوي ٢٩٠٠ في كلا المثلثين. وسنحصل بعد ذلك على ﺃ شرطة واحد هنا. وبما أننا قلنا إن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متوازية ومتساوية في الطول، فسنحصل على ﺃ شرطة اثنين هنا.

بما أننا نعرف قياس كل زوايا المثلث وطول أحد أضلاعه، يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد قياس الزاويتين الأخريين. لنسم المثلث كما هو موضح في الشكل. في البداية، سنوجد قيمة ﺃ شرطة واحد. هذا يعني أننا نريد ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. بالتعويض بكل القيم التي نعرفها عن المثلث في هذه الصيغة، نحصل على ﺃ شرطة واحد على جا ٣٠ درجة يساوي ٢٩٠٠ على جا ١٠٥. سنضرب كلا الطرفين في جا ٣٠ لإيجاد قيمة ﺃ شرطة واحد. إذن، ﺃ شرطة واحد يساوي ٢٩٠٠ على جا ١٠٥ في جا ٣٠؛ أي ١٥٠١٫١٥، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين. إذن ﺃ شرطة واحد يساوي ١٥٠١٫١٥ نيوتن.

لنفرغ بعض المساحة ونجر العملية نفسها لإيجاد ﺃ شرطة اثنين. هذه المرة، سنستخدم ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، نجد أنه يمكننا إيجاد ﺃ شرطة اثنين بضرب كلا الطرفين في جا ٤٥. إذن، ﺃ شرطة اثنان يساوي ٢٩٠٠ على جا ١٠٥ في جا ٤٥. وهو ما يساوي ٢١٢٢٫٩٥، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، ﺃ شرطة واحد يساوي ١٥٠١٫١٥ نيوتن، وﺃ شرطة اثنان يساوي ٢١٢٢٫٩٥ نيوتن.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا تحليل وزن جسم يستقر على مستوى مائل إلى مركبتين في اتجاهين.

وضع جسم مقدار وزنه ٧٢ نيوتن على مستوى مائل يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥ درجة. حلل الوزن إلى المركبتين ﻕ واحد وﻕ اثنين؛ حيث ﻕ واحد مركبة في اتجاه المستوى، وﻕ اثنان مركبة عمودية على المستوى.

ستكون القدرة على تمثيل أجسام مستقرة على مستوى أمرًا مهمًّا حقًّا عندما يتعلق الأمر باستخدام قوانين نيوتن للحركة. لنر إذن كيف نفعل هذا، سنبدأ برسم شكل للجسم يستقر على مستوى. هنا جسم يستقر على مستوى يميل بزاوية ٤٥ درجة. وزن الجسم يساوي ٧٢ نيوتن. وتلك أساسًا هي القوة لأسفل التي تؤثر على المستوى بفعل الجاذبية.

عادة ما نضيف أي قوى أخرى إلى الشكل. لكن في واقع الأمر، ما يعنينا هنا هو تحليل القوة التي تبلغ ٧٢ نيوتن إلى مركبتين، وهما ﻕ واحد وﻕ اثنان. نعلم أن ﻕ واحد هو المركبة في اتجاه المستوى. في الأساس، إنها مركبة الوزن التي تؤثر بموازاة المستوى. إذن، ﻕ اثنان هي المركبة العمودية على المستوى. إنها مركبة الوزن المتعامدة على المستوى. ومن ثم، يمكننا إضافة هاتين القوتين كما هو موضح بالشكل.

والآن، ربما كنت معتادًا على رؤية ﻕ واحد هنا. هذا الضلع يوازي ويساوي طول الخط نفسه الذي رسمناه في المثلث. إذن، ستكون لـ ﻕ واحد القيمة نفسها في أي من الموضعين. في الواقع، ﻕ واحد وﻕ اثنان متعامدان. وهكذا يصبح لدينا مثلث قائم الزاوية نعرف طول وتره. وهو٧٢ نيوتن. هذا يعني أنه إذا استطعنا إيجاد قياس إحدى الزوايا الأخرى في المثلث، فسيمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لتحليل الوزن إلى المركبتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. بعبارة أخرى: يمكننا إيجاد المقدارين للمركبتين ﻕ واحد وﻕ اثنين وقيمتيهما.

والآن، لإيجاد قياس زاوية أخرى، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية أكبر قليلًا. في هذا المثلث، نرى أن لدينا زاوية قائمة عند نقطة التقاء الجسم مع المستوى. لدينا أيضًا زاوية قياسها ٤٥ درجة. هذا يعني أن لدينا مثلثًا متساوي الساقين قائم الزاوية. لكن يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية الأخرى بحساب ١٨٠ ناقص ٩٠ ناقص ٤٥. ونجد أن قياس هذه الزاوية هنا يساوي ٤٥ درجة.

نعلم أن القوة التي تبلغ ٧٢ نيوتن تؤثر رأسيًّا لأسفل. ومن ثم، تؤثر هذه القوة بزاوية قياسها ٩٠ درجة على الأفقي. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية. لدينا مثلث قائم الزاوية به زاوية قياسها ٩٠ درجة، والزاوية الأخرى قياسها ٤٥ درجة. إذن، ١٨٠ ناقص ٩٠ ناقص ٤٥ يساوي ٤٥ درجة. وبذلك، أصبحنا نعرف الآن قياس زاوية أخرى من المثلث القائم الزاوية الذي يهمنا. في الواقع، ستظل الزاوية التي يميل بها المستوى على الاتجاه الأفقي نفسها مثل هذه الزاوية هنا. دعونا إذن نكبر المثلث الذي نتعامل معه لتسهل علينا معرفة ما يحدث.

لدينا الآن مثلث قائم الزاوية نعرف طول أحد أضلاعه وقياس إحدى زواياه. سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد قيمة كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين. هذا الطول الذي يساوي ٧٢ نيوتن هو الوتر. ومن ثم، فإن ﻕ واحد هو الضلع المقابل، وﻕ اثنين هو الضلع المجاور. لإيجاد ﻕ واحد، سنستخدم نسبة الجيب. نعلم أن ﻕ واحد هو الضلع المقابل، ولدينا طول الوتر. يمكننا إذن القول إن جا ٤٥ درجة لا بد أن يساوي ﻕ واحد على ٧٢. ولإيجاد قيمة ﻕ واحد، نضرب كلا الطرفين في ٧٢. وهذا يعطينا ﻕ واحد يساوي ٧٢ في جا ٤٥.

لكن في الواقع، يمكننا القول إن جا ٤٥ يساوي جذر اثنين على اثنين. إذن يصبح لدينا ٧٢ جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ٣٦ جذر اثنين، وسيكون الناتج بوحدة النيوتن. لدينا بعد ذلك خياران ممكنان لحساب قيمة ﻕ اثنين. يمكننا استخدام نسبة جيب التمام. إذا استخدمنا هذه الطريقة، فسنجد أن ﻕ اثنين يساوي ٧٢ في جتا ٤٥، وهو ما يساوي أيضًا ٣٦ جذر اثنين أو ٣٦ جذر اثنين نيوتن. بدلًا من ذلك، ربما لاحظنا أننا كنا نتعامل مع مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. ومن ثم، فإن كلًّا من ﻕ واحد وﻕ اثنين لا بد أن يكونا متساويين في الطول. ‏ﻕ واحد وﻕ اثنان يساويان ٣٦ جذر اثنين نيوتن.

وقد نختار استخدام نظرية فيثاغورس للتحقق من إجابتنا. بجمع مربعي ٣٦ جذر اثنين و٣٦ جذر اثنين، ثم إيجاد الجذر التربيعي لتلك القيمة، نحصل على ٧٢ نيوتن كما هو متوقع. والآن يمكننا تعميم هذه الفكرة قليلًا، لكن من المفيد أن نعرف من أين أتت هذه القيم. في حالة وجود جسم ما يستقر على مستوى مائل بزاوية 𝜃 على المحور الأفقي ويزن ﻭ نيوتن، فإن مركبة الوزن التي تؤثر بموازاة المستوى ستكون دائمًا ﻭ جا 𝜃، في حين أن مركبة الوزن التي تؤثر عموديًّا على المستوى ستكون دائمًا ﻭ جتا 𝜃.

لنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الدرس. في هذا الفيديو، رأينا أنه لتحليل قوة ما إلى مركبتين متعامدتين، يمكننا إضافة مثلثين قائمي الزاوية إلى الشكل، واستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. تفيد هذه العملية بشكل خاص عند التعامل مع الأجسام المستقرة على المستويات المائلة. لكن عندما لا يكون هذا ممكنًا؛ أي عندما لا تكون المركبتان متعامدتين، فإننا نستخدم شكلًا يسمى متوازي أضلاع القوى. بعد ذلك، نستخدم حقائق الزاوية وقاعدة الجيب لمساعدتنا في حساب المركبتين كل على حدة.