فيديو السؤال: إيجاد مساحة مضلع بمعلومية طول أحد أضلاعه ومساحة مضلع مشابه له وطول الضلع المناظر في هذا المضلع المشابه الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

مضلعان متشابهان بهما ضلعان متناظران طولاهما ٥٤ و٥٧ سنتيمترًا. إذا كانت مساحة المضلع الأصغر تساوي ٣٢٤ سنتيمترًا مربعًا، فأوجد مساحة المضلع الأكبر.

حسنًا، لقد علمنا أن هذين المضلعين متشابهان. ونحن نعلم أن المضلعين يكونان متشابهين إذا تحقق أمران. أولًا: يجب أن تكون قياسات جميع زواياهما المتناظرة متساوية. ثانيًا: يجب أن تكون أطوال الأضلاع المتناظرة في المضلعين متناسبة. إذن، لا يجب أن يكون للأضلاع الطول نفسه، لكن يجب أن تكون أطوالها متناسبة. هذا يعني أنه إذا كان طول أحد الأضلاع في مضلع واحد ضعف طول الضلع المناظر له في المضلع الآخر، فيجب أن تكون جميع أطوال الأضلاع الأخرى تساوي ضعف الطول الأصلي.

هذه النسبة تعرف أيضًا باسم معامل القياس أو معامل قياس الطول. وبما أننا نعلم طولي ضلعين متناظرين، وهما ٥٤ و٥٧ سنتيمترًا، يمكننا إيجاد معامل القياس. يمكن إيجاد معامل قياس الطول، بقسمة طول ضلع في المضلع الأكبر على طول الضلع المناظر له في المضلع الأصغر. وبذلك، يصبح لدينا ٥٧ على ٥٤.

يمكن تبسيط هذا الكسر قليلًا؛ حيث إن كلًّا من البسط والمقام من مضاعفات العدد ثلاثة. بقسمة ٥٧ على ثلاثة، نحصل على ١٩. وبقسمة ٥٤ على ثلاثة، نحصل على ١٨. ومن ثم، يبسط معامل قياس الطول إلى ١٩ على ١٨.

لقد علمنا من المعطيات أن مساحة المضلع الأصغر تساوي ٣٢٤ سنتيمترًا مربعًا، ومطلوب منا إيجاد مساحة المضلع الأكبر. هل هذا يعني أن مساحة المضلع الأكبر تساوي ٣٢٤ مضروبًا في معامل القياس ١٩ على ١٨؟ حسنًا، الإجابة هي لا. والسبب وراء ذلك هو أن معامل قياس الطول ومعامل قياس المساحة ليسا الشيء نفسه. دعونا نعرف السبب.

سنفترض أن لدينا مربعين. المربعات دائمًا ما تكون متشابهة. سنفترض أن طول الضلع في المربع الأول يساوي سنتيمترًا واحدًا. وطول الضلع في المربع الثاني يساوي ثلاثة سنتيمترات. عندها سيكون معامل قياس الطول لهذين المربعين ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي ثلاثة.

دعونا أيضًا نفكر في مساحتي هذين المربعين. لإيجاد مساحة مربع، فإننا نقوم بتربيع طول ضلعه. ومن ثم، بالنسبة إلى المربع الأول، سنجد أن سنتيمترًاواحدًامضروبًا في سنتيمترواحد يساوي سنتيمترًا واحدًامربعًا. وبالنسبة إلى المربع الثاني، فإن المساحة تساوي ثلاثة سنتيمترات مضروبة في ثلاثة سنتيمترات؛ أي تسعة سنتيمترات مربعة. إذن، معامل قياس المساحة، هو تسعة على واحد، وهذا يساوي تسعة. هذه القيمة لا تساوي ثلاثة، أي معامل قياس الطول، لكن ثمة علاقة بين معاملي القياس هذين. هل يمكنك ملاحظتها؟

حسنًا، تسعة يساوي ثلاثة تربيع. وفي الواقع، هذه العلاقة صحيحة دائمًا. إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين يساوي العدد ﻙ، فإن معامل قياس المساحة يساوي مربع هذا العدد؛ أي ﻙ تربيع. هذا يعني أنه لإيجاد مساحة المضلع الأكبر، فإننا نضرب مساحة المضلع الأصغر ليس في ١٩ على ١٨، ولكن في ١٩ على ١٨ الكل تربيع.

والآن يمكننا حساب هذه القيمة. لتربيع كسر ما، فإننا نقوم بتربيع كل من البسط والمقام. ‏١٩ تربيع يساوي ٣٦١. و١٨ تربيع يساوي ٣٢٤. لاحظ الآن أن لدينا ٣٢٤ في البسط و٣٢٤ في المقام. ومن ثم، فإنهما يحذفان معًا، ويتبقى لدينا واحد مضروبًا في ٣٦١ على واحد. وهكذا، يبسط الناتج إلى ٣٦١. والوحدة المستخدمة لقياس هذه المساحة هي نفسها المستخدمة لقياس مساحة المضلع الأصغر. وهي السنتيمتر المربع.

إذن، باسترجاع أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة يكون ﻙ تربيع، وجدنا أن مساحة المضلع الأكبر تساوي ٣٦١ سنتيمترًا مربعًا.